筅江蘇省張家港市沙洲中學(xué)戴御梅

談對一類斜率問題的探究

筅江蘇省張家港市沙洲中學(xué)戴御梅

在高考和競賽中，常常出現(xiàn)這類問題：曲線上一定點(diǎn)P引出兩動弦PQ、PR，這兩弦的斜率之和為定值，則動直線QR恒過定點(diǎn)或kQR恒為定值；平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線斜率之和、差、積、比為定值（不為0）的點(diǎn)的軌跡是什么樣的？它們有怎樣的性質(zhì)？下面就這類問題進(jìn)行探究.

一、與兩定點(diǎn)連線斜率之和為定值的點(diǎn)的軌跡及方程

探究1：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)連線斜率之和為定值的點(diǎn)的軌跡.

不妨設(shè)兩定點(diǎn)為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)連線斜率之和為t.

設(shè)動點(diǎn)為P（x，y），因?yàn)樗骄康呐c兩定點(diǎn)連線的斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

故由kPF1+kPF2=t可得

即2xy=tx2-tc2，這就是所求軌跡的方程.

那么它的軌跡是什么？

易知x≠0，將2xy=tx2-tc2變形后可得

①當(dāng)t>0時，其軌跡為雙曲線（不含F(xiàn)1、F2兩點(diǎn)），且圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，存在兩條漸近線，其中一條為y軸.t越接近于0，雙曲線越彎曲；t→+∞時，圖像趨于兩條直線.

②當(dāng)t<0時，其軌跡還是為雙曲線（不含F(xiàn)1、F2兩點(diǎn)），且圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，存在兩條漸近線，其中一條為y軸.t越接近于0，雙曲線越彎曲；t→-∞時，圖像趨于兩條直線.

二、與兩定點(diǎn)連線斜率之差為定值的點(diǎn)的軌跡及方程

探究2：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)連線斜率之差為定值的點(diǎn)的軌跡.

不妨設(shè)兩定點(diǎn)為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)連線斜率之差為t.

設(shè)動點(diǎn)為P（x，y），因?yàn)樗骄康呐c兩定點(diǎn)連線的斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

故由kPF1-kPF2=t可得

所以，其軌跡為拋物線.（同理可得kPF2-kPF1=t也具有類似的軌跡方程，由于篇幅原因，不再討論，下同）

①當(dāng)t>0時，其軌跡為拋物線（不含F(xiàn)1、F2兩點(diǎn)），開口向下，且關(guān)于y軸對稱.t越大，拋物線的開口越??；t→+∞時，圖像趨于兩條直線，兩直線在無窮遠(yuǎn)處交于點(diǎn)

即-2cy=tx2-tc2，這就是所求軌跡的方程.

那么它的軌跡是什么？

將軌跡方程-2cy=tx2-tc2變形后可得

②當(dāng)t<0時，其軌跡仍是拋物線（不含F(xiàn)1、F2兩點(diǎn)），開口向上，且關(guān)于y軸對稱.t越小，拋物線的開口越??；t→-∞時，圖像趨于兩條直線，兩直線在無窮遠(yuǎn)處交于點(diǎn)

三、與兩定點(diǎn)連線斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡及方程

探究3：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)連線斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡.

設(shè)兩定點(diǎn)為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），與兩個定點(diǎn)連線斜率之積為t.

設(shè)動點(diǎn)為P（x，y），因?yàn)樗骄康呐c兩定點(diǎn)連線斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

故由kPF1×kPF2=t可得

即tx2-y2=tc2，這就是所求軌跡的方程.

那么它的軌跡是什么？

將軌跡方程tx2-y2=tc2，變形后可得

①當(dāng)t>0時，其軌跡為雙曲線（不含F(xiàn)1、F2兩點(diǎn)），且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，存在兩條漸近線，其漸近線方程為y= ±x，圖像關(guān)于x、y軸對稱，其離心率為越接近于0，雙曲線越彎曲；t→+∞時，圖像趨于兩條直線.

②當(dāng)-1

③當(dāng)t=-1時，其軌跡方程為x2+y2=c2（不含F(xiàn)1、F2兩點(diǎn)）.其軌跡為以c為半徑且圓心在原點(diǎn)的圓，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，關(guān)于x、y軸對稱.

