甘肅省定西市公園路中學(xué)(743000)

康 軍●

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例談生活與“不定方程”

甘肅省定西市公園路中學(xué)(743000)

康 軍●

不定方程問題大量出現(xiàn)在古代數(shù)學(xué)中，生活游戲中和年齡推算中，它是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.教師在教學(xué)過程中，隨時(shí)都需要用一些貼近生活的數(shù)學(xué)問題來吸引學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在親切、自然的情感體驗(yàn)中感受到數(shù)學(xué)的意義.

生活;不定方程

一、中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“不定方程”

例1 一千五百多年前，中國(guó)民間流傳過這樣的趣題：“每只公雞五文錢，每只母雞三文錢，小雞三只一文錢.用100文錢買100只雞，問買公雞、母雞、小雞各幾只？”

這道題最早出現(xiàn)在五世紀(jì)末中國(guó)數(shù)學(xué)家張邱建所著的《算經(jīng)》一書中，是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)最先進(jìn)的成就之一.關(guān)于這道題還有一段美妙的傳說：“宰相三考張邱建”.當(dāng)時(shí)，張邱建就是運(yùn)用了“不定方程”的知識(shí)解答了此題：

解 用x、y、z分別表示公雞、母雞、小雞的只數(shù)，列出方程：

用加減消元法可得:14x+8y=200,

即：7x+4y=100.

由解的正整數(shù)性可求得四組解：

由此可見，當(dāng)年張邱建可有四種答案，何懼三考.

二、游戲中的“不定方程”

例2 你一定玩過“石頭、剪子、布”的游戲，它與數(shù)學(xué)的聯(lián)系你發(fā)現(xiàn)了嗎？2003年中考中，江蘇淮安市有這樣一道題：“石頭、剪子、布”是同學(xué)們常玩的游戲，現(xiàn)在我們約定：“布”贏“石頭”得9分，“石頭”贏“剪子”得5分，“剪子”贏“布”得2分.在小明和同學(xué)玩游戲的過程中，小明贏了21次，得了108分，其中“剪子”贏“布”7次，聰明的同學(xué)，請(qǐng)利用所學(xué)的知識(shí)求出小明“布”贏“石頭”，“石頭”贏“剪子”各多少次？

這既是一道貼近生活的開放題，又包含競(jìng)賽中“不定方程”的思路和方法，不僅能讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)中，獲得成功的經(jīng)驗(yàn)，而且在這種親切自然的問題情境中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生急切的求解欲望，深切感受到游戲中也有數(shù)學(xué)問題.

借助圖形，理清思路，問題就會(huì)迎刃而解.

解 設(shè)小明布贏石頭x次，則石頭贏剪子(21-7-x)次.可列方程9x+5(14-x)+7×2=108.

∴得x=6,14-x=8.

“布”贏石頭6次，石頭贏剪子8次.

三、余數(shù)問題與“不定方程”

例3 小明的奶奶送來一籃雞蛋，這只籃子只能裝55個(gè)左右的雞蛋.小明3個(gè)一數(shù)，結(jié)果剩下1個(gè)，但忘了數(shù)了多少次，只好重?cái)?shù).他5個(gè)一數(shù)，剩下2個(gè)，可又忘了數(shù)了多少次.他準(zhǔn)備再數(shù)時(shí)，爸爸笑著說：“不用數(shù)了，共有52個(gè).”小明驚訝地問爸爸怎么知道的，你能幫小明的爸爸給小明一個(gè)完整的解釋嗎？

解 設(shè)此籃中共放m個(gè)雞蛋，每3個(gè)數(shù)數(shù)了x次剩1個(gè)；每5個(gè)數(shù)數(shù)了y次剩2個(gè)，

∴y= (3x-1)/5.

①當(dāng)3x-1=50時(shí)，x=17,y=10,則m=3x+1=52;

②當(dāng)3x-1=55時(shí)，x= 56/3(舍去).

∴m只能取52

四、年齡推算時(shí)的“不定方程”

例4 1998年某人的年齡恰好等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字之和，那么他的年齡是多少歲？

于是可得：1998-(1900+10x+y) =10+x+y,

即：11x+2y=88.

問題轉(zhuǎn)化為求二元一次方程的正整數(shù)解.

∵y=(88-11x)/2,其中x只能取0，2，4，6，8，而0≤y≤9，且為整數(shù),

∴只有當(dāng)x=8時(shí)，y=0滿足條件.

∴他出生于1980年，于是他的年齡為18歲.

五、高速公路上的“不定方程”

例5 在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米設(shè)一個(gè)限速標(biāo)志，而且從10千米處開始每隔9千米設(shè)一個(gè)測(cè)速照相標(biāo)志，問第一個(gè)同時(shí)設(shè)置兩種標(biāo)志的地點(diǎn)的公里數(shù)是多少？

∴第一個(gè)同時(shí)設(shè)置標(biāo)志的地點(diǎn)的千米數(shù)是19.

源于生活，蘊(yùn)含“不定方程”的數(shù)學(xué)問題還有很多：古老中國(guó)的“五家共井” 問題，“百馬拉百瓦”問題等.我們可以借助它們充溢的生活情趣，使學(xué)生在濃厚的求知興趣中，情感得以升華，從而收到事半功倍的教育效果.

[1]張景中，任宏碩.走進(jìn)科學(xué)皇后—數(shù)學(xué)趣談[M]. 87-91

[2]中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)社.中考試題研究[M],2005,32-33

[3]周春荔，王中峰.奧林匹克競(jìng)賽解題方法大全[M].山西教育出版社,162-163

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