項(xiàng)春紅

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求數(shù)學(xué)教學(xué)要著重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、處理數(shù)據(jù)的能力、空間想象能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)信息的表達(dá)和交流能力。而運(yùn)算能力則排在其余諸能力之前。可見，計(jì)算能力對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。本文從通過讓學(xué)生親歷法則的由來，形成規(guī)范運(yùn)算過程，再通過“變式訓(xùn)練”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)深入理解法則，最后讓學(xué)生掌握運(yùn)算學(xué)習(xí)的套路四個(gè)層次展開思考。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算；法則；變式

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0030

在中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，常出現(xiàn)這樣的情況：一些聰明的學(xué)生往往較馬虎、草率，學(xué)習(xí)成績波動(dòng)較大；而一些智力一般的學(xué)生學(xué)習(xí)成績卻較穩(wěn)定，甚至有時(shí)超過比他聰明的學(xué)生。為什么會(huì)出現(xiàn)上述現(xiàn)象？有些學(xué)生或者家長甚至教師把運(yùn)算能力差簡單的歸結(jié)為“粗心”。事實(shí)上，這“粗心”的背后既是基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)造成的后果，也是學(xué)生或教學(xué)習(xí)慣不良的后果。怎樣進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)，筆者從以下幾方面進(jìn)行了思考。

一、讓學(xué)生經(jīng)歷法則的由來過程

在運(yùn)算教學(xué)中，“法則由來”是教學(xué)的核心，它能夠幫助學(xué)生理解算法、掌握算法。筆者主要從以下方面讓學(xué)生經(jīng)歷法則的由來：

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入法則

“學(xué)起于思，思起于疑”。情境創(chuàng)設(shè)能激活或喚醒思維材料的刺激因素，情境創(chuàng)設(shè)能引起學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)他們的主動(dòng)性和積極性，情境能引發(fā)起學(xué)生頭腦中一系列的思維加工活動(dòng)。因此，運(yùn)算法則課的引入就應(yīng)該創(chuàng)設(shè)能引發(fā)認(rèn)知沖突，制造懸念的問題情境，讓學(xué)生欲罷不能，讓學(xué)習(xí)成為一種自我需要，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。

案例1：在引入《乘法公式2》課例時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了如下的問題情境。

師：我校在進(jìn)行校園環(huán)境改造期間，將一塊邊長為（a+b）的正方形草地，分別種上四塊不同花卉（如圖），

請用兩種方式表示這塊花卉現(xiàn)在的面積。

生：（a+b）2；a2+2ab+b2

師：它們之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？為什么？

生：相等。因?yàn)樗鼈兌急硎就粋€(gè)正方形的面積。

師：這位同學(xué)從面積角度驗(yàn)證等式成立，非常好，還有其他驗(yàn)證方法嗎？

生：疑惑。

師：經(jīng)過本課學(xué)習(xí)，我們會(huì)非常容易從運(yùn)算角度去驗(yàn)證這個(gè)等式成立，這就是我們今天將一起探討的課題——《乘法公式》（板書課題）。

[設(shè)計(jì)意圖]問題情境中包含運(yùn)算法則，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生興趣，為自主學(xué)習(xí)營造積極的氛圍。

2. 合作探究，生成法則

前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基認(rèn)為：“兒童在其發(fā)展階段還不能獨(dú)立解決的問題，卻能借助于成年人或具有相關(guān)知識(shí)的同齡人的指導(dǎo)與合作而學(xué)會(huì)解決?！睂τ谧灾鲗W(xué)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、模糊點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，靠學(xué)生獨(dú)立自學(xué)有一定難度，需要借助小組的力量，甚至組間及教師的幫助才能完成，此時(shí)就要組織小組討論交流，班級展示，組間質(zhì)疑與修正，甚至許多時(shí)候需要教師的點(diǎn)撥與引導(dǎo)。

案例2：《解一元二次方程》配方法的課例中，學(xué)生通過因式分解法和直接開平方法的學(xué)習(xí)，對解一元二次方程已經(jīng)有了一定的初步認(rèn)識(shí)，但解所以的方程，還沒有形成理論體系并準(zhǔn)確規(guī)范表達(dá)。對其中的邏輯關(guān)系，隱含的數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)會(huì)還很膚淺。此時(shí)，教師以問題串、問題變形等形式，組織學(xué)生在問題情境中討論、交流，生成法則。

