那景童,徐 馳

(1.大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.北京化工大學(xué) 信息學(xué)院，北京 100029)

基于最大靈敏度的分數(shù)階內(nèi)?？刂破髟O(shè)計

那景童1,徐 馳2

(1.大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.北京化工大學(xué) 信息學(xué)院，北京 100029)

針對分數(shù)階控制器設(shè)計參數(shù)整定復(fù)雜的問題，提出一種基于最大靈敏度的分數(shù)階內(nèi)?？刂破髟O(shè)計方法。采用粒子群優(yōu)化算法對原系統(tǒng)模型進行簡化處理，根據(jù)內(nèi)?？刂圃碓O(shè)計分數(shù)階內(nèi)?？刂破鳎粌H通過一個可調(diào)參數(shù)，實現(xiàn)分數(shù)階內(nèi)?？刂破鞯目焖僬?；通過最大靈敏度指標實現(xiàn)分數(shù)階內(nèi)?？刂破鞯聂敯粽ā７抡娼Y(jié)果表明具有良好的控制品質(zhì)及克服參數(shù)攝動的魯棒性。

分數(shù)階控制；模型簡化；內(nèi)?？刂疲蛔畲箪`敏度

作為傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的拓展，分數(shù)階微積分在控制領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，特別是在分數(shù)階控制器設(shè)計與系統(tǒng)建模方面[1-2]。有關(guān)文獻指出，利用分數(shù)階微積分描述實際系統(tǒng)可以得到更加準確的系統(tǒng)模型，特別是對于熱工系統(tǒng)、粘彈性系統(tǒng)[3]。同時，對于分數(shù)階模型，采用分數(shù)階控制器能夠得到較傳統(tǒng)整數(shù)階控制器更好的控制性能，分數(shù)階控制效果更加細膩[4]。20世紀末，podluny提出了分數(shù)階PID控制器[5]，其一般格式記為PIαDβ。分數(shù)階PIαDβ控制器與傳統(tǒng)PID控制器相比，多了兩個可調(diào)參數(shù)(α,β)，當(dāng)α=β=1時，控制器屬于常規(guī)PID控制器，由于α,β連續(xù)可調(diào)，因此分數(shù)階PIαDβ控制器具有更大的調(diào)節(jié)范圍、更強的魯棒性，為得到更優(yōu)的系統(tǒng)動態(tài)性能創(chuàng)造了條件。但正是可調(diào)參數(shù)的增加增大了控制器參數(shù)的整定難度，文獻[6]提出基于控制系統(tǒng)期望帶寬的IMC-PIαDβ控制器，通過引入內(nèi)?？刂茰蕜t減少了分數(shù)階控制器的整定參數(shù)，但該方法設(shè)計過程中未考慮控制模型參數(shù)變化的情況，需要分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性；當(dāng)系統(tǒng)工作環(huán)境發(fā)生變化時，控制器性能會急劇下降。

針對上述問題，采用粒子群優(yōu)化算法對原被控模型進行簡化，在簡化模型的基礎(chǔ)上將內(nèi)?？刂扑枷胍氲椒謹?shù)階控制器設(shè)計中，利用內(nèi)?？刂圃碛行p少分數(shù)階控制器參數(shù)的整定，并基于最大靈敏度指標實現(xiàn)了控制器的魯棒整定。

1 系統(tǒng)模型簡化和分數(shù)階內(nèi)模控制器設(shè)計

1.1 系統(tǒng)模型簡化

文獻[7]針對分數(shù)階微分算子，采用改進的Oustaloup濾波器進行有理傳遞函數(shù)逼近，得到高階整數(shù)階模型，這使得系統(tǒng)控制器的設(shè)計變得更加復(fù)雜，所以針對分數(shù)階系統(tǒng)進行模型簡化是很有必要的。在模型簡化過程中大部分分數(shù)階模型都可以用式(1)模型結(jié)構(gòu)進行逼近：

(1)

粒子群優(yōu)化(PSO)算法[8]具有較強的全局搜索能力和魯棒性且不需要目標函數(shù)的特征信息，因此本文采用PSO算法進行模型簡化處理。其模型簡化的具體步驟如下：

(1)選取目標函數(shù)。本文所選目標函數(shù)為原系統(tǒng)模型和簡化模型的單位階躍響應(yīng)誤差，即

(2)

式中，n為搜索次數(shù)，y(t)和ym(t)分別為原系統(tǒng)模型和簡化模型的單位階躍響應(yīng)。

(2)確定搜索參數(shù)向量并進行初始化。本文選用簡化模型結(jié)構(gòu)如式(1)，則搜索向量為θ=[k,T,α,L]，對待搜索參數(shù)進行隨機初始化，并隨機產(chǎn)生粒子種群、學(xué)習(xí)因子。本文所選粒子種群為M=35，c1=c2=1.5。

