韓禹歆 陳來軍 王召健 劉 煒 梅生偉

(1.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和國家重點實驗室(清華大學(xué)電機(jī)系) 北京 100084 2.陜西省地方電力集團(tuán)有限公司 西安 710061)

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基于自適應(yīng)步長ADMM的直流配電網(wǎng)分布式最優(yōu)潮流

韓禹歆1陳來軍1王召健1劉 煒2梅生偉1

(1.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和國家重點實驗室(清華大學(xué)電機(jī)系) 北京 100084 2.陜西省地方電力集團(tuán)有限公司 西安 710061)

直流配電網(wǎng)的發(fā)展前景廣闊，其最優(yōu)潮流(OPF)問題關(guān)系到電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，具有重要的工程意義。針對放射狀直流配電網(wǎng)，以二階錐規(guī)劃(SOCP)凸松弛理論為基礎(chǔ)，建立了考慮電壓、電流、功率約束的SOCP-OPF凸規(guī)劃模型，并提出一種基于交替方向乘子法(ADMM)的分布式最優(yōu)潮流計算方法，以解決傳統(tǒng)集中式優(yōu)化方式面臨的諸多難題。相比已有研究，該方法在各節(jié)點配置計算單元，無需全局協(xié)調(diào)或分層分區(qū)，利用相鄰主體間少量的信息傳遞即可通過并行計算得出全局最優(yōu)解；優(yōu)化模型中考慮了配電線路傳輸電流限制，約束條件更全面；計算方法中設(shè)計了自適應(yīng)步長調(diào)整機(jī)制，計算效率較高。IEEE 33節(jié)點和IEEE 123節(jié)點的算例分析驗證了所提算法的準(zhǔn)確性和良好的收斂性。

直流配電網(wǎng) 分布式優(yōu)化 最優(yōu)潮流 交替方向乘子法 自適應(yīng)步長

0 引言

隨著分布式發(fā)電(Distributed Generation，DG)技術(shù)及電力電子技術(shù)的發(fā)展，直流配電網(wǎng)已在諸多方面具備一定的經(jīng)濟(jì)與技術(shù)優(yōu)勢。以光伏、燃料電池等為代表的DG在直流配電網(wǎng)接入時可省去DC-AC環(huán)節(jié)，有效降低成本和損耗[1]。此外，直流配電網(wǎng)還具有傳輸容量大、線路成本低、配電損耗小、供電可靠性高等多方面優(yōu)勢[2]，已逐漸成為熱點研究領(lǐng)域。其中，直流配電網(wǎng)的最優(yōu)潮流(Optimal Power Flow，OPF)問題，由于對其經(jīng)濟(jì)高效運(yùn)行乃至分布式電源技術(shù)發(fā)展的重要意義，更是受到了廣泛的關(guān)注[3]。

最優(yōu)潮流問題作為電力系統(tǒng)中的經(jīng)典問題，其求解方法層出不窮，包括基于數(shù)學(xué)規(guī)劃理論的繼承式線性/二次規(guī)劃法[4]、置信域法[5]、拉格朗日-牛頓法[6]、內(nèi)點法[7]等，以及各類智能算法如量子免疫算法[8]、粒子群算法[9]等。需要提出的是，以上優(yōu)化方法大多基于集中式優(yōu)化方法，在實際應(yīng)用中需通過調(diào)度中心收集并處理全局信息，經(jīng)過集中計算后下達(dá)調(diào)控指令。隨著DG以及其他各類可控設(shè)備的大量接入，集中式優(yōu)化對通信的要求將很難滿足，同時中控單元對計算和存儲資源的需求量也將急劇增加[10]。此外，在DG與配電網(wǎng)歸屬于不同利益主體的情況下，集中式優(yōu)化將難以有效保護(hù)DG主體的信息隱私[11]。在此背景下，分布式優(yōu)化方法應(yīng)運(yùn)而生，其特點是以并行計算和局部通信克服了傳統(tǒng)集中式優(yōu)化方法的瓶頸，無需全局協(xié)調(diào)，且對分布式電源接入具有較強(qiáng)的適應(yīng)性[12]。在主動配電網(wǎng)技術(shù)發(fā)展的驅(qū)動下，分布式優(yōu)化有望成為未來配電網(wǎng)優(yōu)化調(diào)度運(yùn)行的重要方式[13]。

