筅新疆兵團二中徐波

導(dǎo)數(shù)題運算的關(guān)鍵在于“運”

筅新疆兵團二中徐波

高考“考試大綱”指出：“運算求解能力是思維能力和運算技能的結(jié)合，運算能力包括分析運算條件，探究運算方向，選擇運算公式，確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力.”［1］這些對運算能力的要求都貫穿落實在高考、?？荚嚲淼膶?dǎo)數(shù)壓軸題的考查中，運算求解能力與推理論證能力、創(chuàng)新意識等能力綜合發(fā)揮效應(yīng)全方位地體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題的求解過程中，達到了對考生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)進行深層次考查的目的，［2］，［3］因此，高考、?？荚嚲碇械膶?dǎo)數(shù)壓軸題承擔(dān)著整個試卷的把關(guān)重任，有著良好的區(qū)分度，在選拔性考試中肩負著重要的任務(wù).筆者根據(jù)多年來研究高考新課標(biāo)卷試題和多年來參加烏魯木齊市高三模考命題的實踐，結(jié)合多年來在教學(xué)中輔導(dǎo)高三學(xué)生高考復(fù)習(xí)備考的課堂教學(xué)實踐，深刻意識到解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵在于運算.而運算的關(guān)鍵在于“運”，就是“運籌”、“運轉(zhuǎn)”，整個的解題進程和解題方案的形成背后其實都是受運算進程支配的，運算在當(dāng)中起著決定性作用.由于筆者有多年來一直參加烏魯木齊市高三?？济}工作的經(jīng)歷，因此，筆者特意選擇了2017年烏魯木齊市高三第三次診斷性測試（最近剛舉行的測試）的試題作為本文的素材來展開論述.為了增加實用性，在例題后面又附了一道相應(yīng)的練習(xí)題.希望本文的觀點和方法能夠?qū)蠋煹慕虒W(xué)和同學(xué)們的學(xué)習(xí)有一點幫助.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a<-2時，討論f（x）的零點個數(shù).

分析：（1）用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性：f′（x）= 2（x-1）lnx+（x-2）+（2a-1）x+2（1-a），

f′（x）=2（x-1）·（lnx+a）（x>0）.

（i）當(dāng)a=0時，f′（x）=2（x-1）lnx，當(dāng)00，

當(dāng)x>1時，f′（x）>0，當(dāng)x=1時，f′（x）=0，

所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（ii）當(dāng)a>0時，令f′（x）=0，得兩個根x1=1，x2=e-a，

此時e-a<1，根據(jù)f′（x）的正負容易判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性：

f（x）在（0，e-a）上單調(diào)遞增，（e-a，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（iii）當(dāng)a<0時，此時e-a>1，

則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e-a）上單調(diào)遞減，在（e-a，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)a<-2時，由（1）可知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，e-a）上單調(diào)遞減，在（e-a，+∞）上單調(diào)遞增，

再將x=e-a代入函數(shù)f（x）：

所以f（e-a）<0，

根據(jù)函數(shù)零點存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知f（x）在（1，e-a）內(nèi)存在唯一的一個零點.

接下來探究f（x）在（0，1）內(nèi)的零點情況，已經(jīng)有f（1）>0，而f（0）沒有意義，我們只能考察當(dāng)x→0+時函數(shù)值f（x）的狀態(tài)，這需要用極限來考察，把函數(shù)值f（x）分成兩部分來考察，先看，由此我們合情推理在0+附近存在x0，使f（x0）<0，這樣f（x）在（0，1）內(nèi)應(yīng)該是有一個零點的.下面證明：當(dāng)x∈（0，1）時，存在x0，使f（x0）<0，

首先（fx）=（x2-2x）lnx+∈a-∈x2+2（1-a）x+a里含有一個超越式和一個代數(shù)式，根本沒法溝通沒法運算（沒有這方面的運算律支持），現(xiàn)在的主要矛盾就卡在運算上！其實我們只是想在0+附近找到一個x0，使f（x0）<0，那我們可以在0+附近把f（x）稍微放大一些，使得放大以后再小于0，在這個將f（x）放大一些的過程中，就可以改變f（x）的代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得原本一個超越式和一個代數(shù)式?jīng)]法運算的局面得以改觀，因此我們首先想著將lnx“變成”一個有理函數(shù)，總的來說，我們是要探求“f（x）<？”，考慮到在0+附近x2-2x=x（x-2）<0，因此我們只需要探求“l(fā)nx>？”，然后在它兩邊同時乘以“x2-2x”，就能得“（x2-2x）·lnx<？”，但是這個任務(wù)不好辦，因為我們的經(jīng)驗是lnx≤x-1（這是一個常用的不等式，很容易證明），怎么變成“l(fā)nx>？”呢，這就需要運算律方面的智慧和策略了！以“”代入lnx

