鄒紅林 陳建龍

(東南大學數(shù)學學院, 南京 210096)

關于Banach代數(shù)中偽Drazin逆的進一步結果

鄒紅林 陳建龍

(東南大學數(shù)學學院, 南京 210096)

偽Drazin逆；Jacobson根；Banach代數(shù)

2012年,Wang等[1]在環(huán)和Banach代數(shù)中引入了偽Drazin逆的概念,并且在一定條件下給出了2個偽Drazin可逆元之和的偽Drazin逆的表達式. 2014年,Zhu等[2]討論了Banach代數(shù)中2個偽Drazin可逆元a,b在滿足ab=λba(λ≠0)時,a+b的偽Drazin逆存在的充要條件和表達式；同時, 在此條件下給出了ab的偽Drazin逆的表達式. 本文在條件ab=φ(ba)下，研究了ab與a+b的偽Drazin逆的表達式,其中φ為A上雙射的centralizer,a,b為偽Drazin可逆元.

1 定義和引理

1.1 定義

定義1[3]設φ:A→A是一個映射. 若對任意的a,b∈A, 有φ(ab)=aφ(b)=φ(a)b, 則稱φ是A上的centralizer.

顯然, 對于任意的非零復數(shù)λ, 映射:a→λa(a∈A)是A上雙射的centralizer.

定義2[1]設a∈A. 若存在x∈A, 滿足

則稱a是偽Drazin可逆的. 滿足上述條件的元素x, 稱為a的偽Drazin逆. 若a的偽Drazin逆存在, 則必是唯一的, 記為a?. 用ApD表示A中的所有的偽Drazin可逆的元素組成的集合. 若a∈ApD, 記aπ=1-aa?.

設p∈A是冪等元, 則元素a∈A可寫成如下矩陣表達式:

不難看出, 把a∈A表示成上面的矩陣形式, 若φ是A上的centralizer, 則有

根據(jù)文獻[4], 對任意的a∈ApD, 取p=aa?, 則a和a?可表示為

1.2 引理

引理1[3]設φ:A→A是centralizer, 則對任意的正整數(shù)n, 下列陳述成立:

1) φn是A上的centralizer;

2) 對任意的a∈A, 有(φ(a))n=φn(an);

3) 若φ是雙射, 則φ-n是A上的centralizer.

引理2[3]設φ:A→A是centralizer. 若a,b∈A滿足ab=φ(ba), 則對任意的正整數(shù)n, 下列等式成立:

1) abn=φn(bna);

2) anb=φn(ban);

3) anbn=φn2(bnan);

引理3[3]設φ:A→A是centralizer, 則

1) 對任意a∈A, 有φ(1)a=aφ(1);

2) 對任意的a,b∈A, 有φ(a+b)=φ(a)+φ(b).

引理4[5]設a,b∈A, 則

1) 若a∈J(A)或b∈J(A), 則ab, ba∈J(A);

2) 若a∈J(A)且b∈J(A), 則a+b∈J(A).

引理5[1]設a,b∈ApD滿足ab=ba, 則ab∈ApD且(ab)?=a?b?.

設A1和A2分別表示代數(shù)pAp和(1-p)A(1-p), 其中p2=p∈A.

引理7[4]設p2=p,x,y∈A且x,y具有如下矩陣表達式:

(1)

(2)

(3)

2 主要結論

首先給出以下幾個命題.

命題4 設φ:A→A是雙射的centralizer. 若a,b∈ApD滿足ab=φ(ba), 則

1) aa?b=baa?;

2) bb?a=abb?.

證明1) 記p=aa?, 則有

pb-pbp=pb(1-p)=pnb(1-p)= (aa?)nb(1-aa?)= (a?)nanb(1-aa?)= (a?)nφn(ban)(1-aa?)= (a?)nφn(1)ban(1-aa?)

這意味著

從而, 可得pb=pbp.另一方面

bp-pbp=(1-p)bp=(1-p)bpn= (1-aa?)b(aa?)n= (1-aa?)ban(a?)n= (1-aa?)φ-n(anb)(a?)n= (1-aa?)anφ-n(1)b(a?)n

這表明

因此, 可得bp=pbp.

綜上所述, 有aa?b=baa?.

證明2) 類似于證明1).

考慮ab=φ(ba)條件下，ab的偽Drazin逆的表達式, 推廣了文獻[2]中的相關結果.其中,φ是A上雙射的centralizer，a,b是偽Drazin可逆元.

定理1 設φ:A→A是雙射的centralizer. 若a,b∈ApD滿足ab=φ(ba), 則

1) a?b=φ-1(ba?);

2) ab?=φ-1(b?a);

3) a?b?=φ(b?a?);

4) (ab)?=b?a?=φ-1(a?b?).

證明1) 根據(jù)命題4, 可知aa?b=baa?. 進而可得

a?b=a?aa?b=a?baa?=a?φ-1(ab)a?= φ-1(1)a?aba?=φ-1(1)ba?aa?= φ-1(ba?)

證明2) 相似于證明1).

證明3) 由證明1)和2)直接可證.

