筅安徽省靈璧第一中學(xué)鄭良

立足本質(zhì)促進(jìn)對(duì)話，深度發(fā)展提升智慧
——由一節(jié)二輪復(fù)習(xí)課引發(fā)的思考

筅安徽省靈璧第一中學(xué)鄭良

高三二輪復(fù)習(xí)如火如荼，結(jié)對(duì)的年輕教師C（第一次帶畢業(yè)班）向筆者傾訴其在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中的困惑：課堂上少數(shù)學(xué)生選擇自己做題而不聽課；教師若簡單地梳理思路并用多媒體展示答案收效甚微，若在黑板上完整板書浪費(fèi)時(shí)間，好像也沒有必要（學(xué)生手里有參考答案）；簡單、中檔題教師不講學(xué)生也會(huì)，難題教師講了學(xué)生還是不會(huì)；二輪復(fù)習(xí)時(shí)間短（一個(gè)月左右），任務(wù)重（內(nèi)容多），如何做到（知識(shí)、思想方法、解題策略等）全面撒網(wǎng)，重點(diǎn)捕捉等等.教師C的困惑反映了大多數(shù)教師復(fù)習(xí)備考時(shí)的迷茫：復(fù)習(xí)課，尤其是第二輪復(fù)習(xí)（一些學(xué)校還有第三輪復(fù)習(xí)）的抓手在哪里？如何提高復(fù)習(xí)課教學(xué)效率？筆者觀摩了教師C以“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值”為題的二輪專題復(fù)習(xí)課，下面談?wù)劰P者對(duì)問題的理解，并給出教學(xué)思考.

一、教學(xué)片斷簡析

例1（2016年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第20題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

（3）設(shè)a>0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值不小于

學(xué)科組統(tǒng)一的學(xué)案在上課前1-2天發(fā)給學(xué)生，供學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流.學(xué)生思考（實(shí)則是對(duì)解答過程的回憶）約兩分鐘后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟與作用、函數(shù)的極值與最值的概念、確定函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，啟發(fā)學(xué)生思考為什么要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論？如何確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)？問題的解答展示如下：

解：（1）由f（x）=（x-1）3-ax-b，得f′（x）=3（x-1）2-a.下面分兩種情況討論：

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間.

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

姨x-∞，1-3a% 331-3a%姨姨3，1-3a% 3 331+3a%姨姨331+3a%姨31+3a% 33 3，+∞f′（x）+0-0+ f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

（2）證法1：f（x）存在極值點(diǎn)，由（1）知，a>0，且x0≠1，由題意，得f（′x）0=3（x0-1）2-a=0，即（x0-1）2=，進(jìn)而（fx）0=

又（f3-2x0）=（2-2x0）3-a（3-2x0）-b=（1-x0）+2ax0-3a-b=-x--b=（fx），且3-2x≠x，由題意及（1）知，0000存在唯一實(shí)數(shù)滿足f（x1）=f（x0），且x1≠x0，因此x1=3-2x0，所以x1+2x0=3.

（3）證法1：設(shè)g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值為M，max｛x，y｝表示x，y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論：

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值不小于.

點(diǎn)評(píng)：第（2）問證法1逆用函數(shù)f（x）的單調(diào)性建立自變量的值x1與x0的關(guān)系.第（1）問確定函數(shù)f（x）存在極值的條件及函數(shù)的極值點(diǎn)，由于已知函數(shù)f（x）的解析式，故考慮代入求證，若解x1關(guān)于a的解析式，過程相對(duì)稍煩瑣，故嘗試消去a建立x1與x0的方程，即得（以x1為主元的）證法2.

證法2：由題意知，a>0，f′（x0）=0，即a=3（x0-1）2.

由（fx1）=（fx0），即（x1-1）3-ax1-b=（x0-1）3-ax0-b，

由x1≠x0，得

代入a=3（x0-1）2，整理得（x1-x0）［x1-（3-2x0）］=0.

因?yàn)閤1≠x0，所以x1=3-2x0，即x1+2x0=3.

