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        半線性橢圓方程Neumann問題的無窮多解

        2017-06-05 15:09:37勇,
        關(guān)鍵詞:定義

        何 勇, 徐 博

        (重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 重慶 401331)

        半線性橢圓方程Neumann問題的無窮多解

        何 勇, 徐 博

        (重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 重慶 401331)

        假設(shè)Neumann邊值問題中非線性項是次線性的,利用Ekland變分原理,得到2列無窮多解.

        Neumann問題; Ekland變分原理; 次線性; 振蕩; 極小極大方法

        1 引言和主要結(jié)果

        考慮下述Neumann邊值問題:

        (1)

        令非線性項f(x,t)是次線性的,即存在g∈Lr(Ω;R+),h∈Lq(Ω;R+)和α∈[0,1]使得

        |f(x,t)|≤g(x)|t|α+h(x).

        (2)

        或者

        定理 1 假設(shè)f(x,t)滿足(2)式,進一步假設(shè)

        (3)

        (4)

        (I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的極小極大型臨界點,且當(dāng)n→∞時,φ(un)→+∞;

        推論 1 假設(shè)f(x,t)滿足(2)式,進一步假設(shè)

        (5)

        (6)

        則有:

        (I) 存在一列解(un),任意的un都是泛函φ的極小極大型臨界點,且當(dāng)n→∞時,φ(un)→+∞;

        注 1 文獻[12]在解決2點邊值問題時,考慮到了條件振蕩,且假設(shè)非線性項是有界的.本文的定理1給出了關(guān)于Neumann邊值問題的新的可解性條件.另一方面,存在泛函F(t,x)滿足定理1的條件但不滿足先前其它文獻中的假設(shè).例如:令α=1/2和

        其中j∈L1(Ω;R).

        2 定理的證明

        令H1(Ω)為有如下等價范數(shù)的Soblev空間

        ‖u‖L2≤C‖u‖, ‖u‖Lp≤C‖u‖,

        其中u∈H1(Ω).

        定義H1(Ω)上的泛函φ如下:

        其中u∈H1(Ω).在次線性條件(2)下,泛函φ連續(xù)可微且在H1(Ω)上弱下半連續(xù),而且有

        其中u,v∈H1(Ω).眾所周知,當(dāng)且僅當(dāng)u是φ的臨界點時,u∈H1(Ω)是問題(1)的解.

        φ(u)→+∞.

        證明 由條件(2)和H?lder不等式有

        令ε=1/4C2,有

        其中C2、C3和C4是正常數(shù).由條件(4)和上述引理得證.

        定理1的證明 令

        并定義

        因此,由cn≥M和引理2,對于較大的n,

        對于這樣的n,存在Sn上的序列(γk)使得當(dāng)k→∞時

        由文獻[14]的定理4.3知:存在H1(Ω)中的序列vk,使得當(dāng)k→∞時有

        φ(vk)→cn,

        dist(vk,γk([0,1]))→0,

        φ′(vk)→0.

        現(xiàn)在,證明vk在H1(Ω)是有界的.對于足夠大的k有

        且有wk∈γk([0,1])使得

        ‖vk-wk‖≤1.

        此外

        由此不等式和引理3有

        因此得到定理1的(I)結(jié)論.

        對于一個固定的n,定義H1(Ω)的子集Pn如下:

        對于u∈Pn有

        其中C8、C9和C10為正常數(shù).從而得到φ在Pn中是有界的.

        定義

        令(uk)是Pn上的極小化序列,即當(dāng)k→∞時,

        φ(uk)→un.

        由上述不等式知:(uk)在H1(Ω)上有界,故uk中至少存在一個子列是有界的,仍記為uk.假設(shè)

        因為φ是弱下半連續(xù)的,所以

        由引理2可得

        定理1證畢.

        [1] GUPTA C P. Perturbations of second order linear elliptic problems by unbounded nonlinearities[J]. Nonlinear Anal,1982,6(9):919-933.

        [2] IANNACCI R, NKASHAMA M N. Nonliear boundary value problems at resonance[J]. Nonlinear Anal,1987,11(4):455-473.

        [3] KUO C C. On the solvability of a nonliear second-order elliptic equations at resonance[J]. Proc Am Math Soc,1996,124(1):83-87.

        [4] MAWHIN J. Semi-coercive monotone variational problems[J]. Acad Roy Belg Bull CI Sci,1987,73:118-130.

        [5] MITREANU D, PAPAGEORGIOU N S. Existence and multiplicity of solutions for Neumann problems[J]. J Diff Eqns,2007,232(1):1-35.

        [6] RABINOWITZ P H. On a class of functionals invariant under a Znaction[J]. Trans Am Math Soc,1988,310(1):303-311.

        [7] TANG C L. Solvability of Neumann problem for elliptic equations at resonance[J]. Nonlinear Anal,2001,44(3):323-335.

        [8] TANG C L. Some existence theorems for the sublinear Neumann boundary value problem[J]. Nonlinear Anal,2002,48(7):1003-1011.

        [9] TANG C L. Multiple solutions of Neumann problem for elliptic equations[J]. Nonlinear Anal,2003,54(4):637-650.

        [10] TANG C L, WU X P. Existence and multiplicity for solutions of Neumann problem for semilinear elliptic equations[J]. J Math Anal Appl,2003,288(2):660-670.

        [11] TANG C L, WU X P. Multiple solutions of a class of Neumann problem for semilinear elliptic equations[J]. Nonlinear Anal,2005,62(62):455-465.

        [12] HABETS P, MANASEVICH R, ZANOLIN F. A nonlinear boundary value problem with potential oscillating around the first eigenvalue[J]. J Diff Eqns,1995,117(2):428-445.

        [13] EVANS L C. Partial Differential Equations[M]. Providence:Am Math Soc,1998.

        [14] MAWHIN J, WILLEM M. Critical point theory and Hamiltonian systems[C]//Appl Math Sci, 74. New York:Springer-Verlag,1989.

        [15] 頓調(diào)霞,李永祥. 一類三階微分方程的兩點邊值問題的正解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,37(6):810-813.

        [16] 劉瑞寬. 一類奇異三階兩點邊值問題正解的存在性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,37(4):482-486.

        [17] 趙亮,李樹勇,張秀英,等. 一類含連續(xù)分布時滯的隨機Hopfiled神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性和p階矩指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,36(3):1-5.

        2010 MSC:35R10

        (編輯 周 俊)

        Infinitely Many Solutions of Neumann Problem for Semilinear Elliptic Equations

        HE Yong, XU Bo

        (DepartmentofMathematicsandPhysics,ChongqingUniversityofScienceandTechonology,Chongqing401331)

        By applying Ekland’s variational principal, we get two sequences of solutions for the Neumann boundary value problem when the nonlinearity is sublinear.

        Neumann problem; Ekeland’s variational principle; sublinear; oscillating; minimax methods

        2016-05-13

        重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1713339)

        何 勇(1982—),男,講師,主要從事概率統(tǒng)計方向的研究,E-mail:heyongmath@163.com

        O175.8

        A

        1001-8395(2017)03-0316-04

        10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.007

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