王澤洲，陳云翔，項華春

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，西安 710051）

基于乘積偏好關系的專家模糊核聚類賦權方法*

王澤洲，陳云翔，項華春

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，西安 710051）

多屬性、多目標性決策中，針對專家給出各方案偏好關系下的決策問題，提出一種基于乘積偏好關系的專家模糊核聚類賦權方法。該方法運用模糊核聚類的思想實現(xiàn)對決策專家的聚類，并通過放寬歸一化約束條件，克服了傳統(tǒng)模糊核聚類算法中離群點對聚類結果的影響。同時，在專家類內(nèi)賦權過程中，運用CI-IOWG算子集結同類專家的意見，依據(jù)不同專家對于形成類別一致性意見的貢獻程度來確定專家權重；克服了傳統(tǒng)基于熵權或判斷矩陣一致性的賦權方法的局限性。算例表明，該方法可行、有效。

乘積偏好關系，專家賦權，模糊核聚類，CI-IOWG算子

0 引言

在多目標、多屬性決策問題中，由于決策對象存在模糊性，決策者存在主觀不確定性，決策者（專家）往往偏向于給出決策對象相互比較的偏好關系。這些偏好關系大致可以分為模糊偏好關系、語言偏好關系以及乘積偏好關系3類［1-4］。當前，對于偏好關系決策問題的研究主要集中于多偏好關系單一屬性決策、單一多屬性偏好關系決策以及多屬性群決策方向，而缺乏對于通過聚類方法分析偏好差異的研究。如徐澤水等［5］采用目標規(guī)劃的方法，解決基于模糊互反判斷矩陣的（乘積偏好關系）和信息不完全的決策問題當中的屬性賦權問題，從而得到方案的最終排序。Herrera-Viedma等人［6］提出了一種由偏好值構成的集合來構造一致性模糊偏好關系和一致性乘積偏好關系的方法，并以此為基礎集結專家意見，建立目標規(guī)劃模型，確定方案排序。徐選華等［7］通過建立偏差熵模型，確定專家權重和屬性權重的初始值，并通過迭代運算達到群體一致性水平，從而最終獲得一個綜合各方意見的群體一致性乘法偏好關系。

為了解決在乘積偏好關系下缺乏運用聚類分析的方法解決多屬性、多目標決策這一問題，本文提出一種基于乘積偏好關系的專家模糊核聚類賦權方法。該方法運用核函［8-10］數(shù)將偏好關系矩陣的特征向量映射到高維特征空間，進一步發(fā)掘出了偏好關系的本質(zhì)信息，實現(xiàn)了對專家偏好關系的聚類；同時，通過放寬傳統(tǒng)模糊核聚類算法的歸一化約束條件［11-12］，克服了當數(shù)據(jù)包含離群點時，會導致2個或2個以上聚類對象對于2個類別的隸屬度十分接近，從而難以分類的情況發(fā)生，實現(xiàn)對離群點的準確聚類。并且在類內(nèi)賦權過程中，該方法采用CI-IOWG算子［13］集結專家的意見，依據(jù)不同專家對于形成類別一致性意見的貢獻程度來確定專家權重；解決了在判斷矩陣一致性以及信息熵都相等但專家意見卻差別很大的情況下，因采用信息熵、判斷矩陣一致性比率或兩者耦合作為聚類標準而導致意見不同的專家被賦予相同權重的問題，拓展了賦權方法的應用范圍。

1 基于乘積偏好關系的專家模糊核聚類分析

模糊核聚類的主要原理是：通過特定的非線性函數(shù)Φ，將專家偏好矩陣的排序向量映射到高維特征空間Rd，并在特征空間Rd中對專家進行模糊聚類。通過高維映射，可以優(yōu)化樣本的特征，并有效提高算法的分類效果。通過引入滿足Mercer條件［12］的核函數(shù)，偏好矩陣排序向量在特征空間上的點積運算即可轉化為核函數(shù)的計算，而與映射函數(shù)Φ無關，從而實現(xiàn)更好的聚類。本文采用偏好矩陣排序向量的隸屬度作為聚類依據(jù)實現(xiàn)對專家的分類。

假設現(xiàn)有M位專家對n個對象進行評價，第m位專家給出的偏好矩陣為Am，而偏好矩陣的排序向量為，。用Φ（Um），Φ（Vl）表示專家偏好矩陣排序向量Um和聚類中心Vl在高維特征空間Rd的像。本文將模糊核聚類算法中的歐式距離轉化為 Euclid距離，則