函數(shù)f（x）=（x-1）3-a（x-1）-（a+b）的對(duì)稱中心為（1，-a-b）.令h（x）=f（x+1）=x3-ax-（a+b），x∈［-1，1］，則h（x）（x∈［-1，1］）與f（x）（x∈［0，2］）的值域相同.由函數(shù)圖像知，g（x）在［0，2］的最大值為慮函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值（極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)）的關(guān)系可知，參數(shù)a的分界點(diǎn)為3與，映射到函數(shù)h（x）自變量的值-1，1，-，.對(duì)應(yīng)到函數(shù)（fx）中，可得第（3）問證法2.

證法2：由f（2）=1-2a-b，f333=1-3a-b，f313=

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

解：（1）（略）.

點(diǎn)評(píng)：第（2）問不等式的證明轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題來解決.證法1利用兩個(gè)子函數(shù)g（x），h（x）的最小值來估計(jì)f（x）的范圍.為什么要如此結(jié)合？還能怎樣構(gòu)造局部函數(shù)？嘗試直接對(duì)欲證不等式的左右兩邊的函數(shù)求最值，得到證法2.

證法2分別確定函數(shù)f（x）與f′（x）在［1，2］上的最小值與最大值，相比證法1，證法2中f（x）-f′（x）的估值更精確，能否直接用作差法證明呢？得到證法3.

記p（x）=x4-x3-3x2-2x+6，x∈［1，2］，p′（x）=4x3-3x2-6x-2.

令q（x）=4x3-3x2-6x-2，x∈［1，2］，則q′（x）=12x2-6x-6，由q′（x）≥0在區(qū)間［1，2］上恒成立知，q（x）在區(qū)間［1，2］上單調(diào)遞增，且q（1）=-7，q（2）=6>0，所以存在x2∈［1，2］，使得q（x2）=0.

當(dāng)x∈［1，x2］時(shí)，p′（x）<0；當(dāng)x∈［x2，2］時(shí)，p′（x）>0，即函數(shù)p（x）在［1，x2］上單調(diào)遞減，在［x2，2］上單調(diào)遞增，且p（1）=1>0，p（2）=-2<0，

所以存在x3∈［1，2］，使得p（x3）=0，當(dāng)x∈［1，x3］時(shí)，m′（x）>0；當(dāng)x∈［x3，2］時(shí)，m′（x）<0，即函數(shù)m（x）在［1，x3］上單調(diào)遞增，在［x3，2］上單調(diào)遞減，且m（1）=2>0，m（2）=-ln2，而2>-ln2>，所以x∈［1，2］時(shí)，m（x）≥-ln2>，即原不等式成立.

以上證明中，“設(shè)而不求”的量x0，x1，x2，x3均僅在判斷相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性時(shí)搭橋鋪墊，無需對(duì)其所在的區(qū)間進(jìn)一步細(xì)化.證法3通過求f（x）-f′（x）的最小值，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算的精確化.

例3設(shè)f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲線y=f（x）在x=處有水平切線.

（1）求a的值；

（2）設(shè)g（x）=f（x）+x+xlnx，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，1），有|g（x1）-g（x2）|

解：（1）a=-2.（過程略）

記w（x）=xlnx，則w′（x）=1+lnx，由w′（x）=0，得x=，所以函數(shù)w（x）在上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，w（x）<0，w（1）=0，w，所以

所以對(duì)任意x1，x2∈（0，1），|g（x1）-g（x2）|<2e-2+e-1.

（兩個(gè)函數(shù)q（x），w（x）的上確界點(diǎn)相同，而下確界點(diǎn)與最小值點(diǎn)不同，等號(hào)不能成立）

點(diǎn)評(píng)：證法1將函數(shù)g（x）分成兩個(gè)子函數(shù)q（x），w（x），分別求導(dǎo)得到函數(shù)的最值（或確界，=0），進(jìn)而估計(jì)函數(shù)值的范圍.不等式證明中要保證放縮的方向性（不等式的傳遞性）與精確度（解題方式方法的可行性）.g（x）的兩個(gè)子函數(shù)q（x），w（x）的值域易求且恰好滿足結(jié)論，若將函數(shù)g（x）分拆為f（x）與h（x）=x+xlnx，其值域分別為范圍失控.嘗試把g（x）作為一個(gè)整體，直接探求其性質(zhì)，得到證法2.

