鄧佳欣+苗毅+朱江

摘要： 傳統(tǒng)信號(hào)處理的采樣率必須滿足香農(nóng)定理。隨著攜帶信息量和系統(tǒng)分辨率的提高，系統(tǒng)帶寬不斷增大，這對(duì)系統(tǒng)傳輸和存儲(chǔ)等帶來(lái)巨大壓力。壓縮感知理論利用信號(hào)內(nèi)在的稀疏性，以低于奈奎斯特采樣率對(duì)其進(jìn)行采樣，顯著降低信號(hào)處理的成本。文章介紹了壓縮感知方法的基本理論和幾類典型稀疏重構(gòu)方法，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析了它們的性能。最后結(jié)合幾個(gè)典型實(shí)例，概述了采用壓縮感知方法解決雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域某些特定工程問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)。

Abstract： Conventional signal processing approaches must follow Shannon's celebrated theorem. As the promotion of information and resolution， the band of system will also increase. The transmission and storage of system is greatly challenged. While compressive sensing theory can sample signal at the rate below Nyquist Sampling frequency to lessen the system cost in signal processing. This paper introduces the basic theory of compressive sensing and several typical sparse recovery methods. The performance of different methods was illustrated through simulation. Via several typical applications in radar， we showed the advantage in dealing with some special radar problem with compressive sensing.

關(guān)鍵詞： 壓縮感知；ISAR成像；DOA估計(jì)；雷達(dá)應(yīng)用

Key words： compression sensing；ISAR imaging；DOA estimation；radar application

中圖分類號(hào)：F273.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）18-0243-03

0 引言

傳統(tǒng)信號(hào)處理必須遵循香農(nóng)采樣定理（采樣率不小于信號(hào)最高頻率的兩倍，即奈奎斯特采樣定理）。隨著信息量的增加和系統(tǒng)分辨率的提高，系統(tǒng)帶寬也不斷提高，這給系統(tǒng)傳輸和存儲(chǔ)等帶來(lái)巨大壓力。壓縮感知理論（CS，Compressed Sensing）[1]于2006年被Donoho等人正式提出。即當(dāng)目標(biāo)信息在某些特征域內(nèi)稀疏分布時(shí)，以低于奈奎斯特采樣率對(duì)其進(jìn)行采樣，可重構(gòu)出原始信號(hào)，降低信號(hào)處理成本。CS理論通過(guò)“測(cè)量矩陣”與 “壓縮采樣”對(duì)高維信號(hào)進(jìn)行降維采樣，將信號(hào)稀疏重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題，這有著非常重要的工程意義。

目前典型的稀疏重構(gòu)方法有三類：基于最優(yōu)化理論的范數(shù)求解[2]，基于貪婪思想[3]，基于統(tǒng)計(jì)理論[4]。其中貪婪類算法運(yùn)算速度最快，其他方法重構(gòu)精度更高。在雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域，利用部分孔徑/稀疏孔徑數(shù)據(jù)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)，大大簡(jiǎn)化了雷達(dá)接收機(jī)的硬件設(shè)計(jì)和存儲(chǔ)資源。在ISAR成像和波達(dá)方向估計(jì)領(lǐng)域，利用壓縮感知模型在降采樣條件下可提高成像分辨率和DOA估計(jì)精度，對(duì)存在稀疏先驗(yàn)的目標(biāo)信號(hào)，利用稀疏重構(gòu)實(shí)現(xiàn)超分辨。

1 壓縮感知理論模型及其重構(gòu)原理

1.1 壓縮感知理論模型

對(duì)于稀疏信號(hào)，x可由K（K<

y=Φx=ΦΨs=Θs（3）

其中Θ=ΦΨ為測(cè)量矩陣（也稱感知矩陣）。對(duì)數(shù)據(jù)的降維操作可以在接收信號(hào)之后，也可以在系統(tǒng)采集過(guò)程中。

