筅江蘇省張家港市崇真中學(xué)張雪玲

例談高考中對函數(shù)零點(diǎn)的考查

筅江蘇省張家港市崇真中學(xué)張雪玲

零點(diǎn)問題是近幾年高考考查的熱點(diǎn)問題之一，其涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等多種數(shù)學(xué)思想.函數(shù)零點(diǎn)也是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)，本文筆者通過平時的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勔恍└呖贾袑瘮?shù)零點(diǎn)問題的考查.

考查一、零點(diǎn)可求——求解具體的零點(diǎn)

當(dāng)問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)零點(diǎn)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)時，別無選擇，必須把零點(diǎn)用解方程辦法算出來.

（1）略.

（2）若f（x）在［3，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

當(dāng)x

當(dāng)x10，故f（x）為增函數(shù)；

當(dāng)x>x2時，f′（x）<0，故f（x）為減函數(shù).

點(diǎn)評：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以極值點(diǎn)為界，而極值點(diǎn)又是其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，故以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題，常需要計算導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).

考查二、考查圖像——畫出具體零點(diǎn)

有的問題沒有涉及零點(diǎn)的值，只考查零點(diǎn)的個數(shù)，則可以將零點(diǎn)畫出.有的基本初等函數(shù)畫出圖像比較容易，而較復(fù)雜的函數(shù)，則要借助導(dǎo)數(shù)，通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，再畫出示意圖.

例2設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）若f（x）有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）略.

解析：（1）由f（x）=0圯a（x-1）2=（2-x）ex.

顯然x=1時，a不存在，故x≠1.

所以函數(shù)g（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

又x≥2時，g（x）≥0，x<2時，g（x）<0，且g（0）=-2.

在同一坐標(biāo)系中作出直線y=-a及函數(shù)y=g（x）的圖像.由圖1不難得到a的取值范圍為（0，+∞）.

點(diǎn)評：由此可見，通過畫圖得到函數(shù)的零點(diǎn)簡單直觀，避免了煩瑣的討論.

圖1

考查三、數(shù)形結(jié)合——計算零點(diǎn)與畫出交點(diǎn)相結(jié)合

有時所給的零點(diǎn)問題僅僅靠畫圖像無法順利解出，此時可以先通過圖像探路，再利用嚴(yán)密的邏輯思維進(jìn)行推導(dǎo).

圖2

x1是關(guān)于x的方程2x2-x=m，即2x2-x-m=0的較小根.

故x1x2x3的取值范圍是

點(diǎn)評：本題蘊(yùn)含了函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，通過畫圖和推演結(jié)合，將問題完美解決.

考查四、設(shè)而不求——虛設(shè)出零點(diǎn)

若涉及的問題是超越方程對應(yīng)的問題，通過零點(diǎn)存在性定理我們知道函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)時，但是解不出來，此時我們不妨采用先設(shè)出零點(diǎn)，再利用等式反代入的方法來解決.

例4設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.

（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)的個數(shù)；

解析：（1）當(dāng)a>0時，方程g（x）=a有一個根，即f′（x）存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)a≤0時，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點(diǎn).（具體解答過程略）

（2）由（1）可設(shè)f′（x）在（0，+∞）內(nèi)的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時，f′（x）<0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0.故f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）.

由f′（x0）=0，得

考查五、構(gòu)造函數(shù)——兩邊夾法則

（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）在［-1，1］上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

解析：依題意0≤b-2a≤1，得2a≤b≤2a+1，所以x2+ ax+2a≤x2+ax+b≤x2+ax+2a+1，即x2+ax+2a≤f（x）≤x2+ax+ 2a+1.

在解決某些含參變量的函數(shù)問題時，常常利用不等式的放縮，采取兩邊夾法則解決.

例5設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）.

令g（x）=x2+ax+2a，h（x）=x2+ax+2a+1，則g（x）恒過點(diǎn)（-2，4），h（x）恒過點(diǎn)（-2，5）.考慮到三個函數(shù)都具有相同的對稱軸，因此要使f（x）在［-1，1］上有零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）向上平移至h（x）的過程中有零點(diǎn)，即與x軸有交點(diǎn)（如圖3）.要使g（x）在［-1，1］上有零點(diǎn)，則解得-1≤a≤0，此時b=2a，所以-2≤b≤0，要使h（x）在［-1，1］上有零點(diǎn)，則解得-2≤a≤4-2，此時b=2a+1，所以-3≤b≤9-

圖3

點(diǎn)評：其實(shí)，本題完全可以用前面介紹的方法（零點(diǎn)算出來或零點(diǎn)畫出來）加以解決，但都不如上述方法簡單，筆者旨在說明：一種漂亮解法的得出，需要我們對以往解題經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，更需要我們對問題有深層剖析，它值得我們學(xué)習(xí)和借鑒.

考查六、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)，要綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，比如對稱性、特殊點(diǎn)，當(dāng)然，說明函數(shù)在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)，要根據(jù)零點(diǎn)存在定理.下面結(jié)合具體問題分析運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題的常用方法和難點(diǎn).

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（2）求集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)；

（3）當(dāng)1

解析：（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，證明略.

（2）方法1：（研究函數(shù)自身的零點(diǎn)）

當(dāng)a>0時，因?yàn)閒（x）=acosx+xsinx>0成立，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為0.

當(dāng)a<0時，因?yàn)閒′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+，所以函數(shù)f（x）是上的增函數(shù).

由f（x）是偶函數(shù)可知，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為2.

綜上所述，當(dāng)a>0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為0；當(dāng)a=0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為1；當(dāng)a<0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為2.

方法2：（參變分離，轉(zhuǎn)化為判斷兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)）

綜上所述，當(dāng)a>0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為0；當(dāng)a=0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為1；當(dāng)a<0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數(shù)為2.

（3）略.

以函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題作為高考壓軸大題，就是因其綜合性極強(qiáng)，思想內(nèi)涵豐富（函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合，分類整合等），有很好的選拔功能，有難度是必然的，但只要我們從數(shù)形兩方面思考，破解這類問題，應(yīng)該沒有問題.F