葉雉鳩

(陜西財經(jīng)職業(yè)技術(shù)學院，陜西 咸陽 712000)

哥德巴赫猜想雙無解定理的表證法

葉雉鳩

(陜西財經(jīng)職業(yè)技術(shù)學院，陜西 咸陽 712000)

提出了哥德巴赫猜想的一個不缺項的雙無解定理。若這個不缺項雙無解定理成立則哥德巴赫猜想成立，若這個不缺項雙無解定理不成立則哥德巴赫猜想不成立。這個不缺項的雙無解定理可以用同余數(shù)表進行表示。用同余數(shù)表進行遞推證明的方法比較直觀，而且沒有懸念。本文運用數(shù)學歸納法證明了哥德巴赫猜想成立。

哥德巴赫猜想；不缺項雙無解定理；同余數(shù)表；數(shù)學歸納法

首先定義幾個集合：

{奇素數(shù)}={3，5，7，11，……}=P

{不大于2a的奇素數(shù)}={3，5，…，pk}=Pk?P

a≥5且a∈N。

1 一個引理及其證明

1.1 引理1的提出

引理1 對于每個大于10的偶數(shù)2a+2(a≥5，a∈N)下的方程組(1)①，如果y取某個定值y0時方程組(1)無正整數(shù)解，那么y為任意自然數(shù)時方程組(1)恒無正整數(shù)解；如果y取某個定值y0時方程組(1)有正整數(shù)解，那么y為任意自然數(shù)時(1)恒有正整數(shù)解。

(1)

1.2 引理1的證明

如果y取y0時方程組(1)有正整數(shù)解，則方程組(2)②有正整數(shù)解。

(2)

因為方程組(2)有正整數(shù)解，這時，在方程組(2)兩邊同時加上任意的2y(自然數(shù))，同余式方程組仍然成立，即方程組(1)有正整數(shù)解。

反之，如果y取y0時方程組(1)無正整數(shù)解，則方程組(2)無正整數(shù)解。這時在無解的方程組(2)兩邊同時加上任意的2y(自然數(shù))，同余式方程組仍然無解，即方程組(1)恒無正整數(shù)解。

證畢。

2 不缺項的雙無解定理

2.1 定理1的提出

定理1 對于每個大于10的偶數(shù)2a+2(a≥5，a∈N)，下列方程組(3)①和方程組(1)同時無正整數(shù)解。該定理簡稱為“不缺項雙無解定理”。

(3)

這個方程組的意義可參閱《采用缺項雙無解定理證明哥德巴赫猜想》一文[3]。

“不缺項的雙無解定理”的同步性證明可參閱《采用雙無解定理證明哥德巴赫猜想》一文[4]。

2.2 定理1方程組(3)的同余數(shù)表

將定理1中方程組(3)用同余數(shù)表來表示，可以得出定理2。

定理2 對于每個大于10的偶數(shù)2a+2(a≥5，a∈N)都可以構(gòu)造一個如表1所示的同余數(shù)表，該同余數(shù)表中至少存在一行無零，即整行余數(shù)不能出現(xiàn)一個零。

表1 定理2對應(yīng)于2a+2的同余數(shù)表

表1中y≥a，表1顯示的同余數(shù)是否“至少存在一行無零”？與方程組(3)所示的同余關(guān)系 “是否有解”具有對應(yīng)關(guān)系。如果表1中“至少存在一行無零”，即方程組(3)無解。反之，如果表1中“各行都至少有一個零”，則方程組(3)有解。

3 不缺項雙無解定理的證明

3.1 代入初始值檢驗

見于“不缺項雙無解定理”的方程組(3)和方程組(1)在有解或者無解這個問題上具有同步性，所以初始值檢驗只用驗證方程組(3)無解即可。

當2a=10時，Pk中有三個元素3、5、7，Pb中僅有一個元素3，其所對應(yīng)的同余數(shù)表如表2所示③。

表2 10+2對應(yīng)定理2的同余數(shù)表

表2中最下行顯示相對于模3，余數(shù)非零的行數(shù)。表2中有均兩行無零，故定理2成立。定理2成立即方程組(3)無解。

當2a=12時，沒有引起Pb變化，但是Pk當中多了一個元素11(第Ⅱ種情況)，其所對應(yīng)的同余數(shù)表如表3所示④。

表3 12+2對應(yīng)定理2的同余數(shù)表

表3中至少有兩行無零，故定理2成立。定理2成立即方程組(3)無解。

當2a=14、18、20、24時，沒有引起Pb變化，但是Pk當中多了一個元素，這都屬于第Ⅱ種情況。

2a=24以前相對于模3的同余數(shù)表如表4所示⑤。

當2a=16、22時，沒有引起Pk和Pb變化(第Ⅰ種情況)。根據(jù)引理1，其所對應(yīng)的同余數(shù)表至少有一行無零(表4中真值顯示，y=8、11時，非零行分別為4行和6行)，故定理2成立。

