許志鵬， 谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

J-clean環(huán)；環(huán)的擴(kuò)張；Morita context；Jacobson根

乘積度量空間中擴(kuò)張型映像的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

許志鵬， 谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

在乘積度量空間中，利用自映像對(duì)的弱交換條件、弱相容條件和CLR(S，T)性質(zhì)，證明了兩對(duì)擴(kuò)張型自映像的兩個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.

1 引言和預(yù)備知識(shí)

近年來，在不同的擴(kuò)張或壓縮條件下自映像的公共不動(dòng)點(diǎn)理論已經(jīng)取得了很多非常重要的研究成果.Bashirov等[1]第一次引入了乘積度量空間的定義，并在該空間完備的情況下證明了一些公共不動(dòng)點(diǎn)定理.之后He等[2]在乘積度量空間中證明了弱交換映像的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.鄭慧慧等[3]在乘積度量空間中證明了兩對(duì)弱交換映像的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.本文的目的是在乘積度量空間中討論涉及到兩對(duì)自映像的擴(kuò)張型映像的公共不動(dòng)點(diǎn)問題.

定義1[1]設(shè)X是非空集合，稱映像d:X×X→R+是X上的一個(gè)乘積度量，如果以下條件被滿足：

1)d(x，y)≥1，?x，y∈X，d(x，y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

稱(X，d)為一個(gè)乘積度量空間.

定義4[1]稱乘積度量空間X是完備的，如果其中任意的積性柯西列都積性收斂于X中的某一點(diǎn).

定義6 設(shè)S，T是乘積度量空間(X，d)的兩個(gè)自映像，稱自映像對(duì)(S，T)是弱相容的，若Sx=Tx，x∈X，有STx=TSx.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)f，g，S，T是完備的乘積度量空間(X，d)中的4個(gè)自映像，并滿足下列條件:

(C1)fX?TX，gX?SX；

(C2)f和S弱交換，g和T是弱相容的；

(C3)fX，gX，SX，TX之一是閉集；

(C4)d(Sx，Ty)≥dq(fx，gy)，其中q∈(1，∞).

則f，g，S，T在X中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

根據(jù)(C4)，考慮

于是，對(duì)于?n∈Z+，可得

故，對(duì)于?n，m∈Z+，且n>m，有

情況Ⅰ 假定TX是閉集，則存在z1∈X使得Tz1=z.由條件(C4)得

d(Sx2n，Tz1)≥dq(fx2n，gz1).

令n→∞，得d(z，z)≥dq(z，gz1).由于d(z，gz1)≥1，所以gz1=z.故Tz1=z=gz1.

又因?yàn)間和T是弱相容的，故Tgz1=gTz1，得到Tz=gz，再由條件(C4)得

d(Sx2n，Tz)≥dq(fx2n，gz).

令n→∞，得d(z，Tz)≥dq(z，gz),因此Tz=gz=z.

因?yàn)閦=gz∈gX?SX，所以存在z2∈X使得Sz2=z.由條件(C4)得

所以fz2=z.則有Sz2=fz2=z.由f和S是弱交換的可知

所以fz=Sz，進(jìn)而由條件(C4)得

綜上，得Tz=gz=Sz=fz=z，即z是f，g，S，T的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

情況Ⅱ 假定fX是閉集，則存在u∈X使得fu=z.又由于fX?TX，則存在v使得z=fu=Tv.類似情況Ⅰ可得相同的結(jié)論.

情況Ⅲ 假定SX是閉集，則存在z1∈X使得Sz1=z.由條件(C4)得

d(Sz1，Tx2n+1)≥dq(fz1，gx2n+1).

令n→∞，得d(z，z)≥dq(fz1，z).由于d(fz1，z)≥1，所以fz1=z.又因?yàn)閒和S是弱交換的，故

所以fz=Sz，進(jìn)而由條件(C4)得

所以fz=Sz=z.

因?yàn)閦=fz∈fX?TX，所以存在z2∈X使得Tz2=z.由條件(C4)得

所以gz2=z.由g和T是弱相容的可知Tgz2=gTz2，得到Tz=gz，進(jìn)而由條件(C4)得

所以gz=Tz=z.

綜上，得Tz=gz=Sz=fz=z，即z是f，g，S，T的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

情況Ⅳ 假定gX是閉集，則存在u∈X使得gu=z.又由于gX?SX，則存在v使得z=gu=Sv.類似情況Ⅲ可得相同的結(jié)論.

最后，證明f，g，S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)w∈X也是f，g，S，T的公共不動(dòng)點(diǎn)，則由條件(C4)得

注1 定理1改進(jìn)和推廣了Kang等[4]的定理2.3和2.5，從2個(gè)自映像推廣至4個(gè)自映像.

定理2 設(shè)f，g，S，T是乘積度量空間(X，d)中的4個(gè)自映像，并滿足下列條件:

(C2)f和S弱交換，g和T是弱相容的；

(C3)d(Sx，Ty)≥dq(fx，gy)，其中q∈(1，∞).

則f，g，S，T在X中有唯一不動(dòng)點(diǎn).

其中z∈SX∩TY.所以存在u∈X，v∈Y，使得Su=Tv=z.

一方面，由條件(C3)得

令n→∞，得d(z，z)≥dq(fu，z)，所以fu=Su=z.

因?yàn)閒和S弱交換，所以

因此fz=Sz，再由條件(C3)得

d(Sz，Txn)≥dq(fz，gxn).

另一方面，由條件(C3)得

令n→∞，得d(z，z)≥dq(z，gv)，所以gv=Tv=z.

因?yàn)間和T弱相容,可知Tgv=gTv，得到Tz=gz，再由條件(C3)得

綜上，得Tz=gz=Sz=fz=z，即z是f，g，S，T的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

最后，證明f，g，S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)w∈X也是f，g，S，T的公共不動(dòng)點(diǎn)，則由條件(C3)得

注2 定理2改進(jìn)和推廣了Kang等[4]的定理2.10.

[1] BASHIROV A E, KURPLNARA E M, ?ZYAPICIA A. Multiplicative calculus and its applications[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2008,337(1):36-48.

[2] HE X J, SONG M M, CHEN D P. Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space[J/OL]. Fixed Point Theory and Applications,2014,2014:48[2016-04-20].http://www.fixedpointtheoryandapplications.com/content/2014/1/48.

[3] 鄭慧慧，谷峰.乘積度量空間中兩對(duì)自映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，14(4)：428-432.

[4] KANG S M, NAGPAL P, GARG S K, et al. Common fixed points of weakly compatible mappings for multiplicative expansive mappings[J]. International Journal of Mathematical Aanlysis,2015,9(45):2201-2210.

Common Fixed Point Theorems for Multiplicative Expansive Mappings in Multiplicative Metric Space

XU Zhipeng， GU Feng

(School of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

By using weakly commuting condition, weakly compatible condition andCLR(S,T)property in multiplicative metric space, two new common fixed point theorems for two pairs of multiplicative expansive self-mappings are proved.

multiplicative metric space; weakly commuting mappings; weakly compatible mappings;CLR(S，T)property; common fixed point

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.03.013

2016-05-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y6110287).

谷 峰(1960—)，男，教授，主要從事非線性泛函分析及應(yīng)用研究.E-mail:gufeng99@sohu.com

O177.91 MSC2010： 47H10；54H25

A

1674-232X(2017)03-0297-04

關(guān)鍵詞： 乘積度量空間；弱交換映像；弱相容映像；CLR(S，T)性質(zhì)；公共不動(dòng)點(diǎn)