(3)評價每個微粒的位置適應(yīng)值，計算其目標函數(shù)。

(4)對于每個微粒，將其適應(yīng)值與微粒自身所經(jīng)歷過的最好位置(pbest)進行比較，若更好，則將其替換為當(dāng)前的pbest。

(5)對于每個微粒，將其適應(yīng)值與整個群體所經(jīng)歷過的最好位置(gbest)進行比較，若更好，則將其作為整個群體最優(yōu)位置。

(6)截止條件判斷，若符合截止條件則輸出搜索向量，否則返回步驟(3)。

1.2 分數(shù)階內(nèi)模控制器設(shè)計

內(nèi)?？刂剖菍嶋H對象與對象模型相并聯(lián)，控制器取模型的動態(tài)逆，從而滿足閉環(huán)系統(tǒng)性能，并通過添加低通濾波器來增強系統(tǒng)的魯棒性。內(nèi)?？刂频慕Y(jié)構(gòu)如圖1，其中R(s)、Y(s)、D(s)分別為設(shè)定值、系統(tǒng)輸出和外來擾動,U(s)為控制率，Gp(s)和GFo(s)分別為實際被控對象模型和簡化模型。

圖1 內(nèi)?？刂瓶驁D

(3)

分數(shù)階內(nèi)?？刂破髟O(shè)計與內(nèi)模控制類似，主要分為如下兩步：

(1)將簡化模型分解成可逆和不可逆兩部分：

(4)

(5)

(6)

式中，γ是為了保證系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)，τ為濾波器f(s)參數(shù)，也是內(nèi)?？刂浦形ㄒ豢烧{(diào)參數(shù)，減小τ系統(tǒng)動態(tài)性能得到提高但魯棒性變差，增大τ情況正好相反。

2 基于最大靈敏度的分數(shù)階內(nèi)?？刂破鲄?shù)整定

過程控制中，用于控制器設(shè)計的系統(tǒng)模型一般都不夠精確。因此，控制器的設(shè)計應(yīng)考慮對參數(shù)變化的魯棒性[9]?；谏鲜鏊釂栴}考慮，本文利用最大靈敏度Ms來設(shè)計FOIMC控制器(fractionalorderinternalmodelcontrol)。最大靈敏度定義為

(7)式中，C(jω)Gp(jω)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，最大靈敏度是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist曲線與臨界(-1,0)的最短距離的倒數(shù)，其幾何解釋如圖2。

圖2 最大靈敏度幾何解釋

文獻[10]指出，Ms的取值范圍為1.1～2.5且Ms越小系統(tǒng)的魯棒性越強。如圖2，設(shè)相切點為C，則

Gl(jω)=C(jω)Gp(jω)。

(8)

在C點有：

(9)

(10)

式中，θ為過臨界點與C點的直線與負實軸的夾角。若GFo(s)=Gp(s)，由式(3)可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

(11)

令

(12)

將式(11)代入到式(12)可得：

(13)

將式(13)代入到式(9)(10)，利用Matlab中fsolve函數(shù)求解可得到B與Ms的表達式：

(14)

可得濾波器參數(shù)τ與Ms的關(guān)系式：

(15)

再由給定的Ms可以得到濾波器f(s)的時間常數(shù)τ。

3 仿真及結(jié)果分析

考慮分數(shù)階被控對象[11-13]：

(16)

利用本文1.1節(jié)所提PSO優(yōu)化算法對式(16)進行模型簡化，優(yōu)化結(jié)果為

θ=[K,T,α,L]=[0.994 6,6.230 1,1.039 4,0.299 6]。

(17)

因此，可得式(16)的化簡模型為

(18)

針對簡化模型式(18)設(shè)計分數(shù)階內(nèi)?？刂破?，這里取Ms=1.2，由本文2節(jié)控制器設(shè)計步驟可得分數(shù)階內(nèi)模控制器為：

(19)

文獻[11]針對式(18)給出了最優(yōu)分數(shù)階PID控制器為：

(20)

文獻[12]針對式(16)給出的一種分數(shù)階內(nèi)模PID控制器為：

(21)

(22)

分別采用本文方法，文獻[11-13]方法得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3。

圖3 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)對比

從圖3可得，本文設(shè)計的分數(shù)階內(nèi)?？刂破飨啾任墨I[11-13]所提控制器具有上升時間短、穩(wěn)態(tài)誤差小、存在微小超調(diào)，綜合考慮本文所提分數(shù)階內(nèi)?？刂破骶哂辛己玫目刂破焚|(zhì)。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，即：

(23)

此時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)如圖4。為了有效說明本文所提控制器具有更好的控制品質(zhì)和魯棒性，本文選取閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量δ%、調(diào)節(jié)時間、絕對時間誤差積分ITAE作為驗證系統(tǒng)控制品質(zhì)的指標，見表1。由圖3、4和表1可得，本文方法與文獻[11-13]方法相比，都存在微小超調(diào)，綜合考慮本文所提控制器在動態(tài)響應(yīng)和魯棒性方面均具有一定優(yōu)勢。