證法2：對(duì)任意x1，x2∈（0，1），有|g（x1）-g（x2）|

（若g（x）在（0，1）內(nèi)存在最大值與最小值，否則用上確界與下確界來代替）由g′

由g′（x0）=0，得

所以|g（x1）-g（x2）|

g（x）在（0，1）上有最小值g（x0），不存在最大值（借助極限思想=1或符號(hào)法則，通過比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值確定其上確界），利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理壓縮g′（x）的零點(diǎn)x0（確定值）所在區(qū)間的長度，即要控制好“x0的精度”，通過“設(shè)而不求”變換g（x0）的結(jié)構(gòu)形式，然后構(gòu)造函數(shù)u（t），利用函數(shù)u（t）的單調(diào)性估算g（x0）的值，繼而利用不等式的傳遞性進(jìn)行證明.

例4已知函數(shù)f（x）=aex+（2-e）x（a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在x=0處的切線與直線（3-e）xy+10=0平行.

（1）求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）證明：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）-1>xln（x+1）.

解：（1）a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）內(nèi)無零點(diǎn).（過程略）

（2）證法1：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）-1>xln（x+1）等價(jià)于

即證：當(dāng)x>0時(shí)，ex-x2+（2-e）x-1≥0.①

設(shè)h（x）=ex-x2+（2-e）x-1，則h′（x）=ex-2x+2-e.

設(shè)φ（x）=ex-2x+2-e，則φ′（x）=ex-2，當(dāng)x∈（0，ln2）時(shí)，φ′（x）<0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，φ′（x）>0，所以φ（x）在區(qū)間（0，ln2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）上單調(diào)遞增.

又φ（0）=3-e>0，φ（1）=0，0

所以存在x0∈（0，ln2），使得φ（x0）=0，當(dāng)x∈（0，x0）∪（1，+∞）時(shí)，φ（x）>0；當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，φ（x）<0.

所以h（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.又h（0）=h（1）= 0，所以，當(dāng)x>0時(shí)，h（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，即①式成立.

綜上所述，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）-1>xln（x+1）.

點(diǎn)評(píng)：不少學(xué)生在第（1）問中沒有檢驗(yàn)直線的平行性，說明學(xué)生對(duì)兩條直線的平行關(guān)系認(rèn)識(shí)不到位.第（2）問通過恒等變形，借助常用結(jié)論ln（x+1）0），在之間插入“隔離函數(shù)”y=x（即在f（x）-1與xln（x+1）之間插入“隔離函數(shù)”y=x2）.求導(dǎo)過程遭遇導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求的情況，采用“設(shè)而不求”進(jìn)行過渡.學(xué)生的錯(cuò)誤是：“φ（ln2）=2-2ln2+2-e>0，所以h′（x）>0，故函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，h（x）>0，即當(dāng)x>0時(shí)”這表明學(xué)生感性壓過理性，用主觀臆斷替代邏輯推理，無視φ（1）=0表明學(xué)生沒有良好的數(shù)感.當(dāng)x>0時(shí)等價(jià)于的最小值，而直接求的“最大值”（上確界）則需要用到洛必達(dá)法則，故選擇證明不等式x>ln（x+1）.為什么要如此變形？由于直接作差法不易判斷差函數(shù)的單調(diào)性，且y=f（x）-1（x>0）的最小值不大于y=xln（x+1）（x>0）的最大值，故通過兩邊同除以x改變兩個(gè)函數(shù)的變化速度，（用放大鏡放大）使其大小關(guān)系從“模糊”走向清晰.變形方式唯一嗎？隔離函數(shù)如何確定？

證法2：當(dāng)x>0時(shí)，欲證f（x）-1>xln（x+1），

即證ex+（2-e）x-1>xln（x+1）.

先證：ex>+x+1（x>0）.

記m（x）=ex--x-1（x>0），則m（′x）=ex-x-1.

記n（x）=ex-x-1，n′（x）=ex-1，則n（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以n（x）>n（0）=0，函數(shù)m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，m（x）>m（0）=0，即ex>+x+1（x>0）.

ex+，只需（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以0，即ex+（2-e）x-1>+（3-e）x>xln（x+1），即當(dāng)x>0時(shí)，f（x）-1>xln（x+1）.

