云南省普洱市第一中學(xué)(665100)

王愛(ài)華●

一題多解 培養(yǎng)學(xué)生求解能力

云南省普洱市第一中學(xué)(665100)

王愛(ài)華●

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，時(shí)間短、任務(wù)重，要在較短的時(shí)間內(nèi)完成全面復(fù)習(xí)工作，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一件不易的事.教師應(yīng)當(dāng)在有限的時(shí)間內(nèi)講求方法、精選例題，在加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)鞏固的同時(shí)，注意典型例題、相關(guān)知識(shí)的分析和講解，以點(diǎn)帶面，觸類(lèi)旁通，一題多解，培養(yǎng)學(xué)生多角度分析思考問(wèn)題的思維，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，從而事半功倍.也不失中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的需要.本文僅借在解不等式復(fù)習(xí)中的一例說(shuō)明之.

示例 解不等式|lg(1-x)|>|lg(1+x)|.

本題是一道綜合的含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，關(guān)鍵是先去掉絕對(duì)值符號(hào).分析講解前，先由學(xué)生獨(dú)立思考，組織討論，提出各自的解法，然后列出解法的主要步驟，直至化為等價(jià)的不含絕對(duì)值的不等式(組).詳解可由學(xué)生下去完成.

角度一：(居于絕對(duì)值不等式的結(jié)構(gòu)，可考慮變形為形如：|f(x)|>a或|f(x)|0)的不等式去絕對(duì)值符號(hào))

∵x≠0(若不然有l(wèi)g(1-x)=lg(1+x)=0)

∴1+x≠1，即lg(1+x)≠0得|lg(1+x)|>0

點(diǎn)評(píng) 由以上變形，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般對(duì)數(shù)不等式進(jìn)行討論解之.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也從中得到復(fù)習(xí)和鞏固.

角度二：(由于平方可去掉絕對(duì)值符號(hào)，所以可考慮用兩邊平方的辦法來(lái)處理絕對(duì)值符號(hào)，但要注意滿(mǎn)足兩邊平方的不等式性質(zhì)).

∵a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|(a,b∈R)

∴|lg(1-x)|>|lg(1+x)|

?|lg(1-x)|2>|lg(1+x)|2

?lg2(1-x)>lg2(1+x)

?lg2(1-x)-lg2(1+x)>0

?[lg(1-x)+lg(1+x)][lg(1-x)-lg(1+x)]>0

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)去絕對(duì)值符號(hào)、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次型不等式，對(duì)對(duì)數(shù)的運(yùn)算、實(shí)數(shù)的符號(hào)法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)從中得到復(fù)習(xí).進(jìn)而化為分式不等式(組)及二次不等式(組)求解，相應(yīng)不等式的解法得以復(fù)習(xí).此法思路明朗便于理解.

角度三：(由于原不等式含有對(duì)數(shù)函數(shù)形式，可由其定義域、值域出發(fā)，分析x的取值范圍，討論區(qū)間去絕對(duì)值符號(hào)).

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)區(qū)間討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的分式不等式組求解.此法技高一籌，迅速快捷.同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生利用討論命題成立的條件來(lái)化繁為簡(jiǎn)的解題思想方法.

角度四：(去絕對(duì)值符號(hào)，還可考慮絕對(duì)值的定義，討論去絕對(duì)值符號(hào)).

運(yùn)用絕對(duì)值定義，直接化為以之等價(jià)的不等式組：

點(diǎn)評(píng) 此法充分運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)不等式組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為分式不等式組求解，但較繁.

角度五：(由于原式兩端含有絕對(duì)值符號(hào)，且非負(fù)，可考慮直接將一端視為|f(x)|0)型中的a，逐次去絕對(duì)值符號(hào)).

由|lg(1-x)|>|lg(1+x)|?-|lg(1-x)|

點(diǎn)評(píng) 逐次去掉絕對(duì)值符號(hào)后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)不等式組及分式不等式組求解，仍較繁！

角度六：(由于函數(shù)y=|lg(1-x)|及y=|lg(1+x)|的特征圖形不難作出，故可考慮數(shù)形結(jié)合，作圖求解).

由圖形立即可看出，原不等式的解為0

點(diǎn)評(píng) 用此法解起來(lái)不僅直觀、快捷.通過(guò)作圖可明確有關(guān)函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)，還可復(fù)習(xí)帶絕對(duì)值的函數(shù)圖象、分段函數(shù)的圖象及平移等知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的解題思想.

思考題：

(1)解不等式|log2(1-x)|>|log2(1+x)|.

(2)指出上述不等式與不等式|loga(1-x)|>|loga(1+x)|(a>0,a≠1)是否同解？為什么？

(3)證明不等式|loga(1-x)|>|loga(1+x)|(a>0,a≠1)成立的充要條件是x∈(0,1).

由以上分析不難發(fā)現(xiàn)，本例的求解不僅對(duì)考綱要求的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)得以復(fù)習(xí)鞏固，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移和基本的數(shù)學(xué)方法、觀察、分析、歸納、綜合、類(lèi)比、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、邏輯劃分的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想等方面，都起到良好的啟發(fā)誘導(dǎo)作用，從而更有效地利用有限的時(shí)間指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)效率.

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