江蘇省泰州市森南新村15棟103室(225300)

于志洪●

構(gòu)造平面幾何圖形證明代數(shù)不等式

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于志洪●

本文通過舉例，談?wù)勅绾螛?gòu)造平面幾何圖形證明代數(shù)不等式，供初中師生教學(xué)時(shí)參考.

一、構(gòu)造等邊三角形證明不等式

例1 設(shè)x、y、z是介于0與1之間的實(shí)數(shù).求證：x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)<1.

分析 本題直接證明非常困難，考慮到左邊是兩個(gè)因式乘積之和的形式，而兩因式乘積通常與幾何中求圖形面積的問題有關(guān)，因此考慮構(gòu)造等邊三角形或矩形來解.

二、構(gòu)造圓形證明不等式

三、構(gòu)造長方形證明不等式

例3 已知a、b、c、d都是正有理數(shù)，求證：

分析 此題初看，似乎無從下手，但仔細(xì)觀察其整體結(jié)構(gòu)與三角形中三邊間關(guān)系相似，再觀察被開方數(shù)結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到勾股定理，它們都是直角三角形的斜邊，湊在一起就構(gòu)造出矩形.

四、構(gòu)造正方形證明不等式

五、構(gòu)造梯形證明不等式

例5 已知a、b、c、d均為正數(shù)，求證：ad+bc.

綜上所述可知：注意構(gòu)造幾何圖形證明代數(shù)不等式的專題研究，符合新課程改革關(guān)于“讓學(xué)生的思維活躍起來”的理念要求，有利于提高學(xué)生的專題總結(jié)水平，有利于學(xué)生在研究總結(jié)的過程中，拓展視野，啟迪思維，有利于學(xué)生系統(tǒng)靈活地掌握所學(xué)的知識內(nèi)容，對于幫助學(xué)生理解課本內(nèi)容，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識，提高解題水平和發(fā)展思維能力，均頗有益處.

練習(xí) 1.已知a，b，x，y均為正實(shí)數(shù)，且a2+b2=1,x2+y2=1,求證：ax+by≤1.

(提示：構(gòu)造如圖6所示的圓，在直徑AB=1的兩側(cè)任作Rt△ABC和Rt△ADB,使AC=a,BC=b，BD=x，AD=y.由勾股定理，知a，b，x，y滿足題設(shè)條件，根據(jù)托勒密定理，得AC·BD+BC·AD=AB·CD.因?yàn)镃D≤AB=1,所以ax+by≤1.)

[1]于志洪，吳春勝.構(gòu)造長方體證明三角不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011(6)

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