證法3：先證：ex>+x+1（x>0），

則ex+（2-e）x-1>+（3-e）x.

因?yàn)閘n2<0.7，e<2.8，所以ln2+e<3.5，即ln2-<3-e，因?yàn)閤>0，所以有≤ln2-≤x<（3-e）x，故有xln（x+1）≤

故原不等式成立.

證法2利用ex的泰勒展開式進(jìn)行放縮，即在f（x）-1與 xln（x+1）之間插入“隔離函數(shù)”y=+（3-e）x，證法3以 Φ（1）=0為切入點(diǎn)，利用函數(shù)y=ln（x+1）的凹凸性，在+（3-e）x與xln（x+1）之間插入“隔離函數(shù)”y=x2+.本題若用直接作差法證明，則對(duì)差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的精度要求高而難以實(shí)施.

二、教學(xué)思考

1.教學(xué)張弛有度，貴在常變常新

知識(shí)與課程不會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素養(yǎng)，學(xué)生（核心）素養(yǎng)的培育必須借助知識(shí)的內(nèi)化過程.教學(xué)過程是一種特殊的認(rèn)識(shí)過程，也是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)展的過程.在教學(xué)過程中，教師有目的有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生能動(dòng)地進(jìn)行認(rèn)識(shí)活動(dòng)，循序漸進(jìn)地掌握學(xué)科知識(shí)與基本技能，以促進(jìn)學(xué)生知情和諧發(fā)展.教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”.教什么，教到什么程度，是教師必須思考并準(zhǔn)確實(shí)施的問題.問題沒有難度，學(xué)生沒有主動(dòng)思維（機(jī)械思考應(yīng)對(duì)），缺乏挑戰(zhàn)性導(dǎo)致學(xué)生疲倦，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；問題難度過大，學(xué)生絞盡腦汁思考卻勞而無獲導(dǎo)致學(xué)生知難而退，扼殺學(xué)生學(xué)習(xí)自信心.教師在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)（深刻地把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，深度地參與學(xué)習(xí)過程，學(xué)習(xí)就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的逐步對(duì)話的過程）.眾所周知，知識(shí)的本質(zhì)并不在于它的確定性和穩(wěn)定性，而在于它的發(fā)展性和不斷的變化性.復(fù)習(xí)課遭遇內(nèi)容學(xué)生熟知、方法學(xué)生耳熟能詳?shù)惹闆r，教師更要明確教學(xué)目標(biāo)，聚焦教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，在問題的關(guān)鍵處給出自己獨(dú)特的見解.試想，老生常談、千篇一律的說教沒有文本詳盡，比不上搜題工具的解答精彩，怎么可能激發(fā)學(xué)生的興趣！通過變式、改編、整合等不同的方式提高學(xué)生對(duì)知識(shí)、思想方法、解題策略等的認(rèn)知與理解.如例1第（2）問證法2（主元法）反映了對(duì)稱與非對(duì)稱的辯證統(tǒng)一，第（3）問證法2以靜制動(dòng)（運(yùn)動(dòng)中的不變性）深化了學(xué)生對(duì)函數(shù)最值概念的理解，能培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題與深刻反思的良好習(xí)慣.專題設(shè)計(jì)一脈相承，思維水平逐步遞進(jìn).例1操作煩瑣，通性通法思維要求不高，例2第（2）問入口較寬，局部法與整體法均可，“設(shè)而不求”簡單過渡，例3第（2）問局部法與整體法要求精細(xì)，凸顯思維的高層次性，例4第（2）問關(guān)卡重重，需要學(xué)生思維靈動(dòng)，富有創(chuàng)新性.