利用公式求解稀疏向量s是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，由于M<

1.2 稀疏重構(gòu)的原理

針對(duì)上述問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健精確重構(gòu)的充分條件是：矩陣Θ必須滿足約束等距條件RIP（Restricted Isometry Property）。（K，δ）-RIP條件是指矩陣Θ的所有M×K維子矩陣具有等距特性，也可以理解為Θ中所有M×K維子矩陣的各列近似正交。已驗(yàn)證的測(cè)量矩陣包括高斯矩陣、伯努利矩陣、局部傅里葉矩陣、小波變換、哈達(dá)瑪變換（Hardmard Transform）等[5]。

矩陣Θ滿足RIP條件時(shí)，可通過(guò)觀測(cè)向量y重構(gòu)稀疏度為K的信號(hào)s。以公式為約束，信號(hào)s的l0范數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化問(wèn)題

由求解l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為求解lp范數(shù)，使問(wèn)題的性質(zhì)得到了轉(zhuǎn)化，從而解決該問(wèn)題[3，7]。當(dāng)01時(shí)，lp球是外凸的，圖像與直線的切點(diǎn)必不位于坐標(biāo)軸上（可行域不與坐標(biāo)軸平時(shí)），無(wú)法得到稀疏解?；趌1范數(shù)的稀疏優(yōu)化重構(gòu)，利用觀測(cè)矩陣Φ對(duì)K稀疏度的信號(hào)進(jìn)行m維降維觀測(cè)，若（7）式滿足，則能以超過(guò)1-δ的概率精確重構(gòu)信號(hào)[8]。

其中C是固定常數(shù)，u（Φ，Ψ）表示稀疏字典與觀測(cè)矩陣的相干性，表達(dá)式如下：

u（Φ，Ψ）與前面描述的RIP性質(zhì)以及冗余字典維數(shù)有關(guān)，RIP性質(zhì)越好，字典維數(shù)越低，該值越趨于1，所需的樣本數(shù)越低。從雷達(dá)信號(hào)處理角度來(lái)說(shuō)，字典分的越細(xì)，分辨率越高。CS理論不能無(wú)限制提高分辨率，必須滿足公式（7），否則無(wú)法實(shí)現(xiàn)稀疏重構(gòu)。

2 幾類典型的壓縮感知重構(gòu)方法

2.1 基于子空間追蹤（Subspace Pursuit， SP）的稀疏恢復(fù)方法

SP[3]和OMP方法運(yùn)算速度相當(dāng)，但是OMP算法在字典選取的過(guò)程中無(wú)剔除操作，算法不夠穩(wěn)健，而SP算法在挑選稀疏原子的同時(shí)，對(duì)字典中原子進(jìn)行迭代更新，保證了原子的準(zhǔn)確性，具有和LP優(yōu)化問(wèn)題相當(dāng)?shù)幕謴?fù)精度，是比較常用的一類方法。

2.2 基于平滑l0范數(shù)（SL0）的稀疏恢復(fù)方法

SL0方法[2]利用高斯函數(shù)逼近l0范數(shù)，通過(guò)迭代更新平滑參數(shù)，以逼近l0范數(shù)，SL0方法放寬了對(duì)字典RIP性質(zhì)的要求，表達(dá)式如下：f？滓（s）=exp（-高斯函數(shù)可微，利用最優(yōu)化方法即可求解稀疏重構(gòu)。迭代過(guò)程中，隨著？滓的變小，函數(shù)趨向于l0范數(shù)，逐漸提升精度。

2.3 基于貝葉斯壓縮感知（Bayesian Compressive Sensing， BCS）的稀疏恢復(fù)方法

BCS方法[4]利用目標(biāo)稀疏的先驗(yàn)信息，結(jié)合測(cè)量過(guò)程，得到稀疏矢量的后驗(yàn)概率。假定接收信號(hào)包含方差為？滓2的高斯白噪聲，接收數(shù)據(jù)為

似然分布為

通過(guò)似然函數(shù)，將CS稀疏重構(gòu)轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題。利用Laplace分布表征稀疏特性：

