董貴明，常大海 ，田 娟，高付明

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2. 江蘇師范大學(xué)地理測繪與城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

基于承壓-無壓水公式的區(qū)間涌水量預(yù)測

董貴明1，常大海1，田 娟2，高付明1

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2. 江蘇師范大學(xué)地理測繪與城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

針對礦井涌水量計算過程中存在不確定性的問題，從區(qū)間不確定性角度出發(fā)，基于非概率集合理論，推導(dǎo)出了采用經(jīng)驗公式計算影響半徑和根據(jù)觀測資料給出影響半徑這兩種情況下承壓-無壓水涌水量區(qū)間解析表達式，定量刻畫了參數(shù)的區(qū)間不確定性下涌水量的區(qū)間響應(yīng)，實現(xiàn)了從確定型計算公式到區(qū)間不確定性型計算公式的轉(zhuǎn)變。通過對比蒙特卡洛法得到的實際區(qū)間上下限和推導(dǎo)出公式計算的上下限，分別給出了兩個區(qū)間涌水量預(yù)測公式計算結(jié)果相對誤差的絕對值控制在5%和10%以內(nèi)時，相應(yīng)變量的允許變化率，分析結(jié)果表明：公式一計算最大(最小)涌水量的相對誤差為5%和10%時，變量的允許變化率分別為0.18(0.08)和0.28(0.12)；公式二計算最大(最小)涌水量的相對誤差為5%和10%時，變量的允許變化率分別為0.08(0.05)和0.12(0.08)；在相同誤差要求下，兩個公式計算最大值時的允許變化率高于最小值時的允許變化率，這對計算礦井涌水量的上限有利。這為礦井涌水量計算提供了一條新的途徑。

承壓-無壓水井公式；涌水量；區(qū)間不確定性；大井法

基于承壓-無壓水井公式的大井法是礦井涌水量計算的重要方法之一[1～2]。然而，在計算過程中由于觀測水平、水文地質(zhì)條件復(fù)雜性和實際工作投入有限等原因而產(chǎn)生的不確定性，最終影響計算結(jié)果的可靠性。快速有效地分析這些不確定性對計算結(jié)果的影響，對提高計算結(jié)果的可靠性和工程應(yīng)用具有重要意義。而圍繞如何認識和描述水文地質(zhì)計算中的不確定性，以提高計算可靠性等問題，已經(jīng)成為地下水科學(xué)最前沿的科學(xué)問題之一[3～6]。在水文地質(zhì)不確定性的研究中，主要有隨機數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、灰色數(shù)學(xué)等方法，其中，隨機數(shù)學(xué)是目前最主要的方法[7～8]。在隨機數(shù)學(xué)方法中，如何準確地獲取概率密度函數(shù)，是有效進行不確定性分析的關(guān)鍵，實際條件下，由于資料的限制，往往難以獲得有效的概率密度函數(shù)。

由于已知的地質(zhì)、水文地質(zhì)條件的有限性，在實際礦井涌水量計算中，計算結(jié)果一般誤差較大[9]。使用確定性的公式計算也不便于分析各種條件的變化對計算結(jié)果的影響。本文將從區(qū)間不確定性的角度出發(fā)，基于非概率集合理論凸模型方法，推導(dǎo)出區(qū)間涌水量計算公式，實現(xiàn)從確定型計算公式到區(qū)間型計算公式的轉(zhuǎn)變，將涌水量計算中的不確定性因素通過區(qū)間不確定性進行定量刻畫，并將這些不確定性引入到計算公式中，實現(xiàn)確定性計算到不確定計算的轉(zhuǎn)變。區(qū)間不確定性與隨機不確定性不同，不需要知道不確定變量的概率密度函數(shù)，基于較少的變量信息(不確定變量的上下界限)可以得到參數(shù)的響應(yīng)區(qū)間，該方法對數(shù)據(jù)的要求一般更符合對研究區(qū)實際資料的掌握程度，也將為礦井涌水量的計算提供一條新的途徑。