2.積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指學(xué)習(xí)者參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷以及在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中所形成的感性認(rèn)識(shí)、情緒體驗(yàn)和觀念意識(shí)；在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)活動(dòng)中能生長為較高層次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，則是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).［1］新授課帶給學(xué)生的認(rèn)知往往是膚淺的，給予學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)常常是零散的；復(fù)習(xí)課要有目的地實(shí)現(xiàn)對(duì)相關(guān)內(nèi)容認(rèn)識(shí)的深化，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)理解的整體化.以解題教學(xué)為切入點(diǎn)的復(fù)習(xí)課教學(xué)，解題的目的是什么，通過教學(xué)學(xué)生要達(dá)成什么目標(biāo)等等.因此，教師選擇的題目應(yīng)該具有強(qiáng)烈的訓(xùn)練意圖和思維標(biāo)志.通過訓(xùn)練，幫助學(xué)生喚起對(duì)典型問題的記憶，聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、思想方法和解題經(jīng)驗(yàn)，形成主動(dòng)歸納的意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和解題經(jīng)驗(yàn)的積累.教師應(yīng)在“微專題”的核心精要處進(jìn)行點(diǎn)撥，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升，思維品質(zhì)的優(yōu)化.如通過例2，學(xué)生強(qiáng)化了局部與整體觀念，加深了對(duì)“設(shè)而不求”方法的理解，提高了思維的廣度與深度；通過例3證法2，提高學(xué)生的估算意識(shí)、計(jì)算與推理能力.通過例4，學(xué)生明晰不等式證明中的邏輯關(guān)系，提高了對(duì)代數(shù)變形的理解（因何而變，變向何方，如何調(diào)整）等.又如，2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第21題：設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

第（2）問可利用必要性解題策略優(yōu)化解題過程：f（x） >-e1-x在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，即g（x）=ax2-ax-lnx-+e1-x>0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.由g（1）=0，且g（x）為連續(xù)函數(shù)，則存在δ>1使得g（x）在區(qū)間（1，δ）內(nèi)不減，故g′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，由g（x）為連續(xù)函數(shù)知，必有g(shù)（′1）=2a-1≥0，解得a≥.

3.提升理性素養(yǎng)，形成精準(zhǔn)定位

數(shù)學(xué)學(xué)科聚焦思維，特別是邏輯思維、理性思維，理性精神，在培養(yǎng)學(xué)生的理性精神上做主要貢獻(xiàn).數(shù)學(xué)是人類生命高水平活動(dòng)的真實(shí)記錄和表現(xiàn)形式，但離不開感性，但最終要回歸到理性.教學(xué)過程中，先有感性后有理性更有利于認(rèn)識(shí).精準(zhǔn)是數(shù)學(xué)科學(xué)的主要特征.張奠宙教授認(rèn)為：現(xiàn)代公民的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可以界定為“精準(zhǔn)智能思維與行為的養(yǎng)成”.所謂精準(zhǔn)，包括：“觀測精準(zhǔn)”“量化精準(zhǔn)”“算法精準(zhǔn)”“模型精準(zhǔn)”，以及精準(zhǔn)美學(xué)的欣賞.［2］通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，形成精準(zhǔn)的判斷和決策是學(xué)生理性素養(yǎng)的重要體現(xiàn).如例1第（3）問證法2“f（2）-的得到與應(yīng)用（平均值原理）；例3第（2）問證法2，少數(shù)學(xué)生存在理解困難，教師可用（結(jié)構(gòu)實(shí)體）隱喻（收入多算，支出少算，盈余增加）助其渡過難關(guān).又如題：

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）當(dāng)a≤1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

第（2）問可對(duì)參數(shù)劃分，分別探求f（x）的性質(zhì)，也可用分離參數(shù)法求解則，容易判斷x-2lnx+2>0，進(jìn)而確定函數(shù)g（x）的圖像與性質(zhì)，結(jié)果一目了然.感性有余、理性不足的學(xué)生無視g′（x）的分子中的公因式，反復(fù)構(gòu)建函數(shù)與求導(dǎo)，淪為缺乏數(shù)學(xué)模型的機(jī)械操作；而理性意識(shí)較強(qiáng)的學(xué)生求導(dǎo)時(shí)能聚焦任務(wù)（導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的增加）而不會(huì)產(chǎn)生滑過現(xiàn)象.

1.趙思林，趙緒昌.指向?qū)W生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲取的教學(xué)［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（10）.

2.張奠宙.解放思想，也來說說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬刊），2017（4）.

3.蔣燕.讓高三復(fù)習(xí)從“解題困惑”走向“自主理解”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（1）.