結(jié)合貝葉斯公式，得到后驗(yàn)概率密度。最大化后驗(yàn)概率得到稀疏矢量的估計(jì)值，再利用貝葉斯分析得到稀疏矢量s和？滓完全后驗(yàn)概率分布。

2.4 采用上述方法對(duì)稀疏信號(hào)的重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

假定稀疏矢量s的長(zhǎng)度N=512，其中包含K個(gè)非零值，非零值在s中的位置和幅度是隨機(jī)的。利用隨機(jī)矩陣Φ（M×N）對(duì)該信號(hào)進(jìn)行降維觀測(cè)，其中M=100。采用以上三種方法重構(gòu)結(jié)果如圖2所示。圖2（a）中K=20，三種方法重構(gòu)誤差均小于0.05，其中SP方法速度最快。圖2（b）中K=30，SP方法的重構(gòu)誤差增加，而BCS和SL0方法仍能夠保證較高的重構(gòu)精度?？梢?jiàn)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)精度和運(yùn)算速度需求選擇合適的信號(hào)處理方法。

3 壓縮感知方法在雷達(dá)領(lǐng)域的應(yīng)用

3.1 ISAR成像領(lǐng)域的應(yīng)用

以星載雷達(dá)對(duì)空間目標(biāo)成像為仿真背景，考慮目標(biāo)自旋現(xiàn)象引起的遮擋效應(yīng)，圖3為采用SRMF方法[9]和結(jié)合CS的成像結(jié)果。其中目標(biāo)自標(biāo)角速度ω=8.12π，圖3（a-b）是在觀測(cè)周期L=4和L=8的條件下結(jié)合CS得到的成像結(jié)果。11個(gè)散射點(diǎn)都能夠很好的實(shí)現(xiàn)聚焦。然而，圖3（c-d）所示的SRMF方法僅有部分散射點(diǎn)被恢復(fù)，成像質(zhì)量差于結(jié)合CS的成像結(jié)果。有三方面原因：一是SRMF方法的匹配濾波器旁瓣較高，淹沒(méi)其他散射點(diǎn)，二是只有在觀測(cè)角不被遮擋時(shí)目標(biāo)信號(hào)才能接收到，為了匹配多周期的回波信號(hào)以及實(shí)現(xiàn)快速FFT操作，SRMF方法無(wú)法考慮陰影效應(yīng)。另外，隨著ω提升，多普勒帶寬增加，SRMF方法因多普勒模糊成像結(jié)果變差，然而，利用CS理論可實(shí)現(xiàn)等效采樣，改善冗余字典性質(zhì)，得到更清晰的圖像。

3.2 壓縮感知方法在DOA領(lǐng)域的應(yīng)用

本小節(jié)重點(diǎn)比較傳統(tǒng)DOA估計(jì)方法和基于CS方法的DOA估計(jì)性能三個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到陣元數(shù)為8的均勻線陣上，陣元間距取半波長(zhǎng)，方位角分別為-70°，-20°，60°，其中-70°，-20°相干。CS算法為單快拍，MUSIC算法快拍數(shù)為300。如圖4所示，MUSIC算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)解相干，而對(duì)于CS算法，由于CS理論采集的信息與信號(hào)中的結(jié)構(gòu)和位置相關(guān)，并不受相干的限制，可以實(shí)現(xiàn)相干源的檢測(cè)。同時(shí)CS方法為單快拍，在樣本數(shù)不足時(shí)仍然能夠保持高精度估計(jì)，也是CS算法的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

CS理論打破了傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理，在稀疏信號(hào)模型下，以低于奈奎斯特采樣率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣。通過(guò)ISAR成像和DOA估計(jì)兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例，給出了雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域中結(jié)合CS實(shí)現(xiàn)雷達(dá)功能的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)然，結(jié)合CS理論也存在一些弊端，例如在DOA估計(jì)中，若陣列存在誤差，冗余字典設(shè)計(jì)存在偏差，此時(shí)DOA估計(jì)性能反而不及傳統(tǒng)方法。同時(shí)，在信噪比較低時(shí)，絕大多數(shù)稀疏恢復(fù)方法無(wú)法使用。

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