王 琰，張傳定，車通宇

(1．信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052；2．北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

基于空間雙曲交會(huì)的GNSS偽距單點(diǎn)定位算法

王 琰1,2，張傳定2，車通宇1

(1．信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052；2．北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

針對(duì)GNSS衛(wèi)星導(dǎo)航中的偽距單點(diǎn)定位，提出一種不需要測(cè)站坐標(biāo)近似值的非迭代算法。該算法將GNSS偽距導(dǎo)航定位方程轉(zhuǎn)化為空間雙曲定位方程，給出具體的解算步驟，研究了空間雙曲定位方程的解(有兩解)，利用GNSS偽距導(dǎo)航定位的特點(diǎn)可消除多值性，從而實(shí)現(xiàn)無(wú)初值GNSS偽距單點(diǎn)定位。該算法與Bancroft算法相比，通過(guò)星間單差，與測(cè)站有關(guān)的公共誤差項(xiàng)被消去，提高了定位精度；與傳統(tǒng)的迭代算法相比，提高了計(jì)算效率，而且不需要測(cè)站坐標(biāo)初值。最后通過(guò)IGS監(jiān)測(cè)站實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)3種算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了算法的有效性。

GNSS偽距導(dǎo)航;單點(diǎn)定位;空間雙曲定位

GNSS偽距導(dǎo)航定位是任何型號(hào)GNSS接收機(jī)所必須具備的基本功能之一。當(dāng)前解算單站接收機(jī)位置，常用的算法是基于傳統(tǒng)的泰勒級(jí)數(shù)展開，將觀測(cè)方程線性化后，組建法方程，通過(guò)不斷迭代，參數(shù)收斂后獲得最終的接收機(jī)位置。傳統(tǒng)算法若不知道接收機(jī)位置的近似值，迭代搜索的收斂速度有時(shí)候較慢。該算法不可避免的問(wèn)題是法方程求逆，因此該算法一般耗時(shí)較長(zhǎng)[1-2]。對(duì)于地面連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測(cè)站的近似坐標(biāo)可以較為精確地獲取，但是對(duì)于動(dòng)態(tài)的測(cè)站，例如LEO，一般很難精確地知道其近似坐標(biāo)，因此，研究無(wú)初值GNSS偽距快速導(dǎo)航定位有重要意義。

1985年Bancroft提出一種稱為“閉合求解”的全局性非線性最小二乘算法(Bancroft算法)[3-4]，這是一種不需要迭代、具有代數(shù)解析性的直接解算方法，在計(jì)算上有效且數(shù)值穩(wěn)定。該算法不需要點(diǎn)位位置作為迭代演算的初始值，主要依據(jù)R4維空間下的一種Lorentz內(nèi)積，將原始偽距觀測(cè)方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程求解問(wèn)題。但是Bancroft算法存在問(wèn)題，由于無(wú)法知道測(cè)站坐標(biāo)的初值，因而與坐標(biāo)有關(guān)的各種改正(對(duì)流層，相對(duì)論效應(yīng)等)無(wú)法準(zhǔn)確改正，因此，Bancroft算法最終組建的一元二次方程的系數(shù)會(huì)有誤差，最終解算的測(cè)站位置誤差較大。

國(guó)內(nèi)外對(duì)于GNSS偽距單點(diǎn)定位的算法進(jìn)行了詳細(xì)研究。呂漢峰針對(duì)偽距單點(diǎn)定位解算中存在的兩種定位模型的最小二乘解,給出了它們關(guān)于位置估計(jì)和定位精度等價(jià)性的推證過(guò)程。描述了偽距單點(diǎn)定位所采用的基本定位模型和單差定位模型，依據(jù)偽距觀測(cè)值精度和單差基準(zhǔn)分3種情況分別證明了兩種模型的位置最小二乘解和定位精度是等價(jià)的[5]。吳傳利用幾何方法，給出了二維、三維測(cè)距定位問(wèn)題解的解析表達(dá)式，在此解析解的基礎(chǔ)上對(duì)GPS測(cè)碼偽距定位問(wèn)題提出一種趨近計(jì)算方法，并討論了其收斂性[6]。Lloyd O.Krause提出了一種計(jì)算中矩陣最高階2×2的非線性GPS導(dǎo)航定位方程[7]。P.S.NOE提出了一種適用于低成本GPS接收機(jī)的導(dǎo)航算法并進(jìn)行了數(shù)據(jù)驗(yàn)證[8]。Abel J S驗(yàn)證了GPS偽距導(dǎo)航定位中模糊度無(wú)法固定的幾種特殊情況下的算法[9]。Kleusberg A提出了在GPS偽距導(dǎo)航定位中的一種不需要線性化的直接解法并驗(yàn)證了單解、多解等多種特例[10]。廖華對(duì)線性最小二乘法、非線性最小二乘法、格網(wǎng)搜索法、kleus法等GPS偽距單點(diǎn)定位算法的基本原理及程序?qū)崿F(xiàn)步驟進(jìn)行了闡述,并從算法的可靠性、準(zhǔn)確性及作業(yè)效率等方面進(jìn)行了比較[11]。李鶴峰等以GPS為例，詳細(xì)介紹偽距單點(diǎn)定位原理及解算模型,并給出了偽距單點(diǎn)定位程序?qū)崿F(xiàn)中的關(guān)鍵點(diǎn)和易于出錯(cuò)之處的詳細(xì)解決思路[12]。Oszczak B分析了GNSS標(biāo)準(zhǔn)定位中解算坐標(biāo)和接收機(jī)鐘差的基本原則、計(jì)算方程和矩陣偏微分算法，并進(jìn)行了仿真的數(shù)值分析[13]。

