筅江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)周偉偉

透過現(xiàn)象看本質(zhì)，淺談復(fù)習(xí)模擬題的三個(gè)境界

筅江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)周偉偉

王國維先生在《人間詞話》中認(rèn)為：成大事、大學(xué)問者，必須要經(jīng)歷三個(gè)境界.筆者愚見，對于高考復(fù)習(xí)中的模擬題，也需要通過三個(gè)境界的學(xué)習(xí)研究，才算是將高考模擬題的價(jià)值充分利用.第一境界，就是僅僅解決這個(gè)問題；第二境界，是能夠解決與此類似的同類問題；而第三境界，是透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，解決與此題相關(guān)的其他問題.

一、解決原題——昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路

研究高考模擬題首先要找到正確的方法，盡量快速的解決問題，將解題過程仔細(xì)詳盡的呈現(xiàn)出來，讓計(jì)算結(jié)果沒有遺漏，準(zhǔn)確無誤.

例題（2016年北京市高考模擬題）現(xiàn)有一個(gè)全部由正整數(shù)組成的等差數(shù)列｛an｝，前n項(xiàng)和可以用Sn表示.已知等式k-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），請求出常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

思路突破：本題可以采用數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于k-1=S2n-Sn+1，可以分別取n=1，n= 2，n=3，通過得到的三個(gè)等式求出k、a1和d的值，再將所得結(jié)果代入k-1=S2n-Sn+1中進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)過程采用數(shù)k-1=S2n-Sn+1，可以得到k（2An-A+B）2-1=A（2n）2+B（2n）-［A（n+1）2+B（n+1）］，整理之后得到4A2kn2+4Ak（B-A）n+（B-A）2k-1=3An2+（B-2A）n-（A-B），由于此式對于（n∈N*）恒成立，所以等式兩邊對應(yīng)項(xiàng)全部相等，即4A2k=3A，4Ak（B-A）=B-2A，（B-A）2k-1=-（A+B），通過以上三個(gè)學(xué)歸納法的一般方法，由于本文的重點(diǎn)是等式恒成立問題，在此對于數(shù)學(xué)歸納法不再贅述.

利用等式恒成立這一條件來解決此題，根據(jù)題目已知條件，可設(shè)Sn=An2+Bn，那么an=Sn-Sn-1=2An-A+B，S2n= A（2n）2+B（2n），Sn+1=A（n+1）2+B（n+1），將以上三式代入等式可以解出若A、B都為0，雖然滿足等式，但不符合題意，應(yīng)該舍去），所以k=，等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為

二、拓展訓(xùn)練——衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴

數(shù)列中的等式恒成立問題在高考中出現(xiàn)的頻率非常高，同樣類型的題目在其他省市的高考模擬題中也層出不窮，同類型問題的變式訓(xùn)練，讓高考復(fù)習(xí)又提高了一個(gè)境界.通過對數(shù)列問題中的等式恒成立變式訓(xùn)練，可以進(jìn)一步提高復(fù)習(xí)的質(zhì)量.

變式1：已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在等差數(shù)列｛an｝，使得等式Sk2 =（Sk）2.若存在，求出所有的｛an｝；若不存在，請說明理由.

變式2：已知｛bn｝是公比為q的等比數(shù)列，｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，求出所有滿足條件的數(shù)列｛an｝和｛bn｝.

思路點(diǎn)撥：這里的兩道數(shù)列變式題，與原題是屬于同一類型，都是將問題轉(zhuǎn)化為等式恒成立問題.通過題目中的已知條件，設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)相應(yīng)關(guān)系得出相應(yīng)的等式方程，然后根據(jù)各個(gè)項(xiàng)對應(yīng)相等，求出未知數(shù)的值，從而求出數(shù)列的通項(xiàng).

三、深入思考——眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處

等式恒成立問題不僅僅存在于數(shù)列中，在解析幾何中也有等式恒成立的應(yīng)用.在高考復(fù)習(xí)中若能對一道題進(jìn)行更深層次的思考，透過現(xiàn)象看出問題的本質(zhì)，這可以算是高考復(fù)習(xí)的第三層境界，視為最高境界.