當2a=26時，沒有引起Pk變化，但是Pb當中多了一個元素5(第Ⅲ種情況)，其所對應(yīng)的同余數(shù)表與2a=24所對應(yīng)的同余數(shù)表的行數(shù)相同，但是模卻多了一個元素5。此時，2a=26所對應(yīng)的同余數(shù)表如表5所示⑥(表5的完整表見附表“哥德巴赫猜想的同余數(shù)表”)。

表5中最下行顯示相對于模3和模5，余數(shù)同時非零的組數(shù)。表5中y=13，pki=3的兩個單元格很關(guān)鍵，它是模5出現(xiàn)后，余數(shù)方有零的單元格。表5中，Pk中含有八個元素3、5、7、11、13、17、19、23，Pb中僅有兩個元素3、5。表5中相對于Pk至少有兩行無零，故定理2成立。定理2成立即方程組(3)無解。

觀察表5中y=12、13兩列，y從12到13能保持定理2成立的兩條證明思路是：

表4 24+2以前對應(yīng)定理2的同余數(shù)表

表5 26+2對應(yīng)定理2的同余數(shù)表

(1)反證法

反證法的假設(shè)：當y=12時定理2成立，y從12變動到13，因為模5的出現(xiàn)使得定理2不成立。該假設(shè)是說：當y=12時，表5中Pk的所有元素相對于模3的單元格內(nèi)至少有一個余數(shù)非零；當y=13時，表5中Pk的所有元素分別相對于模3和模5的那兩個單元格內(nèi)均至少有一個零。

反證法的推導：當y=13時，pki=3，即表5中相對于模3和模5的兩個單元格顯示模5的出現(xiàn)使得該單元格的余數(shù)為零。表5中y=13這一列向下的其他單元格，其整除性不受模5出現(xiàn)的影響。

根據(jù)“當y=13時，定理2不成立”的假設(shè)，由定理1的方程組(3)得出方程組(4)有解

(4)

因為模5的出現(xiàn)僅對pki=3起作用，所以由方程組(4)得出方程組(5)有解

(5)

方程組(5)很顯然是無解的——出現(xiàn)矛盾。故對于2a=26，定理2成立。

(2)存在無效列法

由表5可以看出，當y=16、24、27及其以15為間隔的自然數(shù)，如31、39、42等等時，模5的出現(xiàn)并不能使得模3的非零余數(shù)為零。即y=16、24、27、31、39、42等各列，相對于模5的余數(shù)為零時，模3的余數(shù)原本就是零；相對于模5的余數(shù)不為零時，模3的余數(shù)無所謂是零或者不是零。以y=16為例：

由定理1的方程組(3)得出方程組(6)有解

(6)

因為模5僅在pki=19時余數(shù)為零，但是模3在pki=19時的余數(shù)原本就是零。所以由方程組(6)得出方程組(7)有解

(7)

方程組(7)很顯然是無解的——出現(xiàn)矛盾。此時，根據(jù)引理1即可得出對于2a=26，定理2成立。

3.2 假設(shè)當2a=2n(a≥5，n∈N)時定理1成立

假設(shè)當2a=2n(a≥5，n∈N)時定理2成立，同余數(shù)表6至少存在一行無零。同時，定理1中方程組(3)和方程組(1)無正整數(shù)解。

3.3 遞推證明當2a=2(n+1)時定理1也成立

假設(shè)當2a=2n(a≥5，n∈N)時定理1成立，遞推證明當2a=2(n+1)時定理1也成立，這需要分四種情況討論，如表7所示[6]。

表6 定理2對應(yīng)于2n+2的同余數(shù)表

表7 數(shù)學歸納法向上遞推時的四種情況

3.3.1 第Ⅰ種情況

第Ⅰ種情況——2a從2n到2(n+1)沒有引起Pk和Pb的變化。根據(jù)引理1和解的同步性得知2a=2(n+1)所對應(yīng)的同余數(shù)表至少有一行無零，即方程組(3)無解。故此種情況下，定理1成立。

3.3.2 第Ⅱ種情況

第Ⅱ種情況——2a從2n到2(n+1)沒有引起Pb的變化，但是Pk發(fā)生了變化。此時，2a=2(n+1)所對應(yīng)的同余數(shù)表比2a=2n時的同余數(shù)表(表6)多了一行。根據(jù)引理1和解的同步性得知，所對應(yīng)的同余數(shù)表中至少有一行無零，故定理1成立。

3.3.3 第Ⅲ種情況

表8 定理2對應(yīng)于2(n+1)+2的同余數(shù)表

觀察表6和表8中的第一行。表6中模的空間是{3,5,7,…,pb}，至少存在一行無零。表8中，行數(shù)并沒有發(fā)生變化，卻多了一個模pb+1。只要表8中也至少存在一行無零，則定理2成立。

從表6到表8仍然能夠保持定理2成立的兩條證明思路是：

(1)反證法

反證法的假設(shè)：在表6中模域是{3,5,7,…,pb}時定理2成立，但是在表8中模域是{3,5,7,…,pb,pb+1}時定理2不成立。

反證法的推導：

根據(jù)“在表8中模域是{3,5,7,…,pb,pb+1}時定理2不成立”的假設(shè)，由定理1的方程組(3)得出方程組(8)有解

(8)