證明4) 考慮元素a和b相對于冪等元p=aa?的矩陣表達式:

相似地, 可知b4=0. 因此,有

由已知條件ab=φ(ba), 可得

因此, a1b1=φ(b1a1),a2b2=φ(b2a2).

另外, 注意到

因此, 可得(ab)?=b?a?=φ-1(a?b?).

推論1[2]設a,b∈ApD滿足ab=λba(λ≠0), 則

1) a?b=λ-1ba?;

2) ab?=λ-1b?a;

3) (ab)?=b?a?=λ-1a?b?.

在證明主要結果之前, 需要下面的輔助結論.

(a+b)-1= (1+a-1b)-1a-1=

下面的定理給出了Banach代數(shù)中2個偽Drazin可逆元之和的偽Drazin逆存在的充分必要條件以及表達式, 推廣了文獻[2]中的相關結論.

定理2 設φ:A→A是雙射的centralizer. 若a,b∈ApD滿足ab=φ(ba), 則下列條件等價:

1) a+b∈ApD;

2) u=aa?(a+b)∈ApD;

3) v=aa?(a+b)bb?∈ApD.

此時

(4)

(5)

u?=aa?(a+b)?, v?=aa?(a+b)?bb?

(6)

證明 根據(jù)定理1的證明過程可知

相似地, 可得

根據(jù)命題5, 可得a21+b21∈(p2A2p2)-1且

因為(b21)-1=b2?=b?aπ, 所以對任意的正整數(shù)n, 有(b21)-n-1=(b?)n+1aπ. 除此之外,可以驗證

(baπ)(b?aπ)(aπa)=bb?aπa

這意味著對任意的正整數(shù)n, 有(-a21)n=bb?(-a)naπ. 因此

因為

1)?2) 由命題4, 可推出a1+b1=aa?(a+b)aa?=aa?(a+b)=u. 因此, a+b∈ApD當且僅當 u∈ApD. 另外, 易知式(4)成立.

1)?3) 根據(jù)命題5, 可得

a12+b12∈((p-p1)A1(p-p1))-1

因為

(a1+b1)?=(a11+b11)?+(a12+b12)-1

根據(jù)下面的矩陣表達式:

可知v=a11+b11. 因此, a+b∈ApD當且僅當v∈ApD. 最后, 通過計算可得式(5)和(6).

w?=aa?(a-b)?bb?

3 結語

本文主要研究了Banach代數(shù)中2個偽Drazin可逆元的積與和的偽Drazin逆的表達式, 推廣了文獻[2]中的相關結果. 因為偽Drazin逆是Drazin逆[6]的推廣, 所以研究難度比Drazin逆更大. 目前關于偽Drazin逆的成果并不多[7], 還有許多問題值得思考.

)

[1]WangZ,ChenJL.PseudoDrazininversesinassociativeringsandBanachalgebras[J]. Linear Algebra and Its Applications, 2012, 437(6):1332-1345.DOI:10.1016/j.laa.2012.04.039.

[2]ZhuHH,ChenJL.AdditivepropertyofpseudoDrazininverseofelementsinBanachalgebras[J]. Filomat, 2014, 28(9):1773-1781.DOI:10.2298/fil1409773z.

[3]ZhuHH,ZhangXX,ChenJL.Centralizersandtheirapplicationstogeneralizedinverses[J]. Linear Algebra and Its Applications, 2014, 458:291-300.DOI:10.1016/j.laa.2014.06.015.

[4]ZouHL,ChenJL.OnthepseudoDrazininverseofthesumoftwoelementsinaBanachalgebra[J]. Filomat, 2017, 31(7):2011-2022.DOI:10.2298/fil1707011z.

[5]LamTY. A first course in noncommutative rings: Graduate texts in mathematics [M]. 2nded.NewYork,USA:Springer-Verlag, 2001:54-55.

[6]DrazinMP.Pseudo-inversesinassociativeringsandsemigroups[J]. The American Mathematical Monthly, 1958, 65(7): 506-514.DOI:10.2307/2308576.

[7]ZhuHH,ChenJL,PatricioP.RepresentationsforthepseudoDrazininverseofelementsinaBanachalgebra[J]. Taiwanese Journal of Mathematics, 2015, 19(2): 349-362.DOI:10.11650/tjm.19.2015.4576.

FurtherresultsonpseudoDrazininverseinBanachalgebras

ZouHonglinChenJianlong

(SchoolofMathematics,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)

pseudoDrazininverse;Jacobsonradical;Banachalgebra

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.03.034

2016-09-01. 作者簡介: 鄒紅林(1982─), 男, 博士生; 陳建龍(聯(lián)系人), 男, 博士, 教授, 博士生導師,jlchen@seu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11371089)、江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目 (KYZZ15-0049)、 江蘇省自然科學基金資助項目(BK20141327).

鄒紅林,陳建龍.關于Banach代數(shù)中偽Drazin逆的進一步結果[J].東南大學學報(自然科學版),2017,47(3):626-630.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.03.034.

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1001-0505(2017)03-0626-05