湖南省長沙外國語學(xué)校k1402(410000)

向南燊●

探析循射構(gòu)建空間想象

湖南省長沙外國語學(xué)校k1402(410000)

向南燊●

本文在分析循射影構(gòu)建空間想象的基礎(chǔ)上，探究循射影構(gòu)建空間想象的措施，并提出循射影構(gòu)建空間想象的原則.

循射影；直觀圖；三視圖

立體幾何是高中學(xué)生普遍感到頭疼的一門學(xué)科，它的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，將學(xué)生能力上升到在復(fù)雜圖形中分離出簡單圖形，將具體的幾何體內(nèi)化成潛意識的點(diǎn)線面，能在思維遷移上化無形為有形，化有形為無形，也就是幾何學(xué)在幾何地圖上翻譯成心智上的“圖論”.現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修二第一章《空間幾何體》在第一頁粗略介紹了幾何學(xué)及章節(jié)梗概.這樣描述道：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科.本章我們從對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖，了解一些簡單幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法.”教材鮮明地闡明了幾何入門先是抓住學(xué)生的視線入手，感性上由表及里，由此及彼，從而構(gòu)建空間想象的表象及抽象.結(jié)合教科書編寫意圖以及自己學(xué)立體幾何的方法，綜合三視圖、射影圖，遵循高中生感知幾何體的視線.我覺得認(rèn)知的底片主要是在射影生成上.

一、核心概念的界定

射影是光線透過幾何體后，在控制屏面上留下的影子，我們把光線叫投影線，把留下物體影子的屏幕叫投影面.射影實(shí)質(zhì)上是一種原像與像的映射，是流體幾何入門的一種簡單函數(shù)關(guān)系.在投影的組合體上，立體圖形平面化，反過來，我們能夠根據(jù)平面圖形想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu).射影過程是一種動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的矛盾統(tǒng)一.而空間想象核心就是形象思維加上所感知的空間表象，形成記憶，產(chǎn)生聯(lián)想.能脫離幾何實(shí)體在心智中形成空間想象.本論述是指在老師的視線與學(xué)生的視線中構(gòu)建空間圖論，提高學(xué)生空間想象能力，收到良好的教學(xué)成效.

二、循射影構(gòu)建空間想象的措施

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”這說明從不同角度看同一物體視覺效果可能不同.要比較真實(shí)地反映出物體的結(jié)構(gòu)特征，我們須對射影的位置與形體的估量.空間想象能力就是能從定性定形定量上持久地再現(xiàn)空間點(diǎn)線面體.高一學(xué)生初涉及立體幾何，感知空間物體一是模糊，二是感知片面，三是位置錯(cuò)亂，怎樣才能提高空間想象能力，學(xué)好立體幾何呢？請看我的經(jīng)驗(yàn).

1.結(jié)合具體幾何體作好三視圖，即根據(jù)三視圖還原出直觀圖.三視圖是幾何入門的路標(biāo)，能多角度刻畫幾何體，要把握三視圖的實(shí)質(zhì)——正視等高等長，俯視等長等寬，側(cè)視等寬等高，選取射影參照片有邊際成像法，即把握空間臨界點(diǎn)臨界線，將幾何體刻畫在襯托面上；有抽截面成旬法，旋轉(zhuǎn)體三視圖實(shí)質(zhì)上是軸截面成旬；有壓縮成像法，將幾何體壓縮成平面圖.學(xué)三視圖要循序漸進(jìn)，由簡到繁，先由簡單幾何體成像再到簡單組合體成像再到多倍體成像，使認(rèn)知步步加深，空間想象能力層層深入，能上升到換位思考，將三視圖再現(xiàn)空間圖.三視圖是現(xiàn)代教學(xué)構(gòu)建主義的真實(shí)寫照，能使感知材料由具體化到抽象化.如：(2011陜西理5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是( )

這個(gè)高考題就要求我們能很好地根據(jù)三視圖還原好直觀圖.