因為當y=n+1時，模pb+1的出現(xiàn)僅對pki=3起作用，所以由方程組(8)得出方程組(9)有解

(9)

方程組(9)已經(jīng)由《采用雙無解定理證明哥德巴赫猜想》[4]一文證明是無解的——出現(xiàn)矛盾。故對于2a=2(n+1)，定理2成立。

(2)存在無效列法

查看附表“哥德巴赫猜想的同余數(shù)表”可見，附表中的同余數(shù)據(jù)呈現(xiàn)以3×5×…×pb(模量的積)為周期的橫向循環(huán)。隨著模pb+1的出現(xiàn)，勢必能夠消除一些在模{3,5,7,…,pb}時的非零余數(shù)項，但是消除這些非零余數(shù)項的趨勢呈現(xiàn)向右下角傾斜的態(tài)勢，故不可能完全清除以往的非零余數(shù)項。模pb+1的出現(xiàn)并不能完全清除以往的非零余數(shù)項的原因是模的消去和同余數(shù)表橫向循環(huán)3×5×…×pb的周期不同步。

可以預(yù)見：在y≥n+1時，勢必會存在許多y的值使得pb+1的出現(xiàn)并不影響y=n時定理2成立。即對于特定的y，如果相對于模pb+1的余數(shù)為零時，模{3,5,7,…,pb}的余數(shù)原本就是零；如果相對于模pb+1的余數(shù)不為零時，模{3,5,7,…,pb}的余數(shù)是零或者不是零。這可以通過建立方程組或者借助EXCEL表格進行求解。一旦有特定的y存在，那么根據(jù)引理1就可得出定理2成立。

縱觀上面兩條證明思路，可見第Ⅲ種情況下，定理1成立。

3.3.4 第Ⅳ種情況

3.4 證明結(jié)論

根據(jù)數(shù)學歸納法得出：隨著n的遞增，定理2所對應(yīng)的同余數(shù)表中至少存在一行無零。定理2成立推出定理1成立。定理1成立，即對一切自然數(shù)n(n≥5，n∈N)，哥德巴赫猜想成立。

附表：

哥德巴赫猜想的同余數(shù)表(局部)

注釋：

①同余式方程組(1)與《線性代數(shù)》或者《矩陣論》上的表示是不同的，這種表示方式也是首創(chuàng)的。這種表示使得(1)同余式方程組左邊的常數(shù)項得到集中的展示，同時直接表示出了(1)同余式方程組右邊的模的集合。

②同余式方程組(2)實質(zhì)是把Pk以Pb為模進行同模同余表示。如果有方法能夠直接證明Pk不能以Pb為模進行同模同余表示，則哥德巴赫猜想迎刃而解。“不能同模同余表示定理”的證明請查閱《用同余數(shù)表證明哥德巴赫猜想》一文。

③隨著y的遞增，表2呈現(xiàn)以3為周期的無限循環(huán)延伸，此處只顯示y=5、6、7的同余數(shù)。

④隨著y的遞增，表3呈現(xiàn)以3為周期的無限循環(huán)延伸，此處只顯示y=6、7、8的同余數(shù)。

⑤隨著y的遞增，表4呈現(xiàn)以3為周期的無限循環(huán)延伸，請查看y=12、13、14三列及以后的同余數(shù)，比較完整。

⑥隨著y的遞增，表5呈現(xiàn)以3×5為周期的無限循環(huán)延伸，請查看y=13、14、…28各列及以后的同余數(shù)。

[1] 葉雉鳩.用同余數(shù)表證明哥德巴赫猜想[J].長春工程學院學報，2012，(2)：121-125.

[2] 袁明豪.Fibonaeci數(shù)列一組模數(shù)列的周期[J].黃岡師范學院學報，2007，27(3)：1-3.

[3] 葉雉鳩.采用缺項雙無解定理證明哥德巴赫猜想[J].遼東學院學報，2015，(2)：143-149.

[4] 葉雉鳩.采用雙無解定理證明哥德巴赫猜想[J].湛江師范學院學報，2012，(6)：17-25.

[5] 葉雉鳩.一類特殊同余方程組解的研究[J].咸陽師范學院學報，2012，(2)：8-10.

[6] 葉雉鳩.哥德巴赫猜想的證明[J].科技信息，2011，(25)：206-207.

責任編輯 王菊平

The double unanswered theorem of Goldbach conjecture and its proof in forms

YE Zhi-jiu

(Shaanxi Technical College of Finance & Economics, Xianyang 712000, Shaanxi， China)

Presents the double unanswered theorem of not lack term about the Goldbach conjecture. If this double unanswered theorem of not lack term unanswered theorem establishment, then the Goldbach conjecture was establishment. This double unanswered theorem of not lack term can be show with congruence forms. The method of recursive proof with the congruence table is more intuitive and there is no suspense. In this paper, we use mathematical induction to prove the Goldbach conjecture.

Goldbach conjecture; the double unanswered theorem of not lack term; congruence forms; mathematical induction

2017-02-20 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.04

葉雉鳩，男，陜西乾縣人，副教授，主要研究方向為數(shù)學和經(jīng)濟學研究。

O156.2

A

1003-8078(2017)03-0017-08