目前分布式優(yōu)化的研究主要集中在交流配電網(wǎng)場景下。文獻(xiàn)[14，15]將配電網(wǎng)劃分成多個區(qū)域，提出的區(qū)域內(nèi)集中式、區(qū)域間分布式的優(yōu)化策略。文獻(xiàn)[16，17] 提出了以節(jié)點為主體的完全分布式優(yōu)化方法，無需考慮區(qū)域劃分問題。文獻(xiàn)[18]考慮了三相配電網(wǎng)不平衡的特點，采用半正定規(guī)劃(Semidefinite Program，SDP)凸松弛方法將OPF模型凸化后進(jìn)行分布式求解。在直流配電網(wǎng)研究方面，文獻(xiàn)[19]提出了直流配電網(wǎng)OPF模型的二階錐規(guī)劃(Second-Order Cone Programming，SOCP)凸松弛理論，為OPF問題的全局尋優(yōu)求解打下重要理論基礎(chǔ)。但總體而言，目前對直流配電網(wǎng)分布式OPF求解的研究相對較少。如前文所述，分布式電源接入便捷是直流配電網(wǎng)的優(yōu)勢之一，多DG配電網(wǎng)也將是未來直流配電網(wǎng)的重要應(yīng)用場景。隨著未來分布式電源數(shù)量的不斷增多，傳統(tǒng)集中式直流配電網(wǎng)優(yōu)化調(diào)度將受到挑戰(zhàn)。因此，直流配電網(wǎng)分布式優(yōu)化問題的研究對其未來發(fā)展和分布式電源應(yīng)用具有重要前瞻性意義[20，21]。

本文在SOCP凸松弛理論的基礎(chǔ)上，考慮了電壓、電流以及功率約束建立了SOCP-OPF優(yōu)化模型，并提出一種基于交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)的自適應(yīng)步長分布式OPF高效算法，通過臨近節(jié)點的信息傳遞，實現(xiàn)了放射狀直流配電網(wǎng)OPF問題的分布式求解。與已有分布式優(yōu)化算法相比，本文方法無需全局協(xié)調(diào)或分層分區(qū)，屬于完全分布式優(yōu)化算法；OPF模型考慮了線路最大傳輸電流約束，實用性較強(qiáng)；算法內(nèi)部無需再調(diào)用優(yōu)化迭代子過程，且設(shè)計有自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制，計算效率較高。最后用算例證明了本文算法具有良好的收斂性和準(zhǔn)確性。

1 優(yōu)化模型與SOCP凸松弛

首先，將放射狀直流配電網(wǎng)建模為一個如圖1所示的樹狀有向圖T=(N,E)，有向圖中的頂點代表配電網(wǎng)中的節(jié)點，邊代表配電網(wǎng)中的線路。其中N={1,2,…,n}為節(jié)點的集合，令根節(jié)點編號為1，N+=N{1}表示除根節(jié)點外所有節(jié)點的集合；E為線路的集合，規(guī)定線路方向總是由根節(jié)點指向末端節(jié)點。設(shè)圖中節(jié)點i與節(jié)點j由線路相連，則i，j稱為相鄰節(jié)點，記為i～j；若線路方向由i指向j，則節(jié)點j稱為節(jié)點i的子節(jié)點，記為j∈Ci，其中Ci為節(jié)點i子節(jié)點的集合，作為數(shù)值時表示節(jié)點i的子節(jié)點數(shù)；節(jié)點i為節(jié)點j唯一的母節(jié)點，記為i∈Aj，其中Aj代表節(jié)點j母節(jié)點的單元素集合。規(guī)定母節(jié)點編號總是小于子節(jié)點編號。

基于上述定義，典型的直流配電網(wǎng)OPF模型可表示為[22]

(1)

系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)為發(fā)電總成本時，令功率輸入節(jié)點pi為正值，輸出節(jié)點為負(fù)值，則有

(2)

式中，ai為各節(jié)點的發(fā)電成本系數(shù)，一般在公共耦合點(PointofCommonCoupling，PCC)和DG接入節(jié)點為大于0的常數(shù)，在負(fù)荷節(jié)點處為0。令系統(tǒng)任意節(jié)點ai=1，則式(2)表示系統(tǒng)網(wǎng)損。