問題1：計(jì)算：x2+2x-3=0

（1）你的結(jié)果是什么？

（2）你是如何計(jì)算的？

（3）你這樣計(jì)算的依據(jù)是什么？

（4）據(jù)此你能歸納“配方法”解一元二次方程的運(yùn)算方法嗎？

問題2：若將問題1變形，你還會(huì)算嗎？再試一試。

計(jì)算：2x2+4x-6=0

（1）你的結(jié)果又是什么？

（2）你又是如何計(jì)算的？你這樣做的依據(jù)又是什么？

（3）由此你能歸納“配方法”解一元二次方程的一般步驟嗎？

（4）在此法則的探究過程中，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？

[設(shè)計(jì)意圖]此環(huán)節(jié)中，教師設(shè)計(jì)一系列層層遞進(jìn)、螺旋上升的問題串，對學(xué)生進(jìn)行“打破沙鍋問到底”的追問，讓學(xué)生思維一直處于不斷攀升中，從特殊到一般，具體到抽象，生成法則。

二、規(guī)范運(yùn)算過程，使學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣

葉圣陶先生說：“教育就是培養(yǎng)習(xí)慣，把良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的需要或傾向，那就是教育的成功”。什么是習(xí)慣呢？它是在一定條件下完成某項(xiàng)活動(dòng)的需要或自動(dòng)化的行為模式，可以通過有意識(shí)的訓(xùn)練形成，也可以無意識(shí)地多次重復(fù)或只經(jīng)歷一次就形成，習(xí)慣一經(jīng)養(yǎng)成，便成自然，難以改變。而“規(guī)范表達(dá)”就是遵照法則，按照必要的解題步驟進(jìn)行敘述和書寫，“規(guī)范表達(dá)”的過程就是強(qiáng)化運(yùn)用法則的過程，學(xué)生在強(qiáng)化訓(xùn)練以后，慢慢地養(yǎng)成了一種習(xí)慣，從而提高了學(xué)生的運(yùn)算能力。

案例3：用配方法《解一元二次方程》

解方程：2x2+4x-6=0

解方程兩邊同時(shí)除以2，得x2+2x-3=0

移項(xiàng)，得x2+2x=3

方程兩邊同時(shí)加上12，得x2+2x+12=12+3，即（x+1）2=4

則x+1=■，或x+1=-■

∴x1=1，x2=-3.

說明：很多學(xué)生嫌麻煩會(huì)把解方程兩邊同時(shí)除以2和移項(xiàng)這兩步同時(shí)進(jìn)行，容易造成符號方面的錯(cuò)誤，方程兩邊同時(shí)加上12時(shí)，學(xué)生喜歡直接寫1，對于比較簡單的問題可以直接寫出，但對于復(fù)雜點(diǎn)的，比如x2+2■x=1就容易出錯(cuò)了，加（■）2還是加3，顯然加（■）2要簡單，并且在后面寫出完全平方式時(shí)也不容易出錯(cuò)。在倒數(shù)第二步時(shí)，學(xué)生往往覺得較簡單直接寫成2，如果這樣的話，很多時(shí)候?qū)W生就會(huì)忘記進(jìn)行開根號了。

“規(guī)范表達(dá)”即需要教師的例題扮演示范，更需要教師對學(xué)生的嚴(yán)格要求，并一以貫之地落實(shí)執(zhí)行，要求督促學(xué)生按規(guī)則計(jì)算、按步驟書寫?！耙?guī)范表達(dá)”能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成按規(guī)定辦事、有序思考的做事習(xí)慣，這些習(xí)慣對學(xué)生的終身發(fā)展都起重要的作用。

三、通過“變式訓(xùn)練”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)深入理解法則

數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變，也就是所謂“萬變不離其宗”。

變式訓(xùn)練是提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，化歸、遷移思維能力和思維靈活性的有效方法之一。

案例4：在《平方根》的課例中，例題：81的平方根是 。

此例題主要是讓學(xué)生理解、掌握平方根的概念.但本節(jié)課還介紹了“正的平方根，負(fù)的平方根這兩個(gè)概念，學(xué)生在剛剛學(xué)習(xí)這幾個(gè)概念時(shí)，往往區(qū)分不開，為了讓學(xué)生加深對幾個(gè)概念的理解，我在例題的基礎(chǔ)上設(shè)置了變式1。

變式1：81的正的平方根是 。81的負(fù)的平方根是 。

通過這個(gè)變式1和例題的對比學(xué)生可以很清晰地理解幾個(gè)概念的聯(lián)系和區(qū)別，加深對概念的內(nèi)化理解。但在應(yīng)用時(shí)學(xué)生對符號式和文字表達(dá)理解不夠深刻，往往到九年級復(fù)習(xí)時(shí)還會(huì)出現(xiàn)理解錯(cuò)誤，因此在變式1的基礎(chǔ)上筆者又出示了變式2。