變式3：（2016年蘇州市高考模擬題）如圖1所示，有圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2=4.已知P為平面上的點(diǎn)，有無窮多對互相垂直的直線l1和l2經(jīng)過P點(diǎn)，這些直線分別與兩個(gè)圓相交，并且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等，請求出所有滿足以上條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

圖1

思路突破：將P點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（x0，y0），而直線l1可以設(shè)為y-y0=k（x-x0）（k≠0），由于直線l1與直線l2垂直，所以直線l2可以設(shè)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以得到等式，則關(guān)于k的方程-3k-1-kx0+y0=4+5k-x0-ky0或-3k-1-kx0+y0= -（4+5k-x0-ky0）有無窮多個(gè)解，易求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

變式4：（2015年青島市高考模擬題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f（x）=x2+2x+b（x∈R）的圖像與x、y軸有三個(gè)交點(diǎn)，圓C經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

（2）求圓C的方程.

（3）圓C是否經(jīng)過與b的取值無關(guān)的定點(diǎn)？是，請求出所有的定點(diǎn)；否，請說明理由.

思路點(diǎn)撥：對于本題的前兩問，與本文的論點(diǎn)并無關(guān)系，在此不再贅述.對問題（3）進(jìn)行簡單提示，根據(jù)題目中的條件，圓C經(jīng)過的定點(diǎn)與b的取值無關(guān)，也就意味著關(guān)于該定點(diǎn)的等式對于任意實(shí)數(shù)b恒成立，從而又將問題轉(zhuǎn)化為等式恒成立問題，問題自然能夠迎刃而解.

四、反思?xì)w納

通過對等式恒成立問題的深入思考，可以得到諸多啟發(fā).在此筆者將這些啟發(fā)進(jìn)行總結(jié)歸納，與諸位同行共同探討.

1.高考模擬題復(fù)習(xí)的三層境界

高考復(fù)習(xí)中會(huì)碰到各省各市的模擬題，對于這些模擬題若能正確對待，合理利用，必然能夠提高高考復(fù)習(xí)的質(zhì)量.筆者認(rèn)為，對于高考模擬題的訓(xùn)練，需要達(dá)到三個(gè)境界，才能算是恰當(dāng)?shù)氖褂脤氋F的資源.第一層境界就是對原題進(jìn)行透徹分析，解決這個(gè)問題，正如本文中原題呈現(xiàn)環(huán)節(jié)所做的；第二層境界就是對同類型的題目進(jìn)行變式訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)行對比訓(xùn)練，提高復(fù)習(xí)效率；而第三層境界就是透過問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題的核心所在，例如本文中的模擬題，其核心內(nèi)容就是等式恒成立，而等式恒成立不僅僅局限于數(shù)列問題，在高中數(shù)學(xué)的其他方面也多有運(yùn)用，若能通過等式恒成立來對其他問題進(jìn)行一并復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)效果可想而知.

2.透過現(xiàn)象看本質(zhì)，方識“廬山真面目”

對于數(shù)學(xué)問題，需要抓住問題的本質(zhì)，不能被表面的假象所迷惑.許多學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題只能做到從表象到表象，不能抓住問題本質(zhì)，導(dǎo)致解題方法單一，思維能力得不到鍛煉.如果能夠抓住問題的本質(zhì)，就可以一步步將問題抽絲剝繭，緊緊抓住問題的主線，從而解決問題.例如在原題呈現(xiàn)中，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是緊緊抓住k-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*）這個(gè)條件，根據(jù)這個(gè)恒成立條件，得出相應(yīng)的等式方程，從而求出各參數(shù)的值.而在四道變式題中，也是同樣的道理，即使題目的條件迥異，但是只要抓住問題的本質(zhì)——等式恒成立，不斷地往這個(gè)方向靠攏，將各個(gè)條件進(jìn)行糅合，才能事半功倍地解決問題，方能識得“廬山真面目”.

3.抓住題目特殊詞，事半功倍解難題

在高中數(shù)學(xué)中，有些題目中往往會(huì)含有一些特殊詞語，這些特殊詞語往往大有文章可作.抓住那些特殊詞語，對于解題可以說是大有幫助.例如原題呈現(xiàn)中的“對于任意正整數(shù)恒成立”，變式3中的“無窮多”.還有一些情況，并不能一下子就能看出這些特殊詞語，只不過是換了一種說法，例如變式4中的“與b的取值無關(guān)”，仔細(xì)一想不就是“對于任意b都成立”，更體現(xiàn)了透過現(xiàn)象看本質(zhì)的重要性.通過這些特殊詞語，可以自然想到這些問題必然是通過等式恒成立來解決，省去了許多不必要的麻煩.在高考中，考試時(shí)間非常寶貴，若能好好利用這些特殊詞語，必然能夠節(jié)省考試時(shí)間，提高解題效率.

1.胡乾彪.高三的復(fù)習(xí)課可以上的有效［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.

2.楊云.回歸課本是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效途徑［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（11）.

3.徐茂炳.透過現(xiàn)象看本質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（8）.F