約束條件方面，考慮到實際配電網(wǎng)中配電線路的最大傳輸電流限制，本文除常規(guī)潮流平衡約束、節(jié)點注入功率約束和節(jié)點電壓上下限約束之外，也考慮了支路電流上下限約束。相對于交流配電網(wǎng)，直流配電網(wǎng)中的OPF無需考慮有功功率和無功功率之間的耦合，有利于提升計算效率，實現(xiàn)快速乃至實時的優(yōu)化調(diào)度。

由于潮流平衡方程的非線性，模型式(1)為非凸規(guī)劃問題，一般的優(yōu)化算法無法保證其求解的收斂性與最優(yōu)性。凸松弛理論可將式(1)中的潮流平衡約束松弛成為凸約束，從而將式(1)轉(zhuǎn)化成凸規(guī)劃，進(jìn)行求解[23-25]。其中二階錐規(guī)劃凸松弛是常見的凸松弛方法，具有模型復(fù)雜度低、計算速度快等優(yōu)勢，在放射狀配電網(wǎng)中具有良好的適用性。根據(jù)文獻(xiàn)[19]的SOCP凸松弛理論，令k∈Ai，可將式(1)轉(zhuǎn)換為式(3)所示的凸規(guī)劃問題(SOCP-OPF)。

(3)

若凸松弛后的優(yōu)化模型最優(yōu)解與原模型相同，稱其為精確的。對于放射狀電網(wǎng)，在滿足微弱條件的情況下可保證SOCP凸松弛的精確性[22]，因此不妨設(shè)SOCP-OPF模型式(3)精確，可通過凸規(guī)劃式(3)完成直流配電網(wǎng)OPF問題的求解。為克服前文所述的常規(guī)集中式優(yōu)化方式在未來主動配電網(wǎng)中應(yīng)用的弊端，接下來本文將基于ADMM方法提出一種分布式優(yōu)化算法對式(3)進(jìn)行求解。

2 分布式OPF算法

2.1 交替方向乘子算法

ADMM方法結(jié)合了對偶分解法解耦的思想和乘子法收斂速度快的特點，具有收斂性好，魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點，在分布式優(yōu)化中較為適用[16]。傳統(tǒng)的ADMM方法可用于求解如下優(yōu)化問題

(4)

式中，X、Z為凸集，模型式(4)為凸規(guī)劃。令λ為其中等式約束的拉格朗日乘子，則增廣拉格朗日算子為

Lρ(x,z,λ)=f(x)+g(z)+λT(Ax+Bz-c)+

(5)

式中，ρ為常數(shù)，ρ≥0。

ADMM方法迭代過程分為x迭代、z迭代和λ迭代，各迭代過程的具體表達(dá)式為

xk+1=argminx∈XLρ(x,zk,λk)

(6)

zk+1=argminz∈ZLρ(xk+1,z,λk)

(7)

λk+1=λk+ρ(Axk+1+Bzk+1-c)

(8)

迭代計算中的原始?xì)埐詈蛯ε細(xì)埐罘謩e為

rk=‖Axk+Bzk-c‖

(9)

sk=ρ‖ATB(zk-zk-1)‖

(10)

凸規(guī)劃問題采用ADMM方法計算可保證收斂至最優(yōu)解[26]。

本文提出的分布式ADMM算法主要包括3步：首先將OPF模型處理為ADMM方法可以求解的形式，并根據(jù)分布化計算的要求設(shè)計各個節(jié)點的本地變量集；然后將迭代過程分解為各節(jié)點的本地計算過程；最后設(shè)計一種自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制提升算法的效率。

2.2 分布式OPF建模

式(3)的OPF問題可簡化為

(11)

(12)

通過引入影子變量z，上述步驟將式(11)中的等式約束和不等式約束進(jìn)行了解耦，使原變量x和影子變量z分別只受一部分條件的約束，在每個迭代周期中分別進(jìn)行更新，最后由等式約束x-z=0對二者值進(jìn)行統(tǒng)一。此方法減少了變量分布式迭代過程中子優(yōu)化問題的約束條件，使其具有解析解，從而令各分布式計算單元無需運(yùn)行復(fù)雜的優(yōu)化迭代算法即可完成迭代計算，降低了計算復(fù)雜性。這一點將在后續(xù)章節(jié)中有所體現(xiàn)。

