王厚林+李智

摘要：近年來受到了國內(nèi)外學者廣泛關注的壓縮感知技術，在突破Nyquist采樣理論的同時，為信息安全提供了一種新的加密機制。為了避免密鑰過大和消耗問題，將混沌參數(shù)作為密鑰，通過控制參數(shù)映射生成觀測矩陣和加密控制矩陣。利用觀測矩陣對原始圖像在稀疏基進行觀測，再用加密控制矩陣對觀測值的比特面進行置亂。解密過程為置亂算法逆運算和壓縮感知的重構算法。實驗仿真表明，該方法具有良好的加密抗攻擊特性，且能在加密圖像的同時壓縮數(shù)據(jù)。

關鍵詞：壓縮感知；混沌系統(tǒng)；圖像加密；比特分解

中圖分類號：TP309

文獻標識碼：A

文章編號：16727800（2017）004018803

0引言

隨著多媒體技術的發(fā)展，數(shù)字圖像由于形象生動、信息量大而成為一種重要的信息傳播載體，在政治、經(jīng)濟、國防、教育和醫(yī)療等領域大量使用了數(shù)字圖像技術。數(shù)字圖像作為一種新的信息載體，和傳統(tǒng)的文本信息相比有很大不同：①數(shù)據(jù)容量大；②相鄰像素相關性強；③數(shù)據(jù)冗余量大。這些固有特性導致傳統(tǒng)的加密算法不能有效加密圖像[1]。 圖像加密算法設計不僅要考慮算法的安全性和抗攻擊性，還要考慮算法的計算量和算法實現(xiàn)的復雜度，要考慮算法的資源代價和計算時間代價?，F(xiàn)有的加密算法經(jīng)常將多種加密過程聯(lián)合使用以提高加密系統(tǒng)的安全性，比如將數(shù)學變換和諸如混沌加密、混沌映射、像素置亂技術、相位恢復算法等技術結合的圖像加密算法。比特級置亂可以同時改變像素值和像素位置， Xiang等提出了一種只加密像素高四位而保持低四位不變的選擇圖像加密算法；Wang 等用 Logistic 映射構造一個隨機矩陣去控制置亂后的圖像像素點在比特級循環(huán)移位。 壓縮感知是一種新的信號采集理論，其在信號采集過程中即完成信號壓縮。將壓縮感知應用于圖像加密領域可以同時完成圖像壓縮和圖像加密，在恢復信號時必須知道壓縮感知的測量矩陣才能有效恢復。壓縮采樣過程可看成是加密過程，而測量矩陣就是密鑰。 本文在分析原有基于壓縮感知的加密算法基礎上，提出一種基于壓縮感知和混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法。該算法將壓縮感知的觀測矩陣同傳統(tǒng)的加密算法像素置亂和擴散矩陣結合起來，通過控制混沌系統(tǒng)的參數(shù)生成觀測矩陣，利用觀測矩陣的隨機性質(zhì)，設計像素的擴散置亂，生成相應的加密圖片。實驗仿真結果表明，該算法可完成一定的壓縮工作，具有優(yōu)秀的加密性能。

1相關理論

1.1壓縮感知

壓縮感知理論（Compressed sensing）是近年來提出并迅速發(fā)展的理論，它以信號的稀疏性為前提，能同時完成信號的壓縮和采樣，因其恢復算法需要已知觀測矩陣，所以完成了信號的初步加密過程。過程如下：假設長度為N的一維實離散信號X∈RN，可以采用N×N維正交基矩陣，ψ=[ψ1，ψ2，...ψN]的線性組合表示為：

其中，ψi為ψ的列向量，αi為加權系數(shù)，能夠?qū)π盘?x 進行壓縮感知的前提條件是 x 具有稀疏性。如果α中有 K 個（K<

1.2Logistic 混沌系統(tǒng)

1963 年，科學家洛倫茲在研究大氣流動問題時揭示出混沌現(xiàn)象具有不可預言性和對初始值的極端敏感依賴性[12] 。混沌信號的遍歷性、 類隨機的噪聲特性、 對初值的敏感性引起了密碼學界的廣泛關注?；煦缧盘柕谋闅v性正好滿足了Shannon 提出的密碼系統(tǒng)設計的擴散基本原則，其類噪聲的隨機性特征符合傳統(tǒng)密碼學中密文是偽隨機信號要求，而對初值的敏感性使得破譯者無法得到所用混沌密鑰流的種子密鑰及其系統(tǒng)參數(shù)。Logistic映射是一種簡單經(jīng)典的混沌映射[13]，其序列為：

