福建省泉州第五中學(xué)(362000)
楊蒼洲●
試題是怎樣煉成的
——一類基于合情推理的圓錐曲線試題命制
福建省泉州第五中學(xué)(362000)
楊蒼洲●
合情推理有“歸納”和“類比”兩種推理模式,這種推理是建立在觀察、實驗的基礎(chǔ)上,通過“類比”來產(chǎn)生“聯(lián)想”,或者通過“歸納”來進(jìn)行“猜想”,是一種“發(fā)現(xiàn)未知”的思維形式.
在解析幾何的某些問題中,我們常常可以通過類比、歸納,從中發(fā)現(xiàn)“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”的一些共同性質(zhì).因此,基于“圓錐曲線”,交匯考查“合情推理”成為命制“解析幾何”試題的一種常見命題手法.這樣的試題設(shè)計精彩紛呈,往往成為一份試卷的亮點所在.下面筆者略舉數(shù)例,與讀者共賞.
(Ⅰ)求軌跡C的方程;
分析與解 本小題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等.
(Ⅰ)易得曲線C的方程為y2=4x.
(Ⅰ)求曲線Γ的方程;
分析與解 本小題主要考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等.
(Ⅱ)設(shè)三角板的直角頂點放置在圓O的圓周上的點N(a,b)處,則a2+b2=2,又設(shè)三角板的另一條直角邊所在直線為l′.
(ⅰ)當(dāng)a=1時,l′與曲線Γ有且只有一個公共點.
(Ⅰ)拖動點S,發(fā)現(xiàn)當(dāng)xS=4時,yS=4,試求拋物線E的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線E的頂點為A,焦點為F,構(gòu)造直線SF交拋物線E于不同兩點S、T,構(gòu)造直線AS、AT分別交準(zhǔn)線于M、N兩點,構(gòu)造直線MT、NS.經(jīng)觀察得:沿著拋物線E,無論怎樣拖動點S,恒有MT∥NS.請你證明這一結(jié)論.
分析與解 本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等.
(Ⅰ)易得拋物線E的方程y2=4x.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)給出命題:“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點,直線A1P,A2P分別交直線l:x=t(t為常數(shù))于不同兩點M、N,點Q在直線l上.若直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P,則Q為線段MN的中點”,寫出此命題的逆命題,判斷你所寫出的命題的真假,并加以證明;
(Ⅲ)試研究(Ⅱ)的結(jié)論,根據(jù)你的研究心得,在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點S的直線m,并寫出作圖步驟(注意:所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行) .
分析與解 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等.
(Ⅱ)逆命題:“已知P是橢圓E上一點,直線A1P、A2P分別交直線l:x=t(t為常數(shù))于M、N兩點,若Q為線段MN的中點,則直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P”,為真命題.
(Ⅲ)如圖,①任作一條直線n垂直于實軸;②作直線A1S、A2S分別交直線n于I、J兩點;③作線段IJ的中點V,則直線SV即為所求的直線m.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題,寫出關(guān)于圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)統(tǒng)一的一般性命題(不必證明).
分析與解 本小題主要考查合情推理、直線、橢圓、雙曲線、拋物線等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想.
上述幾個試題的求解過程,要求學(xué)生經(jīng)歷逆向思維、類比推理、直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,度量計算的心路歷程.雖然試題情境新穎,但是其本質(zhì)依然是研究曲線軌跡,求解直線與拋物線位置關(guān)系等問題.因此在復(fù)習(xí)中,我們要深化對圓錐曲線方程的理解,進(jìn)一步熟練掌握待定系數(shù)法、定義法等求軌跡的常規(guī)方法,進(jìn)一步掌握直線與拋物線位置關(guān)系的一般解題方法,要注意總結(jié)試題的規(guī)律,如:直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相交弦問題在高考中經(jīng)常被設(shè)計成考題,在解決此類問題時,我們常聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理,進(jìn)行“設(shè)而不解”來解題.
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1008-0333(2017)01-0028-03