值得注意的是，式(12)中的x-z=0是作為形如式(4)中Ax+Bz=c的等式約束條件存在，并不代表x和z在任何時刻完全相等。ADMM作為一種數(shù)值優(yōu)化解法，變量x和z將分別通過不同的迭代更新過程共同逼近最優(yōu)解，因此在采用ADMM求解式(12)過程中，x和z數(shù)值上可能存在差異。

循此思路可將式(3)轉(zhuǎn)換為式(4)的形式。對于節(jié)點i∈N，令式(3)中全部本地電氣量組成變量x及變量z，即

(13)

(14)

同時對于優(yōu)化模型中涉及的母節(jié)點相關(guān)量，建立一個變量表示子節(jié)點j對母節(jié)點i相關(guān)信息的估計，即

xi,j=(vi,j,Pij,j)Tj∈Ci

(15)

式中，vi,j、Pij,j為子節(jié)點j對其母節(jié)點i的vi、Pij值的估計值。為方便后續(xù)計算，定義變量z的子變量為

(16)

令k∈Ai，可建立如下所示的優(yōu)化模型：

(17)

(18)

Pik+Pki,i=zkilkii∈N+

(19)

vi-vk,i+zki(Pki,i-Pik)=0i∈N+

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

xi-zi=0i∈N

(25)

(26)

(27)

2.3 分布式OPF求解

式(17)～式(26)的增廣拉格朗日算子可寫為以下兩種完全等價的形式

Lρ(x,z,λ,μ)

(28)

Lρ(x,z,λ,μ)

(29)

對于任意節(jié)點i，式(28)關(guān)注其與母節(jié)點k之間的關(guān)系，涉及到式(17)～式(26)中x約束的母節(jié)點相關(guān)電氣量，因此x迭代過程采用式(28)的表達(dá)形式；而式(29)關(guān)注節(jié)點與其子節(jié)點j之間關(guān)系，各變量均來自本地，無需與相鄰節(jié)點進(jìn)行通訊，對于僅考慮z約束的z迭代過程較為適用。下面將分別介紹x迭代、z迭代和λ迭代過程的分布化。

1)分布式x迭代。

結(jié)合式(6)和式(28)可將x迭代過程表示為

xk+1=argminLρ(x,zk,λk,μk)

(30)

(31)

因此，節(jié)點i的x迭代子過程求解的子優(yōu)化問題如式(32)所示，其中以xi、xk,i為優(yōu)化變量，其余變量z、λ、μ固定為常數(shù)。節(jié)點i的計算單元對式(32)進(jìn)行優(yōu)化求解后，更新xi、xk,i的數(shù)值，即完成了一次x迭代。

(32)

進(jìn)一步，式(32)可抽象為優(yōu)化問題式(33)，它有解析解，并可通過式(34)計算得出。

(33)

(34)

需要說明的是，每次x迭代前節(jié)點i需要與其母節(jié)點k通信獲取xk,i、zk、μi的數(shù)值，x迭代完成后再將新的xk,i值返回母節(jié)點k，這也將是整個x-z-λ迭代周期中所需唯一的一次節(jié)點間通信。設(shè)k∈Ai，則通信機(jī)制如圖2所示。

圖2 x迭代前后通信機(jī)制示意圖Fig.2 Schematic diagram of communication before and after x-iteration

圖2 x迭代前后通信機(jī)制示意圖Fig.2 Schematic diagram of communication before and after x-iteration

2)分布式z迭代。

z約束均為本地約束，采用式(29)的拉式乘子表達(dá)形式，可無需與相鄰節(jié)點進(jìn)行通信。結(jié)合式(7)，節(jié)點i的本地z迭代過程可表示為

zk+1=argminLρ(xk,z,λk,μk)

(35)

(36)

(37)

此過程以zi為優(yōu)化變量，其它變量為常數(shù)進(jìn)行迭代更新，所需參數(shù)均可從本地獲取。節(jié)點1的子問題容易求解，而對于節(jié)點i∈N+，可令

(38)

則式(37)可表示為

(39)

式中，y3,y5,…,y4+Ci可直接通過式(40)求解；其他變量值通過求解優(yōu)化問題式(41)獲得。

(y3,y5,y6,…,y4+Ci)