1 非概率集合理論凸模型方法

(1)

(2)

假設(shè)在統(tǒng)計平均值附近變化的有界不確定參數(shù)的不確定量或未確知量δ在式(3)有界凸集合內(nèi)變化，即：

(3)

式中：Ω——正定矩陣；θ——正實數(shù)。

(4)

(5)

數(shù)學(xué)優(yōu)化理論已經(jīng)證實，式(4)和式(5)的極值將在式(3)表示的橢球區(qū)域的邊界上達到。設(shè)拉格朗日函數(shù)為:

(6)

式中：μ——拉格朗日乘子。

取極值的必要條件為：

(7)

整理得：

(8)

(9)

將式(9)帶入式(4)、式(5)可以得到[13]：

(10)

(11)

2 區(qū)間涌水量的預(yù)測公式

Dupuit的承壓-無壓水公式是地下水動力學(xué)中的基本公式之一，也是計算礦井涌水量時最常采用的解析公式。在計算涌水量時其表達式常為：

(12)

式中：H0——承壓含水層初始水位/m；Q——涌水量/(m3·d-1)M——含水層厚度/m；K——滲透系數(shù)/(m·d-1)；rw——井的半徑/m；R——井巷系統(tǒng)邊界到外源水的距離/m。

R常采用的經(jīng)驗計算公式為：

(13)

式中：R——影響半徑。

式(12)要求初始水力坡度為0，含水層水平、等厚和均質(zhì)，并且要求以抽水井為中心有一個圓形的定水頭邊界，以形成穩(wěn)定流，即圓島模型。在很多礦區(qū)，實際上沒有一個圓形或者其他形狀的定水頭邊界。另外，礦區(qū)一般還存在一些斷層、陷落柱，并且這些斷層和陷落柱在采動過程中還可能會“活化”，存在“上三帶”和“下三帶”。這些滲透性較強部位的存在，增強了含水層的非均勻性。因此，在開采過程中，不能形成嚴格的穩(wěn)定流。但實際資料表明，當(dāng)?shù)V井開采一段時期以后，地下水位的變化一般會變得很緩慢，此時，認為達到近似穩(wěn)定流。實際上，在礦井以外的應(yīng)用中，一般都是近似穩(wěn)定流。式(12)在計算礦井涌水量時，是在近似穩(wěn)定流的條件下進行。

在式(12)中，Q與M、H0、K和rw整體為非線性關(guān)系。根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則：

(14)

(15)

獲得流量對變量K、M、H0和rw的導(dǎo)數(shù)。

(16)

(17)

(18)

(19)

有的礦井可以根據(jù)觀測資料或者相鄰礦井的影響半徑直接確定R，不是采用式(13)計算。此時，將有5個變量。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(16)～(19)和式(20)～(24)代入式(10)和式(11)，可以得到R0在兩種處理情況下區(qū)間涌水量的預(yù)測公式(表1)。

表1 區(qū)間涌水量的預(yù)測公式Table 1 Interval formula of water inflow

備注:Qo為相應(yīng)的變量取區(qū)間的中心數(shù)時對應(yīng)的結(jié)果。αH0=ΔH0/H0；αM=ΔM/M0；αk=Δk/k0；αrw=Δrw/rw0；αR0=ΔR/R；αHo、αM、αk、αrw、αR，為相應(yīng)變量的變化率?！馈械摹?’對應(yīng)的是涌水量變化區(qū)間的上限(最大值)，‘-’ 對應(yīng)的是涌水量變化區(qū)間的下限(最小值)。

表1中考慮了H0、M、K、R和rw五個變量。其中，各變量的變化率和中心值(平均值)共同表示了變量的變化區(qū)間。使用表1中的公式，給出變量的變化率和中心值，不需要編程，可以方便地計算出涌水量的區(qū)間響應(yīng)。