④當(dāng)t<-1時，其軌跡為橢圓（不含F(xiàn)1，F(xiàn)2兩點(diǎn)），且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，關(guān)于x、y軸對稱.其離心率為，t越小，橢圓越扁，此時焦點(diǎn)在y軸上.t→-∞時，圖像越趨于兩條直線，兩直線

四、與兩定點(diǎn)連線斜率之比為定值的點(diǎn)的軌跡及方程

探究4：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)連線斜率之比為定值的點(diǎn)的軌跡.

設(shè)兩定點(diǎn)為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），與兩個定點(diǎn)連線斜率之比為t.

設(shè)動點(diǎn)為P（x，y），因?yàn)樗骄康呐c兩定點(diǎn)連線斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

由kPF1÷kPF2=t可得

那么它的軌跡是什么？

當(dāng)t=1時，代入（1-t）x=ct+c，得0=c+c，即c=0，這與假設(shè)c>0矛盾，所以t≠1.

當(dāng)t≠1時，將其變形后可得

所以，其軌跡為一條直線.

①當(dāng)t>1時，其軌跡為一條在y軸左側(cè)的直線，t越大，越靠近y軸.當(dāng)t→+∞時，其軌跡趨于x=-c所在的直線.

②當(dāng)0≤t<1時，其軌跡為一條在y軸右側(cè)的直線，t越小，越靠近y軸.當(dāng)t→0時，其軌跡趨于x=c所在的直線.

③當(dāng)t<0時，其軌跡為一條直線，在x=-c和x=c之間移動.t越小，越靠近x=-c所在的直線.當(dāng)t→-∞時，其軌跡趨于x=-c所在的直線.

五、定點(diǎn)P引出兩動弦PQ、PR，這兩弦的斜率之和為定值，則動直線QR恒過定點(diǎn)或kQR恒為定值

探究5：二次曲線Ф：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上有一定點(diǎn)P（x0，y0）和異于點(diǎn)P的兩動點(diǎn)Q、R，則kPQ+kPR= λ≠-且為定值的充要條件是動直線QR過定點(diǎn)的充要條件是，其中Ф1=2Ax0+By0+D，Ф2=Bx0+2Cy0+E.

證明：做平移：x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф（x，y）=0，得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+Φ1x′+Φ2y′=0.（1）

設(shè)QR的方程為lx′+my′=1，代入（1），得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+（Φ1x′+Φ2y′）（lx′+my′）=0，整理得是方程（2）的兩根，

一般來說，教材中給出知識是最精練的學(xué)科知識，不會進(jìn)行更加深入的探究.這是因?yàn)榻滩淖鳛槿祟愔R的精華，不可能、也不允許對一個問題作長篇幅的闡述.但是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果只是講課本上的知識，不對相關(guān)問題進(jìn)行拓展與挖掘，學(xué)生就不能養(yǎng)成自我探索與自我反思的思維習(xí)慣.數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合課本內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，對教材知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，設(shè)計一些既能夠激發(fā)學(xué)生探究興趣，又能夠讓學(xué)生經(jīng)歷思考，進(jìn)行探索的題目，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高會有很大的幫助.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)有意識地提出一些學(xué)生感興趣的、并有一定深度的課題，組織學(xué)生開展討論，在師生互相切磋、共同研究中來增進(jìn)師生、同學(xué)之間的情誼，培養(yǎng)積極的情感.我們看到，許多優(yōu)秀的教師，他們的成功，很大程度上是與學(xué)生建立起了一種非常融洽的關(guān)系，相互理解，彼此信任，情感相通，配合默契.教學(xué)活動中，通過師生、生生、個體與群體的互動，合作學(xué)習(xí)，真誠溝通.老師的一言一行，甚至一個眼神，一絲微笑，學(xué)生都心領(lǐng)神會.而學(xué)生的一舉一動，甚至面部表情的些許變化，老師也能心明如鏡，知之甚深，俗話說“心有靈犀一點(diǎn)通”.沒有“靈犀”不易通，有了“靈犀”，才能“一點(diǎn)就通”，這“靈犀”，就是我們的老師在長期的教學(xué)活動中，與學(xué)生建立起來的相互理解.