本文核函數(shù)選用高斯核函數(shù)

其中，σ為高斯核函數(shù)的寬度。

高斯核函數(shù)在模糊核聚類中應用廣泛。一方面，采用高斯核函數(shù)可以獲得非常好的聚類效果；另一方面，采用高斯核函數(shù)有利于算法的簡化。由式（2）可知，，故式（1）可簡化為：

在此條件下，模糊C均值聚類算法的目標函數(shù)為：

隸屬度可由下式求出：

聚類中心迭代公式為：

由計算得：

隸屬度迭代公式為：

基于乘積偏好關系的專家模糊核聚類方法的具體步驟為：

Step 1：按照專家給出的偏好矩陣，求出對應的排序向量Um；

Step 2：設定聚類類別數(shù)C，模糊加權指數(shù)b，高斯核函數(shù)寬度σ，最大迭代次數(shù)T以及迭代終止條件；

Step3：按照式（5）計算得出各專家偏好矩陣排序向量在高維特征空間的隸屬度rml；

2 基于乘積偏好關系的專家賦權分析

本文認為，為專家賦權，一方面要考慮專家所在類別的人數(shù)，專家所在類別人數(shù)越多，相應專家權重應該越大，這正體現(xiàn)了少數(shù)服從多數(shù)的原則；另一方面參照多屬性、多目標決策中集結專家意見形成一致性意見的原理，依據(jù)不同專家對于形成類別一致性意見的貢獻程度來確定專家權重。

2.1 類間賦權分析

而本文認為，比例因子應該是對于每個專家不同的，即

其中，α為對每個專家都相等的與所在類別專家的人數(shù)有關的比例因子；φm與專家意見對形成所在類別一致性意見的貢獻度有關，同一類專家中，不同專家的φm可能不同。由此可得

分析式（13）可知，α為對每個專家都相等的與所在類別專家的人數(shù)有關的比例因子，是影響聚類分析結果的關鍵因素，而φm主要對類中專家權重的差別產(chǎn)生細微的影響，所以應該有。則有

2.2 類內(nèi)賦權分析

經(jīng)過聚類分析，可以將意見相似的專家聚合成類。設ωlk為第l類中第k位專家的類內(nèi)權重；vlk為第l類中第k位專家的總體權重。第l類專家中第k位專家針對不同方案兩兩比較給出的乘積偏好關系為

則定義乘積偏好關系Akl與Akg的相容度為

由式（15）可知

通過CI-IOWG算子集結專家的類別意見，可得

具體證明過程由文獻［13］可知，在此不作證明。其中函數(shù)CI-IOWG是由產(chǎn)生的n維誘導有序加權幾何平均算子，簡記為CIIOWG算子，CI（l）為相應乘積偏好關系P（l）的誘導值。為L個二維數(shù)組，σ（l）為按從大到小順序排列的第l個大的數(shù)的下標。ωσ（l）為對應的權值，滿足。

則運用過CI-IOWG算子集結專家的類別意見，確定專家類內(nèi)權重的具體步驟如下：

Step2：由式（15）得出乘積偏好關系矩陣Akl和與其相關的一致性乘積偏好關系矩陣Rkl的相容度CI（l）；

3 算例分析

為滿足未來戰(zhàn)爭的需要，空軍派出7位專家對3種新型殲擊機的設計方案展開論證，以便確定最終設計方案。而專家（e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7）對方案集X={x1，x2，x3}給出的偏好矩陣為：

首先，根據(jù)專家給出的偏好矩陣，計算得到對應的排序向量，采用改進型模糊核聚類法對排序向量進行聚類。為確保聚類精度符合要求并加快收斂速度，依據(jù)經(jīng)驗，選取初始參數(shù)為。同時由于有7位專家參與決策，因而專家類別數(shù)的取值可以為2，3，4，5，6。通過改進型模糊核聚類法對專家進行聚類分析，得到不同分類情況下專家的隸屬度矩陣R*以及相應類別的聚類中心。

3.1 C=2

聚類中心為：

隸屬度矩陣為：

可知第1類包含專家3、5、7，第2類包含專家1、2、4、6。聚類結果為{（3，5，7）（1，2，4，6）}。

3.2 C=3

聚類中心為：

隸屬度矩陣為：

可知第1類包含專家3、5、7，第2類包含專家1、4、6，而第3類只包含專家2。聚類結果為{（2）（3，5，7）（1，4，6）}。

3.3 C=4

聚類中心為：

隸屬度矩陣為：

可知第1類包含專家3、5、7，第2類包含專家1、4、6，第3類包含專家2，第4類不包含任何專家。聚類結果為{（2）（3，5，7）（1，4，6）}。

3.4 C=5

聚類中心為：

隸屬度矩陣為：

可知第1類不包含任何專家，第2類也不包含任何專家，第3類包含專家1、4、6，第4類包含專家2，第5類包含專家3、5、7。聚類結果為{（2）（3，5，7）（1，4，6）}。