(40)

(41)

式(41)通過分情況討論具有解析解，具體解法見附錄。

3)分布式λ迭代。

結(jié)合式(8)，節(jié)點i的λ迭代過程同樣僅需本地信息計算，即

λi=λi+ρ(xi-zi)

(42)

(43)

綜上所述，本文算法中整個x-z-λ迭代周期內(nèi)的運(yùn)算均具有解析形式，各計算單元無需運(yùn)行任何優(yōu)化算法，計算效率較高；同時各計算單元僅需每個周期內(nèi)與母節(jié)點進(jìn)行一次數(shù)據(jù)的收發(fā)即可獨(dú)立完成迭代過程，因此本文方法屬于完全分布式優(yōu)化算法。

2.4 步長自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制

在ADMM方法中，步長ρ的選取對算法收斂速度有較大的影響，其選取不當(dāng)可能導(dǎo)致原始及對偶?xì)埐钪心骋豁検諗克俣冗h(yuǎn)慢于另一項，延長算法的計算時間。因此本文提出一種自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制，即

(44)

上述自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制的基本思路是平衡原始?xì)埐罴皩ε細(xì)埐钍諗克俣?，避免因二者其一收斂過慢。當(dāng)原始?xì)埐顁k相對較大時，增大步長，即可增大式(28)和式(29)中范數(shù)項比重，促進(jìn)x與z的接近，由此加快rk收斂；當(dāng)原始?xì)埐顁k相對較小時，減小步長可減少目標(biāo)函數(shù)的震蕩，促進(jìn)z變量的收斂。本文以rk、sk之間比值的對數(shù)作為調(diào)整步長的參照量，根據(jù)殘差大小對比靈活調(diào)整步長的同時，可利用對數(shù)函數(shù)的飽和性有效避免步長調(diào)節(jié)幅度過大導(dǎo)致算法迭代過程的振蕩。

3 算例分析

3.1IEEE33節(jié)點算例(算例1)分析

相對于集中式優(yōu)化中計算單元能夠掌握全局信息，分布式優(yōu)化中各相鄰主體間僅有少量數(shù)據(jù)的傳遞，因此能否保證算法在較少迭代次數(shù)內(nèi)收斂至最優(yōu)解是分布式優(yōu)化的主要難點。本文將圖3所示的標(biāo)準(zhǔn)IEEE33節(jié)點配電網(wǎng)系統(tǒng)修改為直流配電網(wǎng)，并進(jìn)行分布式OPF仿真測試以驗證算法求解過程的收斂性及最優(yōu)性。

圖3 算例1的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.3 Topology of case 1

各節(jié)點電壓上、下限分別設(shè)置為1.07(pu)和0.93(pu)，系統(tǒng)中接入5個分布式電源，根節(jié)點1為平衡節(jié)點，電壓固定為1.05(pu)。同時按照配電網(wǎng)常用的LGJ-70型號線路，支路電流上限設(shè)置為275A。算例分析采用的仿真環(huán)境為Intel(R)Core(TM)i5-2 540MCPU，2.60GHz，8GB內(nèi)存，仿真平臺為Matlab2012b。

為驗證結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文同時將采用CVX優(yōu)化工具中的SDPT3算法進(jìn)行集中式優(yōu)化計算，將其結(jié)果與本文算法進(jìn)行比較。

首先，令目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)網(wǎng)損，即各節(jié)點成本系數(shù)均為1進(jìn)行仿真測試，系統(tǒng)網(wǎng)損以及殘差隨迭代過程的變化曲線如圖4和圖5所示。

圖4 算例1網(wǎng)損迭代變化曲線Fig.4 Power loss during iteration in case 1

圖5 以網(wǎng)損為目標(biāo)時殘差迭代變化曲線Fig.5 Residual with minimization of power loss during iteration

在ADMM法中，原始?xì)埐铙w現(xiàn)了模型的不可行度，對偶?xì)埐顒t可用于判斷迭代是否收斂至最優(yōu)解，兩者的變化趨勢反映算法的收斂特性。從圖4和圖5可以看到，本文所提算法通過67次迭代計算收斂至最優(yōu)解，具有良好的收斂性，且目標(biāo)函數(shù)最終收斂至與集中式優(yōu)化相同的結(jié)果12.09kW。本文算法計算結(jié)果與集中式優(yōu)化結(jié)果比較見表1。