在一幅灰度圖像中，每個像素值的取值范圍是[0， 255]，它表示為一個 8位的二進制序列。BBD 可以將一幅灰度圖像分解成 8 個二進制比特面，每個像素的二進制表示第i位共同組成了第i個比特面。

2加密算法

根據(jù)壓縮感知和比特面置亂等特性，本文提出一種基于壓縮感知的比特面置亂圖像加密算法。該算法利用壓縮感知的觀測矩陣計算置亂的比特面和位置，既改變了像素的位置，又改變了像素的值，具有良好的加密特性。

2.1加密步驟

本文采用Logistic混沌系統(tǒng)生成壓縮感知觀測矩陣，加密步驟如下：（1）用key1（x0，u1）迭代Logistic混沌N0+3MN次， 為了避免影響，丟掉前 N0個元素并間隔兩個值取一個值，得到的混沌序列中有 MN個元素X={x1，x2，...，xmn}。將序列轉(zhuǎn)化為M×N矩陣，即為壓縮感知觀測矩陣P。M的取值可以通過壓縮比調(diào)節(jié)。（2）用測量矩陣P 對明文圖像I壓縮采樣，測量值為 Y，Y=PI，并將Y均勻化，取值范圍為[0，255]。將觀測矩陣P量化到[0，255]內(nèi)的P′，量化公式為：

（3）將測量值Y做BBD分解隨機分成兩個組，本文采奇偶數(shù)分組。按照控制交換表CT和位置表XT和YT進行從上到下、從左到右的像素置亂：

2.2解密過程

解密過程為加密過程的逆過程，用密文圖像異或P′進行BBD分解，按奇偶位分組，根據(jù)公式從右到左、從下到上交換分組。交換后新組合為圖像Y，利用DCT稀疏基和OMP 算法 [15]進行壓縮感知重構得到明文圖像I。

3仿真分析

為了驗證算法的有效性，取密鑰key（x0，u0）=（0.023 425 234 6，3.923 456 789 2）構建觀測矩陣，加密圖像，取壓縮比為2：3，測試圖像為256×256的灰度圖片brain，測試結果如圖1所示。從圖1可以看出，本加密算法能同時完成圖像的加密和壓縮工作，且效果較好。

3.1直方圖分析

直方圖分析可以評價加密算法抵抗統(tǒng)計分析的能力，從圖2可以看出，各原始明文圖像與加密圖像直方分布截然不同，可以很好地抵抗統(tǒng)計攻擊。

3.2相關性分析

明文圖像攜帶有效信息，會在水平方向、垂直方向、對角線方向上具有高度相關性。一個好的加密算法能使像素間相關性很高的明文圖像在加密后相關性變得很低。表1是從brain圖像及其相應密文圖像的水平、垂直對角方向上分別隨機選取 2000 對相鄰像素做的測試結果。

顯然，圖像brian在加密前相關性很高，但是經(jīng)過加密后3個方向的相關性下降很多，證明本加密算法能有效置亂像素。

3.3解密圖像性噪比分析

本算法能同時進行加密和壓縮工作，在壓縮圖像的同時會造成部分噪聲，在此用峰值信噪比（PSNR）評價算法的壓縮性能，公式如下：

其中R（i，j）是解密重構的圖像，I（i，j）是原圖像。 表2為圖像brain在不同壓縮比下的加密解密結果，從表2可以看出，壓縮比越低，所恢復解密圖像的信噪比越高，圖像質(zhì)量越好。

4結語

本文提出了一種基于壓縮感知和混沌系統(tǒng)的比特級加密算法，將壓縮感知的觀測矩陣同加密算法的隨機置亂矩陣綁定，能在加密圖像的同時完成圖像的壓縮工作。算法中觀測矩陣采用Logistic混沌映射構造，具有優(yōu)秀的密鑰敏感性。實驗證明，該算法具有較優(yōu)秀的加密特性。

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（責任編輯：杜能鋼）