3 區(qū)間涌水量預(yù)測公式的有效性

式(10)和式(11)是基于一階泰勒級數(shù)和優(yōu)化理論得到的，在此基礎(chǔ)上得到的表1中公式的變化率一定不能是無限大的。通過蒙特卡洛方法獲得響應(yīng)區(qū)間的實際上下限，以對表1中公式的有效性和變化率的界限進行分析，計算結(jié)果見表2。

表2中的 “最大值相對誤差的絕對值小于a時的變量允許變化率”中的“最大值相對誤差的絕對值”為根據(jù)表1中的公式計算涌水量的上限值Q+與蒙特卡洛計算的實際上限值Q之間的相對誤差。即：

表2 不同誤差條件下區(qū)間涌水量預(yù)測公式中變量的允許變化率Table 2 Allowed change rates of the interval formula of water inflow with different errors

注：表中變量單位：Q0/(m3·d-1)；K0/(m·d-1)；M0/m、rw0/m、H0/m)

(25)

表2在計算過程中，變化率從0開始，以0.01的間距遞增，一直到0.5結(jié)束。公式二計算時，對于每一組數(shù)據(jù)，將式(13)計算出的影響半徑值乘以4作為R，涌水量采用式(12)計算，其他參數(shù)不變。表2給出了兩個區(qū)間涌水量預(yù)測公式在誤差水平0.05和0.1時，五組測試數(shù)據(jù)對應(yīng)變量的最大變化率，比如，對于測試數(shù)據(jù)1，在采用公式一計算涌水量的時候，如果要求計算最大值的相對誤差的絕對值不超過0.05，那么式(12)中四個參數(shù)的變化率均不能超過0.18；如果要求計算最大值的相對誤差的絕對值不超過0.1，那么式(12)中四個參數(shù)的變化率均不能超過0.28。

從表2中可以看出，在相同的誤差要求下，公式一和公式二計算的上限對應(yīng)變量的允許變化率大于下限時的變化率。即當(dāng)變量的變化率相對較大時，計算得到的最大涌水量的可靠性要高于最小涌水量。當(dāng)需獲取變量在更大變化區(qū)間內(nèi)的涌水量上下限，同時滿足一定的精度要求，可以將大區(qū)間分割成小區(qū)間，然后在各個小區(qū)間上使用表1中的公式即可。

4 應(yīng)用實例分析

某礦井3煤頂板砂巖含水層由3煤頂板至2煤底板之間的砂巖組成，根據(jù)鉆孔揭露資料，砂巖厚度22.5～45.6 m，平均32.5 m，富水性較弱，透水性差，含水層基本水平，屬于開采3煤的直接充水含水層，分布斷距為10 m左右的斷層數(shù)條。根據(jù)單孔抽水試驗資料，水位標高+37.3 m，滲透系數(shù)為0.01 m/d。相鄰礦井鉆孔的水位標高+38.9 m。由不同勘探孔資料看出，3煤層頂板砂巖富水性不均一。根據(jù)該區(qū)域內(nèi)其他礦井的開采資料，由3煤層頂板砂巖含水層作為充水水源的礦井開采一段時間以后可以形成基本穩(wěn)定的涌水量。3煤開采水平為-1 000 m，首采區(qū)為不規(guī)則多邊形，等效半徑為691 m。采用公式一分析當(dāng)各個變量存在區(qū)間不確定性時首采區(qū)涌水量的變化區(qū)間。

考慮數(shù)據(jù)資料存在不確定性以及受開采及相鄰礦井的影響，令αHo=0.05，αM=αk=αrw=0.2，即水頭(m)的變化區(qū)間為[985.4,1 089.2]，含水層厚度(m)變化區(qū)間為[26,39]，滲透系數(shù)(m/d)的變化區(qū)間為[0.008,0.012]，等效半徑(m)的變化區(qū)間為[552.8,829.2]。經(jīng)計算，涌水量(m3/d)的變化區(qū)間為[1 036.8,3 519.2]。采用數(shù)據(jù)的平均值計算的涌水量Q0為2 278.3 m3/d?？梢?，對于本實例，盡管變量的最大變化率僅有20%，但涌水量的最大值和最小值也將明顯的不同于平均值下的涌水量值?？紤]變量在一定區(qū)間下的涌水量響應(yīng)區(qū)間是有意義的。

