筅湖北省黃石有色第一中學(xué)余明

直線與圓中一道數(shù)量積為定值問題的探究

筅湖北省黃石有色第一中學(xué)余明

例1如圖1所示，已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切.過點(diǎn)B（-2，0）的動直線與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是弦MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.

（1）求圓A的方程.

解析：（1）圓A：（x+1）2+（y-2）2=20.（過程略）

（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-2，符合題意.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y= k（x+2）.

圖1

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，y=k（x+2），且（x+1）2+（y-2）2= 20，則因?yàn)閨MN|=2，所以|AQ|=1.

故直線l的方程為3x-4y+6=0.

綜上，所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.

例2已知圓C：x2+（y-3）2=4，一動直線l過A（-1，0）與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+ 6=0相交于點(diǎn)N.

解析：（1）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-1符合題意.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+ 1）.

故直線l的方程為4x-3y+4=0.

綜上，所求直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+ 1），由

例3圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，過定點(diǎn)A（x0，y0）的直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：y=kx+m相交于N，探索k為何值時(shí)為定值與直線l的斜率無關(guān).

圖2

（1）若x0≠a，y0≠b，因?yàn)锳C⊥m，所以

（2）若x0=a，或y0=b，亦可得到為定值，不再贅述.

例1的第（3）問也可以這樣解答：kAB=2，直線l1的斜率，所以滿足l⊥AB.1

又x0=-2，y0=0，a=-1，b=2

此方法是運(yùn)用數(shù)量積的定義，轉(zhuǎn)化成投影來計(jì)算，從而得出數(shù)量積為定值的條件是AC⊥m，與直線l的斜率無關(guān).這也是向量問題的妙解，除了常規(guī)的解析法通過大量的計(jì)算來解答，結(jié)合向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義的運(yùn)用能夠事半功倍！在此不僅求出定值，而且弄清楚為什么會是定值，最終轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離的積或積的相反數(shù).F