變式2：■的正的平方根是 。

學(xué)生在解決變式2時(shí)出錯(cuò)率很高，他們把此題錯(cuò)誤地理解成“求81的正的平方根，得到的答案多數(shù)為9”，這正是學(xué)生沒有理解好符號與文字表達(dá)的關(guān)系的具體體現(xiàn)。在學(xué)生出錯(cuò)的基礎(chǔ)上講解，此題要經(jīng)過兩次運(yùn)算，先■算等于9，再算9的正的平方根等于3。學(xué)生聽完講解恍然大悟，理解了自己出錯(cuò)的真正原因，加深了對符號表達(dá)和概念的理解。

接下來，為了鍛煉學(xué)生對概念的靈活掌握和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力筆者又設(shè)置了下面的變式3。

變式3：已知a的平方根是±■，則a= 。

通過這個(gè)變式訓(xùn)練學(xué)生對平方根的概念掌握更加靈活，理解也更加深入。

四、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握運(yùn)算學(xué)習(xí)的套路

在初中數(shù)學(xué)中，涉及較多的運(yùn)算內(nèi)容，這些運(yùn)算內(nèi)容有哪些共同點(diǎn)？基本的學(xué)習(xí)套路是什么？在運(yùn)算教學(xué)中，我們要善于運(yùn)用類比教學(xué)，滲透轉(zhuǎn)化與化歸、分類、數(shù)形結(jié)合等思想，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

案例5：《一元一次不等式》本節(jié)課主要是掌握一元一次不等式的解法。

筆者讓學(xué)生先練習(xí)一道一元一次方程的題目，讓學(xué)生回顧復(fù)習(xí)解一元一次方程的方法。例如，解方程：7x-1=9+2x先讓學(xué)生寫出完整的解題步驟，接著在每一步后提問。

解：移項(xiàng)，得7x-2x=9+1（你的依據(jù)是什么？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？需要注意的是什么？）

合并同類項(xiàng)，得5x=10（你的依據(jù)是什么？）

兩邊同時(shí)除以5，得x=2（你的依據(jù)是什么？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？）

學(xué)生通過討論歸納，根據(jù)的是等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式，等式仍成立，等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍成立，來解一元一次方程.教師進(jìn)一步對學(xué)生啟發(fā)提問：一元一次不等式是否也可以這樣解呢？

解不等式：7x-1>9+2x

解：移項(xiàng)，得7x-2x>9+1

合并同類項(xiàng)，得5x>10兩邊同時(shí)除以5，得x>2

學(xué)生通過類比一元一次方程的解法，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，解出了此方程。接著，教師繼續(xù)提問學(xué)生解一元一次不等式2x-1>9+7x

解：移項(xiàng)，得2x-7x>9+1

合并同類項(xiàng)，得-5x>10

兩邊同時(shí)除以-5，得x<2

經(jīng)過兩次的探究，很多學(xué)生都能解一元一次不等式，但可能還有部分學(xué)生對不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號要改變方向這一不同點(diǎn)未能發(fā)現(xiàn)，但教學(xué)中，我們需要的正是這種數(shù)學(xué)探究方法，在學(xué)生自己的探究下，加上教師的適當(dāng)點(diǎn)撥，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)他們?nèi)菀资韬觯紤]不周的地方。從而突破重難點(diǎn)。

掌握學(xué)習(xí)套路有利于學(xué)生運(yùn)用類比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，并在學(xué)習(xí)過程中潛移默化地學(xué)得數(shù)學(xué)方法，提高學(xué)習(xí)能力，因此，教師應(yīng)在學(xué)習(xí)一種運(yùn)算后，適當(dāng)?shù)貧w納整理學(xué)習(xí)路徑，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供方法引領(lǐng)。

總之，讓學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，有目的、有意識(shí)地探究運(yùn)算法則的形成過程。讓學(xué)生對運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí)由模糊狀態(tài)提升到清晰狀態(tài)，通過學(xué)生對問題的逐步探究，促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)與感悟，提高數(shù)學(xué)思維能力。只有這樣，才能真正做到“知其然，而知其所以然”，從而提高學(xué)生的運(yùn)算素質(zhì)。

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（作者單位：浙江省慶元縣第三中學(xué) 323800）