為了進一步分析公式一計算結(jié)果的相對誤差隨著變量變化率的變化過程，繪制了圖1和圖2。

圖1 涌水量最大值相對誤差圖Fig.1 Relative error diagrams of the maximum water inflow

圖2 涌水量最小值相對誤差圖Fig.2 Relative error diagrams of the minimum water inflow

從圖1和圖2可以看出，公式一計算值的相對誤差隨著變化率是非線性變化的。圖1表明，變化率在0.3時，最大值的相對誤差絕對值基本控制在10%以內(nèi)。圖2表明，變化率在0.15時，最小值的相對誤差絕對值基本控制在10%以內(nèi)。這與表2的分析結(jié)果基本一致。實例計算表明，使用公式一計算當(dāng)變量在一定的范圍內(nèi)變化時涌水量的相應(yīng)上下限是合適的。

5 結(jié)論

(1)從區(qū)間不確定性角度出發(fā)，基于非概率集合理論，推導(dǎo)出了采用經(jīng)驗公式計算影響半徑和根據(jù)觀測資料計算影響半徑的承壓-無壓水的區(qū)間涌水量解析預(yù)測公式，定量刻畫了參數(shù)的區(qū)間不確定性下涌水量的區(qū)間響應(yīng)，實現(xiàn)了從確定型計算公式到區(qū)間不確定性型計算公式的轉(zhuǎn)變。

(2)公式一計算最大(最小)涌水量的相對誤差為5%和10%時，變量的允許變化率分別為0.18(0.08)和0.28(0.12)；公式二計算最大(最小)涌水量的相對誤差為5%和10%時，變量的允許變化率分別為0.08(0.05)和0.12(0.08)；在相同誤差要求下，兩個公式計算最大值時的允許變化率比計算最小值時高，這對計算礦井涌水量的上限有利。

(3)理論推導(dǎo)和應(yīng)用實例表明，區(qū)間涌水量計算公式可以方便可靠地計算出涌水量的區(qū)間響應(yīng)。區(qū)間不確定性解析公式為涌水量的計算提供了一條新的途徑。

[1] 呂漢江.棋盤井煤礦水文地質(zhì)特征分析及涌水量計算[J].煤礦安全,2014,45(7):155-158. [LU H J. Analysis of hydrogeological characters and water inflow calculation in Qipanjing coal mine[J]. Coal Mine Safety, 2014,45(7):155-158. (in Chinese)]

[2] 馬青山,駱祖江.解析法和數(shù)值法在礦井涌水量預(yù)測中的比較[J].礦業(yè)安全與環(huán)保,2015,42(4):63-71.[MA Q S, LUO Z J. Comparison of analytical method and numerical method in mine water inflow prediction[J].Mining Safety & Environmental Protection,2015,42(4):63-71. (in Chinese)]

[3] 田娟,董貴明,王今殊.水文地質(zhì)參數(shù)概率密度函數(shù)的Legendre正交多項式逼近研究[J].水文地質(zhì)工程地質(zhì),2014,41(5):26-30. [TIAN J, DONG G M,WANG J S. Approximation of probability density function of hydrogeological parameters based on Legendre orthogonal polynomial[J]. Hydrogeology & Engineering Geology,2014,41(5):26-30. (in Chinese)]

[4] 吳吉春,陸樂.地下水模擬不確定性分析[J].南京大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)),2011,47(3):227-234. [WU J C, LU L.Uncertainty analysis for groundwater modeling[J].Journal of Nanjing University(Natural Sciences),2011,47(3):227-234.(in Chinese)]

[5] Chuen F N,Shu Guangli, Chien J L,etal. Efficient conceptual framework to quantify flow uncertainty in large-scale, highly nonstationary groundwater systems [J].Journal of Hydrology, 2010, 381(3/4):297-307.