大部分學(xué)者目前只是針對(duì)已有的算法進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn)或者性能比較，本文利用空間雙曲交會(huì)定位原理提出一種新的算法，取一顆基準(zhǔn)星，其他星的觀測(cè)量與參考星組單差，一些與測(cè)站有關(guān)的誤差項(xiàng)被消去，然后利用空間解析幾何關(guān)系，將星間單差觀測(cè)方程轉(zhuǎn)換為空間雙曲定位方程，詳細(xì)推導(dǎo)了該算法的計(jì)算公式，并通過(guò)IGS監(jiān)測(cè)站靜態(tài)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了算法的有效性。

1 GNSS偽距導(dǎo)航原理

如式(1)所示，GNSS偽距測(cè)量的基本觀測(cè)方程為

(1)

圖1 GNSS偽距導(dǎo)航原理

眾所周知，在無(wú)線電導(dǎo)航和定位中，有兩種主要的方法：距離定位和距離差定位。有時(shí)把它們稱為圓定位和雙曲定位。從方程(1)可以看出，GNSS偽距導(dǎo)航在消除鐘差dti后，將構(gòu)成空間雙曲定位方程。目前，平面、球面和橢球面雙曲定位已有比較成熟的解法，而對(duì)于空間雙曲定位僅限于特殊圖形的解法[1]。因而，盡管可由空間雙曲定位無(wú)初值解算測(cè)站點(diǎn)的地心坐標(biāo)，但由于GNSS偽距導(dǎo)航圖形分布的任意性，仍需研究任意圖形下空間雙曲定位的解算方法。

2 空間雙曲定位解算

若選用S1為參考星，則消除鐘差dti后，得方程組

(2)

其中符號(hào)的意義與式(1)一致。該方程組的左端隱含了測(cè)站i位置，右端為測(cè)站i到衛(wèi)星j的距離差，最終構(gòu)成空間雙曲定位方程

(3)

下面利用余弦定理和解析幾何知識(shí)，研究方程組(2)的解。在三角形Δj1i中，由余弦定理得

(4)

式中

(5)

是第j顆衛(wèi)星到參考星的距離，可由衛(wèi)星的坐標(biāo)計(jì)算得出。將式(4)化簡(jiǎn)得

(6)

再由解析幾何知識(shí)可以寫出

(7)

將式(7)代入式(6)，并寫成矩陣的形式，有

(8)

式中:

式(8)兩邊左乘AT，得

(9)

令N=ATA,U′=ATU,W′=ATW。

(10)

從而有

(11)

式中：

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

(12)

(13)

由上式所求得的解有兩個(gè)，這是由雙曲定位方程所決定的。在實(shí)際工作中，必須舍棄一個(gè)不符實(shí)際意義的解。對(duì)于海洋無(wú)線電定位而言，可用測(cè)站的近似高程來(lái)判斷。對(duì)于GNSS偽距導(dǎo)航定位而言，符合實(shí)際意義的解可由鐘差的范圍或測(cè)站的近似向徑來(lái)做出判斷。但最佳的判斷方案應(yīng)為：若同時(shí)觀測(cè)到4顆以上的衛(wèi)星，則可以選取不同的基準(zhǔn)星，可以得到兩組或兩組以上的解，再根據(jù)GNSS導(dǎo)航的精度，即可比較得出正確的解。若僅能觀測(cè)到4顆衛(wèi)星，則利用相臨歷元的兩組解，也可比較得出正確的解(每組解中，正確的解隨時(shí)間變化較小，不符實(shí)際意義的解隨時(shí)間和衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)變化較大)。

3 GNSS偽距導(dǎo)航無(wú)初值解算

由GNSS偽距觀測(cè)量，選擇適當(dāng)?shù)膮⒖夹?，組成單差偽距觀測(cè)量，即距離差觀測(cè)量。依據(jù)星歷文件計(jì)算觀測(cè)時(shí)刻衛(wèi)星的位置，并按式(5)到式(13)求出測(cè)站的可能解，按第2節(jié)所述的方法選取正確的解，從而確定出測(cè)站坐標(biāo)的近似坐標(biāo)和近似鐘差。

