王學(xué)勇

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 已知函數(shù).

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）討論在上的單調(diào)性.

分析 （1）先利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式等將函數(shù)化為的形式，然后求出的最小正周期與最大值. （2）先根據(jù)所給自變量的取值范圍確定的取值范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解.

解 （1）

-

=sin-， （4分）

故的最小正周期為，最大值為. （6分）

（2）當(dāng)時，. （7分）

從而當(dāng)≤，即時，單調(diào)遞增， （9分）

當(dāng)，即<≤時，單調(diào)遞減. （11分）

綜上可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減. （12分）

滿分心得 （1）寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點的步驟，有則得分，無則沒分，所以得分點步驟一定要寫全. 如第（1）問中只要將的解析式化簡就有分，第（2）問中求出的范圍就有分.

（2）寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點，有則得分，無則沒分，所以在答題時要寫清得分關(guān)鍵點. 如第（1）問中的解析式必須化為的形式，否則無分；第（2）問必須由整體代換求出單調(diào)區(qū)間，不能直接寫出，否則無分.

三角函數(shù)與解三角形

例2 的內(nèi)角所對的邊分別為. 向量與平行.

（1）求；

（2）若，，求的面積.

分析 （1）先利用向量平行列方程，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的方程求解. （2）先利用余弦定理轉(zhuǎn)化為的方程求，再利用三角形面積公式求解；或先利用正弦定理求出角的正弦值，再利用三角形面積公式求解.

解 （1）因為，

所以. （2分）

由正弦定理得，. （3分）

又，從而. （4分）

因為，所以. （6分）

（2）方法一：由余弦定理得，.

而，，，

所以，即. （8分）

因為，所以. （10分）

故的面積為. （12分）

方法二：由正弦定理得，.

從而. （7分）

又由知，，所以. （8分）

故

=. （10分）

所以的面積為. （12分）

滿分心得 （1）寫全得分步驟：如第（1）問中，只要將轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系就得分；第（2）問中，只要利用余弦定理寫出的關(guān)系式就得分，或只要利用正弦定理求出就得分.

（2）寫明得分關(guān)鍵：如第（1）問中，必須寫出由正弦定理化邊為角的過程，否則不得分；第（2）問方法二中，必須寫出的計算過程，不能直接給出結(jié)果，否則不得分.

（3）要注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用規(guī)范：使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程，是解答得分的根本保證. 如第（1）問中，由及A的范圍才能求出的具體值；第（2）問中，由的值不能直接確定的值，而，則的值就唯一確定了.

立體幾何解答題

例3 如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，分別是的中點.

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求證：；

（3）求三棱錐的體積.

分析 （1）利用已知條件將待證轉(zhuǎn)化為證明⊥平面. （2）取的中點，構(gòu)造四邊形，證明其為平行四邊形，從而得證. （3）將題中數(shù)據(jù)代入公式計算即可.

解 （1）證明：在三棱柱中，⊥底面. 所以. （1分）

又因為，

所以. （2分）

又，

所以平面. （3分）

（2）證明：取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G.

因為E，F(xiàn)分別是，的中點，

所以，且. （5分）

因為，且，

所以，且.

所以四邊形為平行四邊形.

所以. （7分）

又因為，，

所以. （8分）

（3）因為，，，

所以. （10分）

所以三棱錐的體積

=×××1×2=. （12分）

滿分心得 （1）寫全得分步驟：如第（1）問中，只要證明就得分；第（2）問中，只要證明且就得分；第（3）問中，只要求出就得分.

（2）寫明得分關(guān)鍵：如第（1）問中，一定要指明，⊥平面，否則不得分；第（2）問中，一定要指明，?平面，?平面，否則不得分.

概率與統(tǒng)計解答題

例4 某企業(yè)為[ 0.028

0.022

0.018

0.004][40 50 60 70 80 90 100][頻率

組距][分?jǐn)?shù)]了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工. 根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100].

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

（3）從評分在[40，60）的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40，50）的概率.

分析 （1）利用頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1，即可求解的值. （2）求出后兩組的頻率和，即為所求. （3）先列舉出所有的基本事件和滿足要求的基本事件，再利用古典概型的概率計算公式求解.

解 （1）因為（0.004++0.018+0.022×2+0.028）×10=1，所以=0.006. （2分）

（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為（0.022+0.018）×10=0.4，

所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4. （4分）

（3）受訪職工中評分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），記為A1，A2，A3； （5分）

受訪職工中評分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），記為B1，B2. （6分）

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}. （10分）

又因為所抽取2人的評分都在[40，50）的結(jié)果有1種，即{B1，B2}， （11分）

故所求的概率為. （12分）

滿分心得 （1）寫全得分步驟：如第（3）問中，只要求出[40，50），[50，60）的人數(shù)就各得1分；只要列出所有可能的結(jié)果就得4分.

（2）寫明得分關(guān)鍵：如第（3）問中，所有基本事件必須列出，所求事件所包含的基本事件必須列出，不能直接寫結(jié)果.

（3）計算準(zhǔn)確是保障：如第（1）問中，0.022對應(yīng)的小矩形有2個，若忽視了此點，結(jié)果肯定錯誤.

數(shù)列解答題

例5 已知數(shù)列滿足（為實數(shù)，且），，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列.

（1）求的值和的通項公式；

（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.

分析 （1）利用方程思想先求解數(shù)列的公差與公比，再寫出相應(yīng)的通項公式；（2）利用錯位相減法直接求解數(shù)列的前幾項和.

解 （1）由已知得，（a3+a4）-（a2+a3）=（a4+a5）-（a3+a4），即a4-a2=a5-a3，

所以a2（q-1）=a3（q-1）. （2分）

又因為q≠1，所以a3=a2=2.

由a3=a1·q得， q=2. （3分）

當(dāng)時，； （4分）

當(dāng)時，. （5分）

所以的通項公式為 （6分）

（2）由（1）得，=，. （7分）

設(shè)的前項和為，

則=1×+2×+…+n×， ①

=1×+2×+…+n×， ② （8分）

①-②得，=1+++…+-

=-=2--， （10分）

整理得，，. （11分）

所以數(shù)列的前項和為

，. （12分）

滿分心得 （1）寫全得分步驟：如第（1）問中，分和兩種情況討論，做出一種得1分；第（2）問中，寫出和的表達(dá)式就得1分.

（2）寫明得分關(guān)鍵：如第（1）問中，必須指明，才有； 第（2）問中，只有兩式相減得出，才能求出，不能直接寫出結(jié)果.

（3）計算正確是得分的保障：如第（2）問中，正確求出-是關(guān)鍵，而此處是同學(xué)們易出錯的地方.