2.結(jié)合直觀圖，實(shí)現(xiàn)圖形的換位，建立空間圖形的函數(shù)關(guān)系，將感知理性化.要弄懂直觀化的理念，必須從三個(gè)維度把握變量關(guān)系，空間虛實(shí)關(guān)系，要把握“橫豎假不了，縱的真不了”的作圖規(guī)律，要將作法作為重點(diǎn)，不能顛倒“寫作”關(guān)系，先寫作法再作圖，先作多面體再畫球體，再畫內(nèi)切與外接幾何體，同步計(jì)算幾何體相關(guān)面積與體積，達(dá)到定位、定形、定量的自然統(tǒng)一.如：

(2011北京理7)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是( ).

這個(gè)高考題就要求我們能從三個(gè)維度把握數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算.

3.結(jié)合物理折射規(guī)律弄通幾何體對折問題，使學(xué)生懂得同面長不變，角不變.異面前實(shí)后虛，懂得虛實(shí)的內(nèi)涵.從復(fù)雜圖形中分離出簡單圖形.

4.結(jié)合光線的平鋪規(guī)律，在幾何體側(cè)面展開圖教學(xué)中，明確曲直的變換關(guān)系，由圓到線，同時(shí)由線到圓，要把握側(cè)面橫向與縱向的延展程度，會求曲面展開圖中的最短距離.如：

這個(gè)高考題就要求我們能化曲為直，把球面距離問題轉(zhuǎn)化為三角形中的問題解決.

5.結(jié)合平移特殊線，特殊面或補(bǔ)圖法.將異面問題化為共面問題，在計(jì)算中講究計(jì)算簡單化作證求程序后整法，邊解數(shù)值特殊法，化繁為簡，由淺入深，由表及里.

三、循射影構(gòu)建空間想象的原則

循射影構(gòu)建空間想象實(shí)質(zhì)上就是遵循高中生的感知水平，抽象能力，有的放矢，逐步提高空間想象能力，學(xué)習(xí)時(shí)具體要遵循以下四個(gè)原則：

1.具體性與抽象性相結(jié)合的原則.教學(xué)中，教師都會準(zhǔn)備好實(shí)體模型，讓我們從直觀上感知、觀察、洞悉幾何體，并且還會用多媒體教學(xué)使幾何體虛實(shí)分明，由表及里，由外到內(nèi)，由簡到繁，由淺入深地進(jìn)行講解，通常還會系統(tǒng)地由點(diǎn)擴(kuò)充到面，由平面向量到空間測度，所以我們首當(dāng)其沖是要樹立起立體觀念，使自己的感知由具體到抽象.

2.要堅(jiān)持理論與實(shí)際相結(jié)合的原則.要培養(yǎng)自己的畫圖能力，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間、生活空間、建筑空間會作簡單設(shè)計(jì)圖，會進(jìn)行簡單的建筑預(yù)算、工程預(yù)算，達(dá)到數(shù)學(xué)與應(yīng)用的統(tǒng)一，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“有用性”“準(zhǔn)確性”“現(xiàn)實(shí)性”.

3.要處理好主觀與客觀的辯證關(guān)系.主觀上看，平面好像有大小，而實(shí)際上是無窮空間的縮影；主觀上看似鈍角而實(shí)際中卻是銳角，所以要認(rèn)清幾何構(gòu)圖中虛實(shí)的關(guān)系、曲直的關(guān)系等.

4.要處理好嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性的關(guān)系.三維空間不能擴(kuò)充到四維，避免復(fù)雜的計(jì)算，盡可能在直角三角形或等腰三角形或正方形中求角求邊不必將射影變換變成位似變換.

總之，穩(wěn)定的感知形成需有清晰的支撐面，通過歸納判斷綜合，而將空間想象面掃描形成知識底片，這樣空間想象就在一個(gè)清晰的屏幕上使幾何圖形歷歷在目、一目了然，空間想象能力自然就提高了.

[1]魏志強(qiáng).淺談構(gòu)建空間想象能力[J].學(xué)苑教育,2015(07)

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