山東省東營(yíng)市勝利第一中學(xué)(257027)

丁孝恒●

特殊數(shù)列的求和方法

山東省東營(yíng)市勝利第一中學(xué)(257027)

丁孝恒●

我們已經(jīng)知道等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和方法，但是我們碰到的很多數(shù)列不是常規(guī)的等差數(shù)列或等比數(shù)列，這些數(shù)列的求和有時(shí)比較麻煩.但是我們只要抓住數(shù)列的特點(diǎn)，找出規(guī)律就可以比較容易地求出數(shù)列的和.本文主要針對(duì)一些特殊數(shù)列如方冪數(shù)列、階差數(shù)列和循環(huán)數(shù)列的求和方法進(jìn)行總結(jié).

數(shù)列求和；方冪數(shù)列；階差數(shù)列；循環(huán)數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，而數(shù)列求和是數(shù)列的基本運(yùn)算之一，下面主要針對(duì)一些特殊數(shù)列如方冪數(shù)列、階差數(shù)列和循環(huán)數(shù)列的求和方法進(jìn)行總結(jié).

1.方冪數(shù)列

我們把形式如12,22,32,…,n2,…的數(shù)列稱為自然數(shù)的方冪數(shù)列.對(duì)于這種形式的數(shù)列，我們通常采用分組轉(zhuǎn)化法.也就是把數(shù)列的每一項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)或者多項(xiàng)，或者把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，或者把整個(gè)數(shù)列分成兩部分等等，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或者等比數(shù)列等可求和的數(shù)列分別進(jìn)行求和.

例1 求數(shù)列12,22,32,…,n2,…的前n項(xiàng)和.

解 我們首先假設(shè)設(shè)Sn=12+22+32+…+n2，因?yàn)?k+1)3=k3+3k2+3k+1，所以(k+1)3-k3=3k2+3k+1.用1,2,3,…,n分別代替上面的k，于是得到

23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,(n+1)3-n3=3×n2+3n+3n+1.將上面各式等號(hào)兩邊分別相加，于是可以得到

2.階差數(shù)列

我們先給出階差數(shù)列的概念：設(shè)有數(shù)列{an}，將這個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差作為一個(gè)新的數(shù)列{an+1-an}，那這個(gè)新的數(shù)列{an+1-an}就稱為原數(shù)列{an}的第一階差數(shù)列，記為{bn}.數(shù)列{bn}的階差數(shù)列{bn+1-bn}，稱為數(shù)列{an}的第二階差數(shù)列，依次類推.有些數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律不十分明顯可以依次求出它的各階差數(shù)列.如果某一階差數(shù)列正好是等差或等比數(shù)列，那么可以利用這些數(shù)列的有限和，得出原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

例2 求數(shù)列1,3,7,13,21，…的通項(xiàng)公式an以及前n項(xiàng)和Sn.

解 這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，但是相鄰兩項(xiàng)的差依次為2，4，6，8，10，…是一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)是bn=2n.

設(shè)原始數(shù)列為{an}，則

a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,an-1-an-2=2(n-2),an-an-1=2(n-1).把以上n-1個(gè)式子相加，可以得到an-a1=2+4+6+…+2(n-1)=n2-n

因?yàn)閍1=1，所以an=n2-n+1.由上面可以得到

3.循環(huán)數(shù)列

例3 求數(shù)列9，99，999，…，99…9(n個(gè)9)…的前n項(xiàng)和.

解 9=101-1，99=102-1，999=103-1，…，99…9(n個(gè)9)=10n-1，所以

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列有關(guān)問題的基本思想方法.復(fù)雜的數(shù)列求和問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為等差、等比或常見的特殊數(shù)列的求和問題.

[1] 李正興.高中數(shù)學(xué)解題策略[M]，上海：上海人民出版社,2002.

[2] 孫元沾，康士凱.高中數(shù)學(xué)思維方法上冊(cè)[M]，上海：上?？茖W(xué)普及出版社，2003.

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