表1 IEEE 33節(jié)點算例計算結(jié)果對比

由表1可見，在誤差允許的范圍內(nèi)，本文所提的分布式算法計算結(jié)果與集中式算法相比計算結(jié)果完全一致，驗證了本文算法具有較好的準(zhǔn)確性。

計算效率方面，本文算法計算時間為1.20 s，考慮到本文算法在單個計算機(jī)上為串行仿真，故單節(jié)點平均計算時間為1 200/33=36.36 ms，而集中式優(yōu)化計算時間為2.46 s，本文算法具有明顯優(yōu)勢。

保持其他參數(shù)不變，改變仿真的目標(biāo)函數(shù)，令大電網(wǎng)的成本系數(shù)為1，DG的成本系數(shù)為0.5，負(fù)荷節(jié)點的成本系數(shù)為0，則有

(45)式中，G為DG接入節(jié)點的集合。此時目標(biāo)函數(shù)代表當(dāng)大電網(wǎng)發(fā)電成本為DG的兩倍時系統(tǒng)的總發(fā)電成本。

目標(biāo)函數(shù)及殘差隨迭代過程的變化曲線如圖6和圖7所示?？梢姡谝园l(fā)電成本為目標(biāo)函數(shù)的情況下，本文算法同樣展現(xiàn)了良好的收斂性。同時本文算法與集中式優(yōu)化結(jié)果一致，均為5臺DG滿發(fā)，目標(biāo)函數(shù)最小值為1 715 kW。與以網(wǎng)損為目標(biāo)函數(shù)時的仿真結(jié)果相比較，由于本次仿真DG的發(fā)電成本低于大電網(wǎng)的發(fā)電成本，因此系統(tǒng)偏向于消納DG發(fā)出的電能，體現(xiàn)了實際配電網(wǎng)中優(yōu)先消納清潔能源，避免棄風(fēng)、棄光的原則。本次分布式計算總時間2.14 s，節(jié)點平均耗時2140/33=64.85 ms，而集中式優(yōu)化計算耗時2.45 s。受條件限制本文算例中不是多臺電腦獨(dú)立計算再相互通信，而是在一臺電腦上串行計算后再交換信息，此時所需的計算時間比集中式長。然而，在實際運(yùn)行時，每個節(jié)點各自計算，是并行過程，且單個節(jié)點的計算量較小，因而單個節(jié)點的計算時間較集中式優(yōu)化短。

圖6 算例1發(fā)電總成本迭代變化曲線Fig.6 Generation cost during iteration in case 1

圖7 以發(fā)電總成本為目標(biāo)時殘差迭代變化曲線Fig.7 Residual with minimization of generation cost during iteration

為驗證本文提出的自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制的有效性，以網(wǎng)損為目標(biāo)函數(shù)，其他參數(shù)不變，考察有無自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制的迭代次數(shù)，結(jié)果對比如圖8所示。引入自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制前，算法迭代過程中原始?xì)埐钍諗枯^慢，導(dǎo)致算法迭代110次后才能收斂；引入自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制后，原始?xì)埐钍諗克俣让黠@加快，迭代次數(shù)減少至67次。

圖8 自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)對算例1收斂性的影響Fig.8 Comparasion of iteration with and without self-adaptation in case 1

3.2 IEEE 123節(jié)點算例(算例2)分析

為進(jìn)一步驗證本文所提方法的有效性，以下將以IEEE 123節(jié)點配電網(wǎng)系統(tǒng)為例，進(jìn)行分布式OPF仿真。修改后的IEEE 123節(jié)點配電網(wǎng)系統(tǒng)如圖9所示。主要的修改為在系統(tǒng)中接入7個分布式電源，分別位于節(jié)點11、34、33、83、96、85、114。各節(jié)點電壓上、下限分別設(shè)置為1.07(pu)和0.93(pu)。

圖9 算例2的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.9 Topology of case 2

以網(wǎng)損為目標(biāo)的仿真結(jié)果如圖10和表2所示。其中，圖10給出了求解過程中網(wǎng)損的變化，表2比較了集中式優(yōu)化結(jié)果與本文算法結(jié)果。

