云南省保山第一中學 楊竹青
數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學思想,而遞推數(shù)列的通項問題具有很強的邏輯性,求解方法開放、靈活,是考查學生的理性思維、邏輯推理和化歸能力的好素材??v觀近幾年全國各地的高考試題,不難發(fā)現(xiàn)求某些形式較為簡單的遞推數(shù)列問題更是近年來的高考熱點之一。普通高中《數(shù)學課程標準》指出“能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應的問題”??梢?,讓學生運用已有的等差、等比數(shù)列知識去解決新的數(shù)列問題是課程標準的要求,也是高考“能力立意”的要求,本文對近年的高考題或課本上的習題為例,對幾類常見的遞推數(shù)列求通項問題中的構(gòu)造法(轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列)作一些探求,希望對大家有所啟發(fā)。
對形如an+1=pan+q(p≠1,q為常數(shù)),則令an+1+λ=p(an+λ)來構(gòu)造一個新的等比數(shù)列,并利用對應項相等求的值,求通項公式。
例1:(2014新課標II卷17題改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=1 ,an+1=3an+1,求數(shù)列{an}的通項公式。
簡析:解決該試題的關(guān)鍵是化an+1=pan+q為an+1+λ=p(an+λ)的形式,與已知式子相比較得λ,且從而構(gòu)建數(shù)列{an+λ}為首項為a1+λ(a1+λ ≠0)、公比為p的等比數(shù)列,先求出an+λ,再求出;
解:由a1=1 ,an+1=3an+1設(shè)an+1+λ=3(an+λ)則an+1=3an+2λ與an+1=3an+1比較系數(shù)得2λ=1解得是以為首項、3為公比的等比數(shù)列。
形如an+1an=can+1+dan(其中c、d為不等于零的常數(shù))或的遞推式,可以用倒數(shù)法來構(gòu)造。如取倒數(shù)法得則可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或拆分變換的情形。又如將遞推公式遞推式,考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有則可歸為an+1=pan+q型。
例2、已知數(shù)列{an}滿足a1=1且求a。n
解:由即
所以,數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列, 從而
評注:注意觀察和分析題目條件的結(jié)構(gòu)特點,對所給的遞推關(guān)系式進行變形,使與所求數(shù)列相關(guān)的數(shù)列(本例中數(shù)列是等差或等比數(shù)列后,就能求出通項公式了。
例2:已知數(shù)列{an}滿足,求數(shù)列{an}的通項公式。
解析:兩邊同除以3n+1,得:
∴是構(gòu)成首項為1,公差為的等差數(shù)列。
本例中的數(shù)列遞推公式類型為(其中q、r均為常數(shù)(q≠0),只需先在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得:即構(gòu)造等差數(shù)再求出數(shù)列(p、q為常數(shù))的遞推公式的求數(shù)列通項必須用兩次構(gòu)造成等比數(shù)列的方法。具體做的通項。
對形如法叫特征方程法——其特征方程為若方程兩根為則遞推公式可構(gòu)造成如下兩種對稱形式:,通過分別利用等比知識及加減消元法達到求的目的。
對數(shù)變換——如將遞推公式取對數(shù)得,將積、商、冪的形式轉(zhuǎn)化成和、差、倍的形式,從而構(gòu)成新的等差或等比數(shù)列。
對于某些比較復雜的遞推式,通過分析結(jié)構(gòu),聯(lián)想到與該遞推式結(jié)構(gòu)相同或相近的公式、函數(shù),再構(gòu)造“橋函數(shù)”來求出所給的遞推數(shù)列的通項公式的方法。
總之,遞推關(guān)系式的數(shù)列題,題型多種多樣,或直接給出遞推關(guān)系、或以其他背景出現(xiàn)。要求出數(shù)列的通項公式,解決的途徑盡管靈活多變,但關(guān)鍵是進行適當變形,將其轉(zhuǎn)換與化歸為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式問題,化復雜為簡單,化陌生為熟悉,是求通項公式的重要方法,也是高考重點考查的思想。如果我們不能很好地掌握其構(gòu)造的精髓,在解決這類問題將不可避免地會導致思維混亂、費時和失分。因此我們在教學中應充分重視,加強訓練,使學生實現(xiàn)運算能力、推理論證能力水平得到的提升,才能使學生在高考時對相關(guān)題型的題境不致發(fā)怵,盡快適應。