3.5 C=6

聚類中心為：

隸屬度矩陣為：

可知第1類不包含任何專家，第2類包含專家2，第3類不包含任何專家，第4類不包含任何專家，第5類包含專家3、5、7，第6類包含專家1、4、6。聚類結果為{（2）（3，5，7）（1，4，6）}。

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，本文采用的聚類方法在類別數(shù)C=2時，專家1、4、6對于自身類別的隸屬度要遠高于專家2對于自身類別的隸屬度；同時在C=3，4，5，6時，專家2明顯地被單獨分為一類。經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)，專家2即為離群點，其自身對于3，5，5專家類和1，4，6專家類的隸屬度很低，只是由于聚類類別數(shù)較少，難以得到理想的聚類結果，使得專家2被強制劃分到專家1、4、6的類別。因而將專家分為兩類是不合理的，因此，可以確定最終的聚類結果應為{（2）（3，5，7）（1，4，6）}。

依據(jù)聚類結果對專家進行賦權分析。根據(jù)式（14）可得專家的類間權重分別為：

依據(jù)2.2節(jié)提出的類內(nèi)賦權法確定專家類內(nèi)權重。

第2類專家包含專家3，5，7。運用式（16）得到專家3，5，7給出偏好矩陣對應的一致性互反判斷矩陣：

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，專家5給出的偏好關系通過式（16）得到的互反判斷矩陣不滿足1～9標度要求，其中有元素的取值超出了［1/9，9］范圍。因而需要通過轉換公式轉換得到與專家3，5，7給出的乘積偏好關系相一致的一致性乘積偏好關系：

由式（15）可得專家3，5，7給出的偏好關系A3，A5，A7與對應的一致性乘積偏好關系R3，R5，R7的相容度分別為：

同理可得專家1，4，6的類內(nèi)權重為

最后，由式（21）得到專家總體權重為

通過算例分析可以發(fā)現(xiàn)，采用放寬歸一化約束條件的模糊核聚類方法可以克服離群點對聚類結果的干擾，使得聚類結果更加合理準確；此外，在類內(nèi)專家賦權過程中運用CI-IOWG算子集結專家的類別意見，直接使用專家對自身類別的聚類貢獻度作為類內(nèi)權重，克服了依據(jù)一致性比率和信息熵為專家賦權的局限性。

4 結論

針對基于偏好關系的多目標、多屬性決策問題，提出一種基于乘積偏好關系的專家模糊核聚類賦權方法。一方面創(chuàng)新運用聚類分析的思想解決基于偏好關系的決策問題，采用放寬歸一化約束條件的模糊核聚類算法來削弱離群點對聚類結果的影響；另一方面運用CI-IOWG算子集結專家的類別意見，實現(xiàn)對專家的準確賦權。算例表明，本文所提方法可行有效。

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Method of Expert Fuzzy Kernel Clustering Weighting Based on
Multiplicative Preference Relations

WANG Ze-zhou，CHEN Yun-xiang，XIANG Hua-chun
（School of Equipment Management and Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Within the multiple attributes and multi-objective decision making problems，for the case that each decision maker has a preference relation referring to alternatives，a method of expert fuzzy kernel clustering weighting based on multiplicative preference relations is proposed，in which the experts are classified by using fuzzy kernel clustering principle.By loosening the normalization constraints，the effects of outliers on the clustering results could be overcome.At the same time，this paper presents CI-IOWG operator for group decision-making with multiplicative preference relation in the process of determining the intra class weight.And the weighting method can determine the experts’weight according to the contribution degree for clustering which overcomes the limitations of the traditional weighting method based on entropy and consistency.The example shows that the method is feasible and effective.

multiplicative preference relation，experts’weights，fuzzy kernel clustering，CI-IOWG operator

C934

A

1002-0640（2017）05-0056-07

2016-03-09

2016-06-07

“十二五”國防預研基金資助項目（51327020104）

王澤洲（1992- ），男，山西長治人，碩士。研究方向：裝備發(fā)展戰(zhàn)略與管理決策。