楊 虎●

追根溯源探解法變式推廣覓思路
——一道模擬題的解法及啟示

甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校(742200)

楊 虎●

三角函數(shù)這一部分的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有極其重要的地位，高考中更是考查的熱點(diǎn).在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，一道三角函數(shù)的證明題引起筆者的學(xué)習(xí)興趣，追根究底對其源頭、解法進(jìn)行了探究，并對其變式進(jìn)行思考、推廣，來尋覓這一類問題的解題思路.

一、題目展現(xiàn)及題源探究

這是一道以三角函數(shù)為背景的證明題.其等式左邊的分子與分母是角α，3α與5α的正、余弦的和，右邊是3a角的正切值，形式優(yōu)美，和諧簡潔.追根究底，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)，1986年的一道高考(文科)數(shù)學(xué)題與此題極為相似.

將近三十年的一道陳題，又變換了形式出現(xiàn)在學(xué)生的模擬題中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)考試還是萬變不離其宗，也可以看成是問題1的題源，其證法也很多.下面筆者以問題1為例進(jìn)行探索，并對后續(xù)教學(xué)進(jìn)行反思.

二、解法探索

探索一：順?biāo)浦?自然得證

證明題最自然的解法也就是從左往右證(或從右往左證)——順?biāo)浦?，即把等式左邊?jīng)過化簡、變形而得到右邊的式子，考慮到右邊是3α角的正切值，所以左邊在化簡時(shí)應(yīng)保留3α角，將α角與5α角進(jìn)行組合、變形，產(chǎn)生3α角，向右邊靠攏，自然得證.需要說明的是，等式左邊應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行.若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名.

探索二：層層遞進(jìn) 分析證法

探索三：無中生有 添加項(xiàng)法

探索四：正難則反 歸謬得證

探索五：巧設(shè)參數(shù) 等比助力

三、變式探究

在以上的探索中不難體會(huì)到，這一類問題證法多樣，但其基本的思路或者說最有效的方法還是從右到左——自然得證與分析證法.下面利用自然證法證明此變式題.

四、三個(gè)推廣

基于以上的解法探索與變式探究，進(jìn)行如下的三個(gè)推廣：

五、兩點(diǎn)教學(xué)啟示

啟示1：在教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)過程中嘗試一題多解.

一題多解可以理解為從不同的角度對一道習(xí)題進(jìn)行解答，在教學(xué)過程中與學(xué)生學(xué)習(xí)過程中實(shí)施一題多解，首先有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生可能會(huì)對一道題給出不同的解法，讓課堂成為學(xué)生探究、交流的場所，讓課堂不僅有預(yù)設(shè)更有生成，突出了以學(xué)生為主體的課標(biāo)理念，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.其次有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，鍛煉思維的靈活性.在尋求問題的解法中，學(xué)生通過對比、探索，能夠發(fā)現(xiàn)更簡捷、更有效的解題方法，拓展了學(xué)生的創(chuàng)新思維.再次有利于學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題方法，從而達(dá)到提高解題能力的目的.

啟示2：在教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)過程中嘗試變式及推廣.

如何讓課堂成為高效的課堂是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和改革的重要課題，而應(yīng)試教育不可避免地帶來了教學(xué)中的“題海戰(zhàn)術(shù)”，這無疑加大了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，甚至讓學(xué)生厭學(xué).那么在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、對一道習(xí)題，不僅從多角度去探索，更要研究其可能的變式，舉一反三并加以推廣，觸類旁通，深入挖掘知識(shí)點(diǎn)、習(xí)題中蘊(yùn)含的變式創(chuàng)新因素，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，創(chuàng)新能力，提高應(yīng)變能力讓課堂教學(xué)成為真正的高效課堂.

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