圖10 算例2網(wǎng)損迭代變化曲線Fig.10 Power loss during iteration in case 2

DG節(jié)點有功出力上限/kW分布式ADMM結(jié)果/kW集中式CVX結(jié)果/kW相對誤差(%)11800408 2410 20 533400400400034900866 1871 10 5883300300300085500495 6490 11 1962002002000114700667 6666 10 22

由圖10可知，本文算法通過1 130次迭代計算即可收斂至最優(yōu)解。

由表2可知，本文算法所得結(jié)果與集中式優(yōu)化結(jié)果的相對誤差小于1.2%，證明了本文算法具有較好的準(zhǔn)確性。

計算效率方面，本文算法計算時間為119 s，考慮到本文算法在單個計算機(jī)上為串行仿真，故單節(jié)點平均計算時間為119 s/123=0.963 s，而集中式優(yōu)化計算時間為5.27 s，本文算法具有明顯優(yōu)勢。較高的計算效率也有助于本算法未來在配電網(wǎng)中實現(xiàn)在線優(yōu)化和實時調(diào)度。

保持其他參數(shù)不變，改變仿真的目標(biāo)函數(shù)，令大電網(wǎng)的成本系數(shù)為1，DG的成本系數(shù)為0.5，負(fù)荷節(jié)點的成本系數(shù)為0?？偘l(fā)電成本隨迭代過程的變化曲線如圖11所示。

圖11 算例2發(fā)電總成本迭代變化曲線Fig.11 Generation cost during iteration in case 2

由圖11可知，在以發(fā)電成本為目標(biāo)函數(shù)的情況下，本文所提算法通過900次迭代計算收斂至最優(yōu)解。同時本文算法與集中式優(yōu)化結(jié)果一致，目標(biāo)函數(shù)最小值為1 805 kW。本次分布式計算總時間109 s，節(jié)點平均耗時109 s/123=0.886 s，而集中式優(yōu)化計算耗時9 s。由此可見，本文所提的分布式算法與集中式優(yōu)化相比具有明顯的計算效率優(yōu)勢。

由圖12可知，未引入步長自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制時，算法迭代900次后才能收斂；而引入自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制后，原始?xì)埐钍諗克俣让黠@加快，迭代次數(shù)減少至460次。

圖12 自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)對算例2收斂性的影響Fig.12 Comparasion of iteration with and without self-adaptation in case 2

4 結(jié)論

本文針對放射狀直流配電網(wǎng)的最優(yōu)潮流問題，建立了考慮支路電流約束的SOCP-OPF凸規(guī)劃模型，并提出了一種基于ADMM可自適應(yīng)調(diào)節(jié)步長的分布式OPF求解方法。相比于傳統(tǒng)集中式優(yōu)化方法，該算法僅需節(jié)點間局部通信即可通過并行計算求出全局最優(yōu)解，無需全局協(xié)調(diào)或分層分區(qū)，且具有通信要求低、計算量分散、適應(yīng)性強(qiáng)、保證數(shù)據(jù)隱私等優(yōu)勢。本方法在子優(yōu)化問題求解中無需調(diào)用優(yōu)化迭代過程，且具備自適應(yīng)步長調(diào)節(jié)機(jī)制，計算效率較高，在實時優(yōu)化調(diào)度方面具有一定應(yīng)用前景。算例分析也驗證了其較好的收斂性及準(zhǔn)確性。

附 錄

式(41)可簡化為

(A1)

其拉格朗日算子為

λ1(z1-z1max)-λ2(z1-z1min)+

γ1(z2-z2max)-γ2(z2-z2min)

(A2)

根據(jù)KKT條件，式(A1)的最優(yōu)解滿足如下最優(yōu)性條件

(A3)

由于式(A1)為凸規(guī)劃，且問題存在可行解，因此當(dāng)z1max≥z1min≥0、z2max≥z2min≥0時，式(A3)存在唯一最優(yōu)解，下面分情況討論最優(yōu)解。

情況1：若μ=0，則式(A3)可化為

(A4)

若忽略式(A4)中最后一個不等式約束，則其的解為

(A5)

情況2：若μ>0，則式(A3)可化為

(A6)

2z2+c2-k2μ+γ1-γ2=0

(A7)