最后探究f（x）在（e-a，+∞）內(nèi)的零點情況，前面已經(jīng)知道f（e-a）<0，我們還需要考察當(dāng)x→+∞時函數(shù)值f（x）的狀態(tài)，這需要用極限來考察，如果還像前面那樣把函數(shù)值f（x）分成兩部分來考察的話，先看，還是看不出來當(dāng)x→+∞時函數(shù)值f（x）的狀態(tài)，然而從合情推理的角度，（x2-2x）lnx是一個二次函數(shù)乘以一個“+∞級別”的函數(shù)lnx，而是一個二次函數(shù)乘以一個負的系數(shù)“a-”，二者“較量”的結(jié)果應(yīng)該還是（x2-2x）lnx“占上風(fēng)”，所以，當(dāng)x→+∞時函數(shù)值f（x）→+∞，也就是說在x∈（e-a，+∞）上，一定存在x1，使f（x1）>0，但這畢竟是合情推理，要用邏輯推理的話，我們試試：

，而且在“+∞”附近x2-2x>

0，現(xiàn)在我們可以把f（x）縮小一些：

這時候就需要重新整理函數(shù)值f（x）的代數(shù)結(jié)構(gòu)，考慮到在+∞附近x2-2x>0，我們把f（x）的后面那一部分二次函數(shù)里也提取出來一個x2-2x與前面的項合并，這樣將f（x）的函數(shù)值的代數(shù)結(jié)構(gòu)重新調(diào)整成兩部分，再讓每一部分分別大于零，取其交集，就可以得到一個使f（x）>0的x1了，試試看：

分別令（x2-2x）≤lnx+a-∈>0，①

且x+a>0.②

由②解得x>-a.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系ex>x+1，容易判斷

以上是本題的一個鮮活的思維探究的過程，書面表達出來則是下面這種“冷冰冰”的形式化的表述：

（1）f′（x）=2（x-1）（lnx+a）（x>0），

當(dāng)x>1時，f′（x）>0，當(dāng)x=1時，f′（x）=0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（ii）當(dāng)a>0時，令f′（x）=0，求得x1=1，x2=e-a，此時e-a<1，根據(jù)f′（x）的正負容易判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性：

f（x）在（0，e-a）上單調(diào)遞增，在（e-a，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（iii）當(dāng)a<0時，此時e-a>1，

則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e-a）上單調(diào)遞減，在（e-a，+∞）上單調(diào)遞增.

我轉(zhuǎn)過頭，視線穿過課桌上高高低低小山般的書堆，落在后面陳浩和朱木瀾的座位上，空的，兩個人都不在，甚至都沒有參加期末考試。過完寒假就是最緊張的高三下學(xué)期了，他們兩個會回來嗎？

考慮到x2-2x=x（x-2）<0，

由零點存在定理及函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性可知，f（x）在（0，1）上有唯一的一個零點.

由f（1）>0，f（e-a）<0，及f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在（1，e-a）上有唯一零點.

下面證明在x∈（e-a，+∞）上，存在x1，使f（x1）>0，取x1=，則x1>e-a，

由不等式ex≥x+1，則e-a+a≥（-a+1）+a>0，即f（x1）>0.

根據(jù)零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性可知，f（x）在（e-a，+∞）上有一個零點.

綜上所述，當(dāng)a<-2時，f（x）共有3個零點.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）證明當(dāng)a≥0時，f（x）>0.

在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的運算過程中，常常需要借助函數(shù)的麥克勞林展開式，將一個超越函數(shù)用一個多項式形式的函數(shù)去取代，最常用的是ex≥x+1和lnx≤x-1，有的時候甚至還需要作一些變量代換，進一步獲得我們所需要的一些有理函數(shù)的形式.比如，以“”代入lnx≤x-1中，可得，這一切都是為了將運算調(diào)整到能夠進行下去的軌道上去.在平常的解題教學(xué)中，每當(dāng)碰到運算進行不下去或者出現(xiàn)運算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折處時，要停下來，把學(xué)生難在那里，先讓他們充分地體驗運算的阻力所在和關(guān)鍵所在，教師不要在這些地方好心地全盤托出，毫無阻力，那樣學(xué)生什么都沒學(xué)到，沒有發(fā)生應(yīng)有的成長.教師只需要在恰當(dāng)?shù)臅r機給予點撥引導(dǎo)，提煉解決問題的關(guān)鍵思路、關(guān)鍵技術(shù).使學(xué)生明確探究解題方案的進程的背后其實都是受運算進程的支配，運算在當(dāng)中起著決定性的作用.總之，教師不能包辦代替學(xué)生的成長，而這樣一個基本的教學(xué)理念落實起來仍然還任重道遠.

1.教育部考試中心.《2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》［M］.北京：高等教育出版社，2015.

2.教育部考試中心.《2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》［M］.北京：高等教育出版社，2015.

3.教育部考試中心.《高考理科試題分析》（2016年版）［M］.北京：高等教育出版社，2015.