圖4 模型失配時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對比

方法簡化模型參數(shù)攝動后模型δ%調(diào)節(jié)時間ts/sITAEδ%調(diào)節(jié)時間ts/sITAE本文0.01433.6611.65390.0124.2113.5241文獻[11]0.01367.1092.93150.1837.24101.8423文獻[12]08.03141.63160.1859.12183.4213文獻[13]0.0876.0140.76840.118.0747.6533

4 結(jié) 論

本文針對以往分數(shù)階控制器參數(shù)整定復(fù)雜問題，提出一種基于最大靈敏度的分數(shù)階內(nèi)?？刂破髟O(shè)計方案。利用PSO算法對原系統(tǒng)模型進行簡化處理，然后將內(nèi)模控制思想引入到簡化模型中設(shè)計分數(shù)階內(nèi)?？刂破鳎每刂破鲀H有一個可調(diào)參數(shù)，再通過靈敏度指標Ms推導(dǎo)出控制器唯一

參數(shù)的數(shù)學(xué)表達式。仿真結(jié)果說明文章所提方法是行之有效的。

[1]OLDHAMKB,SPANIERJ.Thefractionalcalculus[J].MathematicalGazette,1974,56(247):396-400.

[2] 朱呈祥, 鄒云. 分數(shù)階控制研究綜述[J]. 控制與決策，2009，24(2):161-169.

[3]CAPONETTOR.Fractionalordersystems:Modelingandcontrolapplications[M].Singapore:WorldScientific,2010:1-4.

[4]MALEKH,LUOY,CHENYQ.Identificationandtuningfractionalorderproportion-integralcontrollersfortimedelayedsystemswithafractionalpole[J].Mechatronics, 2013, 23(7): 746-754.

[5]PODLUBNYI.Fractional-ordersystemsandPIDcontrollers[J].IEEETransonAutomatiControl, 1999,44(1): 208-214.

[6]LiDZ,FANWF,JINQB,etal.AnIMC-PIλDμcontrollerdesignforfractionalcalculussystem[C].Procofthe29thChineseControlConf.Beijing:IEEE, 2010:3581-3585.

[7] 薛定宇. 控制數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社，2007．

[8]BIRGE,B.Aparticleswarmoptimizationtoolboxformatlab[Z].IEEESwarmIntelligenceSymposiumProceedings,2003,April:24-26.

[9]KAYAI.Two-degree-of-freedomIMCstructureandcontrollerdesignforintegratingprocessesbasedongainandphase-marginspecifications[C]∥IEEEProcofControlTheoryandApplications.NewYork:IET, 2004, 151(4): 481-487.

[10]JINQB,LIUQ,WANGQ,etal.PIDcontrollerdesignbasedonthetimedomaininformationofrobustimccontrollerusingmaximumsensitivity[J].ChineseJournalofChemicalEngineering, 2013, 21(5): 529-536.

[11]DASS,PANI,DASS,etal.Improvedmodelreductionandtuningoffractional-orderPIλDμcontrollersforanalyticalruleextractionwithgeneticprogramming[J].ISATrans, 2012, 51(2): 237-261.

[12] 趙志誠，張博，劉志遠,等. 一種分數(shù)階系統(tǒng)內(nèi)模PID控制器設(shè)計方法[J]. 信息與控制，2014,43(2):129-133.

[13] 李大字，劉展，曹嬌．2007 儀表自動化及先進集成技術(shù)大會論文集:基于IMC方法的分數(shù)階系統(tǒng)控制器設(shè)計[C].北京: 儀器儀表學(xué)報雜志社，2007: 362-365．

(責(zé)任編輯 趙環(huán)宇)

A Design of Fractional Order Internal Model Controller Based on Maximum Sensitivity

NA Jing-tong1, XU Chi2

(1.School of Electrical Information, Dalian Jiaotong University, Dalian Liaoning 116028, China;2.School of Information, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China)

With respect to the complexity of fractional order controller parameters tuning, a scheme of maximum sensitivity based fractional order internal controller is proposed. Firstly, the original model is simplified by using particle swam optimization (PSO) algorithm. Secondly, a fractional order controller is designed according to the principle of the internal model control (IMC) based on the simplified model. The proposed controller has only one adjustable parameter, through which the rapid tuning can be achieved. Finally, the robust tuning of the controller parameter is realized using maximum sensitivity index. Simulation results show that this method has good control quality and robustness.

fractional order control; model simplified; internal model control; maximum sensitivity

2016-09-18；最后

2016-11-14

那景童(1989-)，男，遼寧大連人，大連交通大學(xué)電氣信息學(xué)院碩士研究生，主要從事分數(shù)階控制研究。

2096-1383(2017)03-0227-04

TP273

A