(A8)

λ1(z1-z1max)=0λ1≥0z1≤z1max

(A9)

λ2(z1min-z1)=0λ2≥0z1≥z1min

(A10)

γ1(z2-z2max)=0γ1≥0z2≤z2max

(A11)

γ2(z2min-z2)=0γ2≥0z2≥z2min

(A12)

(A13)

將式(A13)代入式(A7)可得

(A14)

將式(A14)代入式(A6)與式(A8)得

(A15)

(A16)

為求出最優(yōu)解，按順序考慮如下4種情況：

1)若z1、z2均達(dá)到上限值或下限值。

不妨設(shè)z1、z2均為上限值即z1=z1max,z2=z2max，可知λ2=γ2=0，由式(A13)的正根可求出z3值。將結(jié)果代入式(A14)～式(A16)可得出μ、λ1、γ1，若μ、λ1、γ1值均非負(fù)，則結(jié)果為式(A1)的最優(yōu)解，否則進(jìn)入下一情況。其他z1,z2均達(dá)到限值情況以此類推。

2)若z1達(dá)到上限值或下限值且z2min

不妨設(shè)z1=z1max，有λ2=γ1=γ2=0。將z1值代入式(A16)得出

(A17)

式(A17)若存在正實根z3，可由式(A15)、式(A13)與(A14)先后求出λ1、z2、μ，若μ、λ1非負(fù)，則該解為式(A1)的最優(yōu)解，否則考慮下一情況。z1=z1min情況類似。

3)若z2達(dá)到上限值或下限值且z1min

不妨設(shè)z2=z2max，有λ1=λ2=γ2=0。將式(A13)代入式(A15)和式(A16)中，得

(A18)

(A19)

式(A18)和式(A19)消去(c2+γ1)可得

(A20)

式(A20)若存在正實根z3，可由式(A18)、式(A19)、式(A13)、式(A14)分別求出γ1、z1、μ，若μ、γ1非負(fù)，則該解為式(A1)的最優(yōu)解，否則考慮下一情況。z2=z2min情況類似。

4)若z1min

(A21)

(A22)

式(A21)與式(A22)的兩端分別相除，得

(A23)

化簡得

(A24)

將式(A24)代入式(A22)有

(A25)

求解出式(A25)的正實根代入式(A24)得出z1，隨之由式(A13)計算出z3、z2，再利用式(A14)求出μ，若其非負(fù)，則該解為問題式(A14)的最優(yōu)解。

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(編輯 張玉榮)

Distributed Optimal Power Flow in Direct Current Distribution Network Based on Alternative Direction Method of Multipliers with Dynamic Step Size

HanYuxin1ChenLaijun1WangZhaojian1LiuWei2MeiShengwei1

(1.State Key Lab of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipments Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China 2.Shaanxi Regional Electric Power Group Co.Ltd. Xi′an 710061 China)

Direct current distribution network has broad prospects，and its optimal power flow(OPF)problem has important significance to economical operation.Following the advances in second-order cone programming(SOCP)convex optimization，this paper establishes the SOCP-OPF model in which the constraints of voltages，currents and power are considered for direct current distribution network in redial topology.In addition，a distributed OPF calculating method based on alternating direction method of multipliers(ADMM)is proposed to overcome many difficulties faced by traditional centralized dispatch method.Compared with existed researches，each bus is equipped with a computing agent and the agents exchange simple information with neighbors in every iteration，then solve the optimization problem in a parallel pattern without centralized global coordination.The SOCP-OPF model takes the current limits on the lines into consideration，which makes the model more practical.The proposed method also has a dynamic step size adjusting strategy to improve the efficiency of calculating.Numerical simulations on typical system show the good convergence and accuracy of the algorithm.

DC distribution network，distributed optimization，optimal power flow(OPF)，alternating direction method of multipliers(ADMM)，dynamic step size

國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體項目(51321005)。

2016-05-12 改稿日期2016-10-04

TM744

韓禹歆 男，1992年生，碩士，研究方向為電力系統(tǒng)分布式優(yōu)化。

E-mail：hanyuxin1992@126.com

陳來軍 男，1984年生，副教授，研究方向為新能源發(fā)電與儲能技術(shù)。

E-mail：chenlaijun@tsinghua.edu.cn(通信作者)