[6] Zhang Kejiang, Li Hua. Fuzzy-stochastic characterization of site uncertainty and variability in groundwater flow and contaminant transport through a heterogeneous aquifer[J].Journal of Contaminant Hydrology, 2009,106(15):73-82.

[7] Pamela K, Quentin G R. Optimal groundwater extraction under uncertainty: Resilience versus economic payoffs[J].Journal of Hydrology,2011,406 (3/4): 215-224.

[8] 劉佩貴,束龍倉,尚熳廷,等.地下水可開采量可靠性分析的模糊-隨機方法[J].水利學(xué)報,2008,39(9): 1141-1145.[LIU P G, SHU L C, SHANG M T,etal. Fuzzy-stochastic method for reliability analysis of groundwater allowable withdrawal[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2008,39(9): 1141-1145. (in Chinese)]

[9] 汪偉羅,周全,王益?zhèn)?等.基于混沌理論的礦井涌水量預(yù)測研究[J]. 中國安全科學(xué)學(xué)報, 2013,23(4):51-56.[WANG W L, ZHOU Q, WANG Y W,etal. Research into mine water inflow forecast based on chaotic theory[J]. China Safety Science Journal, 2013,23(4):51-56. (in Chinese)]

[10] 邱志平. 非概率集合理論凸方法及其應(yīng)用[M]. 北京:國防工業(yè)出版社,2005.[QIU Z P. Convex method based on non-robabilistic set-theory and its application [M].Beijing: National Defence Industry Press,2005. (in Chinese)]

責(zé)任編輯：張若琳

Interval confined-unconfined water inflow forecasting formula

DONG Guiming1, CHANG Dahai1, TIAN Juan2, GAO Fuming1

(1.TheSchoolofResourceandEarthScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou,Jiangsu221116,China; 2.SchoolofGeography,GeomaticsandPlanning,JiangsuNormalUniversity,Xuzhou,Jiangsu221116,China)

For the issues that the uncertainty exists in calculating the mine inflow, this study starts from the perspective of interval uncertainty. Based on the non-probabilistic set method, the interval analytic expression of confined-unconfined water inflow is deduced for different conditions by using empirical formula to calculate the influence radius and according to the observed data to give the influence radius. The interval response of water inflow under the interval uncertainty of parameters is quantitatively depicted, and the shift of calculating formula from the deterministic type to the type of interval uncertainty is realized. By comparing the upper and lower limits of the real interval values which are obtained by MC with the upper and lower limits of the interval value which are calculated with the deduced formula, the allowed change rate of the corresponding variables is given respectively when the absolute value of relative error of the results is controlled within 5% and 10% which are calculated with the two interval water inflow formula. The results show that the allowed change rate of the variable is 0.18 (0.08) and 0.28 (0.12), respectively, when the relative error of the maximum (minimum) water inflow which are calculated with the first formula is 5% and 10%, and the allowed change rate of the variables is 0.08 (0.05) and 0.12 (0.08), respectively, within the same condition which are calculated by the second formula. Under the identical error requirements, when the allowed change rates of the maximum values calculated with the two formula are higher than that of the minimum values, it is beneficial to calculate the upper limit of the mine inflow. This paper provided a new way for the uncertainty research on the mine inflow calculation.

formula of confined-unconfined well; water inflow; interval uncertainty; large-well method

2016-01-15;

2016-06-10

國家自然科學(xué)基金項目(41202179)；江蘇省高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目

董貴明(1979-)，男，副教授，主要從事地下水?dāng)?shù)值模擬和水資源評價等教學(xué)和科研工作。E-mail:guiming14432@126.com

田娟(1980-)，女，講師，主要從事環(huán)境科學(xué)教學(xué)和科研工作。E-mail:tianjuan980106@126.com

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.03.01

P641.5

A

1000-3665(2017)03-0001-05