何 勇, 徐 博

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 重慶 401331)

半線性橢圓方程Neumann問題的無窮多解

何 勇, 徐 博

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 重慶 401331)

假設(shè)Neumann邊值問題中非線性項是次線性的,利用Ekland變分原理,得到2列無窮多解.

Neumann問題; Ekland變分原理; 次線性; 振蕩; 極小極大方法

1 引言和主要結(jié)果

考慮下述Neumann邊值問題:

(1)

令非線性項f(x,t)是次線性的,即存在g∈Lr(Ω;R+),h∈Lq(Ω;R+)和α∈[0,1]使得

|f(x,t)|≤g(x)|t|α+h(x).

(2)

或者

定理 1 假設(shè)f(x,t)滿足(2)式,進一步假設(shè)

(3)

且

(4)

(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的極小極大型臨界點,且當(dāng)n→∞時，φ(un)→+∞;

推論 1 假設(shè)f(x,t)滿足(2)式,進一步假設(shè)

(5)

且

(6)

則有:

(I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的極小極大型臨界點,且當(dāng)n→∞時,φ(un)→+∞;

注 1 文獻[12]在解決2點邊值問題時,考慮到了條件振蕩,且假設(shè)非線性項是有界的.本文的定理1給出了關(guān)于Neumann邊值問題的新的可解性條件.另一方面，存在泛函F(t,x)滿足定理1的條件但不滿足先前其它文獻中的假設(shè).例如:令α=1/2和

其中j∈L1(Ω;R).

2 定理的證明

令H1(Ω)為有如下等價范數(shù)的Soblev空間

‖u‖L2≤C‖u‖, ‖u‖Lp≤C‖u‖,

其中u∈H1(Ω).

定義H1(Ω)上的泛函φ如下:

其中u∈H1(Ω).在次線性條件(2)下,泛函φ連續(xù)可微且在H1(Ω)上弱下半連續(xù),而且有

其中u,v∈H1(Ω).眾所周知,當(dāng)且僅當(dāng)u是φ的臨界點時，u∈H1(Ω)是問題(1)的解.

φ(u)→+∞.

證明 由條件(2)和H?lder不等式有

令ε=1/4C2,有

其中C2、C3和C4是正常數(shù).由條件(4)和上述引理得證.

定理1的證明 令

并定義

因此,由cn≥M和引理2,對于較大的n,

對于這樣的n,存在Sn上的序列(γk)使得當(dāng)k→∞時

由文獻[14]的定理4.3知:存在H1(Ω)中的序列vk,使得當(dāng)k→∞時有

φ(vk)→cn,

dist(vk,γk([0，1]))→0,

φ′(vk)→0.

現(xiàn)在,證明vk在H1(Ω)是有界的.對于足夠大的k有

且有wk∈γk([0，1])使得

‖vk-wk‖≤1.

此外

由此不等式和引理3有

因此得到定理1的(I)結(jié)論.

對于一個固定的n,定義H1(Ω)的子集Pn如下:

對于u∈Pn有

其中C8、C9和C10為正常數(shù).從而得到φ在Pn中是有界的.

定義

令(uk)是Pn上的極小化序列,即當(dāng)k→∞時,

φ(uk)→un.

由上述不等式知:(uk)在H1(Ω)上有界,故uk中至少存在一個子列是有界的，仍記為uk.假設(shè)

因為φ是弱下半連續(xù)的,所以

由引理2可得

定理1證畢.

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2010 MSC:35R10

(編輯 周 俊)

Infinitely Many Solutions of Neumann Problem for Semilinear Elliptic Equations

HE Yong, XU Bo

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ChongqingUniversityofScienceandTechonology,Chongqing401331)

By applying Ekland’s variational principal, we get two sequences of solutions for the Neumann boundary value problem when the nonlinearity is sublinear.

Neumann problem; Ekeland’s variational principle; sublinear; oscillating; minimax methods

2016-05-13

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1713339)

何 勇(1982—)，男，講師，主要從事概率統(tǒng)計方向的研究,E-mail:heyongmath@163.com

O175.8

A

1001-8395(2017)03-0316-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.007