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，收集了2014年年積日072天IGS監(jiān)測(cè)站AIRA站的數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，該測(cè)站位于日本北緯31.82°，東經(jīng)130.6°，搭載TRIMBLE NETR9型接收機(jī)，天線類型是TRM59800.00 SCIS，能夠同時(shí)接收GPS/GLONASS/QZSS三大系統(tǒng)的信號(hào)，采樣間隔30 s，為了便于試驗(yàn)說(shuō)明，僅采用GPS單系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，圖2顯示了AIRA站在1～1 500歷元接收到的GPS衛(wèi)星個(gè)數(shù)和GDOP情況。從圖2中可以看出該測(cè)站能觀測(cè)到的衛(wèi)星個(gè)數(shù)平均為8顆，而且不少于6顆，完全可以通過(guò)選取不同衛(wèi)星的組合來(lái)判斷雙曲定位方程兩個(gè)根的取舍。

圖2 AIRA站1～1 500歷元觀測(cè)到的衛(wèi)星個(gè)數(shù)和GDOP

分別采用3種算法進(jìn)行定位試驗(yàn)，以下試驗(yàn)在ThinkPad T440p (CPU:Intel Core i7,主頻:2.50 GHz,內(nèi)存8 GB)筆記本計(jì)算機(jī)進(jìn)行，其中傳統(tǒng)的迭代算法在本文中設(shè)定迭代3次，3種算法的計(jì)算時(shí)間比較結(jié)果見(jiàn)表 1。

表1 3種算法的計(jì)算時(shí)間 s

3種算法的定位結(jié)果比較如圖3～圖5所示。

圖3 Bancroft算法定位結(jié)果

3種算法的均值和RMS比較結(jié)果如表2所示，從結(jié)果可以明顯看出，Bancroft算法的定位結(jié)果是最差的，本文提出的算法與傳統(tǒng)的迭代算法的定位精度相當(dāng)，但是達(dá)到同樣的精度，計(jì)算效率卻提高了約3.5倍。

圖4 空間雙曲定位算法定位結(jié)果

圖5 傳統(tǒng)迭代算法定位結(jié)果

項(xiàng)目XYZMEANRMSMEANRMSMEANRMSBancroft-41.656108.79311.097119.93222.78196.080雙曲定位算法-30.73438.5072.10916.55715.75021.450迭代算法-1.9042.0651.0451.1911.3341.367

4 結(jié) 論

本文研究表明：不需要測(cè)站和衛(wèi)星鐘與接收機(jī)鐘的鐘差近似值,也可由空間雙曲定位方程實(shí)現(xiàn)GNSS偽距導(dǎo)航解算。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)解算結(jié)果表明，本文提出的雙曲定位算法最終定位精度比Bancroft算法的定位精度高，與傳統(tǒng)的迭代算法定位精度相近，效率卻提高了3.5倍。但該方法有兩解，即二值性。消除二值性的方法有：

若僅有一個(gè)歷元的4顆衛(wèi)星的偽距觀測(cè)值，則可按鐘差的有效范圍來(lái)判斷，消除二值性；也可按測(cè)站的近似向徑(地面站的近似向徑為地球的平均半徑)來(lái)判斷，消除二值性。

若同時(shí)觀測(cè)到4顆以上的衛(wèi)星的偽距觀測(cè)值，可以選取不同的基準(zhǔn)星，得到兩組或兩組以上的解，再根據(jù)GNSS導(dǎo)航的精度，即可比較得出正確的解。

若觀測(cè)到4顆衛(wèi)星多個(gè)歷元的偽距觀測(cè)值，則利用相臨歷元的兩組的解，也可比較得出正確的解(每組解中，正確的解隨時(shí)間變化較小，不符實(shí)際意義的解隨時(shí)間和衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)變化較大，通常表現(xiàn)為地心向徑較大)。

本文所提出的解算方法，僅為提供GNSS偽距導(dǎo)航的初值時(shí)使用。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

GNSS pseudo-range single point positioning algorithm based on space hyperbolic intersection

WANG Yan1,2,ZHANG Chuanding2,CHE Tongyu1

(1.School of Surveying and Mapping,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China;2.Beijing Global Information Application and Development Center,Beijing 100094,China)

A non-iterative algorithm is proposed, which does not require initial approximate value of the receiver’s position for GNSS pseudo-range single point positioning.In this algorithm,the GNSS pseudo-range positioning equation is transformed into space hyperbolic equation.The steps of calculation are discussed in this paper.The solutions of the space hyperbolic equation are analyzed.The characteristics of GNSS pseudo-range navigation and positioning can be used to judge the true value.Because all the common errors can be eliminated through the single differences between satellites,the accuracy of this algorithm is better than that of Bancroft algorithm.Compared with the iterative algorithm,the computational efficiency of this algorithm is improved and needs no initial approximate value of the receiver’s position.This algorithm proves to be effective through the IGS measurement data processing.

GNSS pseudo-range navigation;single point positioning;space hyperbolic positioning

著錄：王琰，張傳定，車通宇.基于空間雙曲交會(huì)的GNSS偽距單點(diǎn)定位算法[J].測(cè)繪工程，2017，26(7)：16-21.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.07.004

2016-07-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41374038,41174026)

王 琰(1990-)，男，博士研究生.

P228

A

1006-7949(2017)07-0016-06