王勇

絕對(duì)值不等式主要涉及絕對(duì)值三角不等式、絕對(duì)值不等式的解法與證明、利用不等式的“恒成立”“能成立”“恰成立”求解參數(shù)的取值范圍等. 下面結(jié)合典型例題對(duì)絕對(duì)值不等式?？碱}型分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用

例1 ，的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

于是，，故所求最小值為3.

答案 C

例2 已知，且，，求證：.

分析 先將寫成，然后利用絕對(duì)值三角不等式求證即可.

解 ，

由絕對(duì)值三角不等式得，

，

即.

點(diǎn)評(píng) 本題將化為，既與已知條件掛鉤，又為利用絕對(duì)值三角不等式創(chuàng)造條件，是一石二鳥之舉.

絕對(duì)值不等式的求解與性質(zhì)

例3 設(shè)不等式的解集為，且，.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的最小值.

解析 （1）因?yàn)?，且?/p>

所以，且.

解得，.

又因?yàn)?，所?

（2）由（1）知，函數(shù).

因?yàn)椋?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.

點(diǎn)評(píng) 本題第（1）問(wèn)求解的關(guān)鍵是根據(jù)元素與集合的關(guān)系得到關(guān)于的兩個(gè)不等式；第（2）問(wèn)需要先明確函數(shù)解析式，再利用絕對(duì)值三角不等式求最小值.

絕對(duì)值不等式的求解與不等式“恒成立”問(wèn)題

例4 設(shè).

（1）求的解集；

（2）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析 （1）由得，

或

或

解得，

所以的解集為

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

由不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立得，

，即.

解得，，或.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng) 本題第（1）問(wèn)利用“零點(diǎn)分段法”求解；第（2）問(wèn)先利用絕對(duì)值三角不等式求出的最大值，再利用不等式恒成立原理得到，最后利用“零點(diǎn)分段法”求解即可.

絕對(duì)值不等式的求解與不等式“有解”問(wèn)題

例5 已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；

（2）若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析 （1）當(dāng)時(shí)，可化為.

①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，；

②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，無(wú)解；

③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，.

故原不等式的解集為.

（2）由“，使得不等式成立”可得， .

又，

故.

解得，.

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng) 本題第（1）問(wèn)用“零點(diǎn)分段法”求解即可；第（2）問(wèn)用到如下原理：一般地，若函數(shù)存在最值，則有實(shí)數(shù)解；有實(shí)數(shù)解；有實(shí)數(shù)解；有實(shí)數(shù)解.

絕對(duì)值不等式的求解與綜合性問(wèn)題

例6 設(shè)實(shí)數(shù)均滿足不等式組

（1）證明：；

（2）比較的大小，并說(shuō)明理由.

解析 （1）解不等式得，

或

解得，.

解不等式得，，

解得，.

所以原不等式組的解集為.

則.

所以，

即

（2），理由如下.

由（1）得，，則.

因?yàn)?/p>

所以，即

點(diǎn)評(píng) 本題將含有絕對(duì)值不等式的解法與證明融為一體，所用技法屬于通性通法，考生應(yīng)切實(shí)掌握. 而不等式證明的基本方法（比較法、綜合法、分析法），考生也應(yīng)熟練掌握，不宜追求深?yuàn)W險(xiǎn)怪.