江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

孫 丹●

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數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想提高創(chuàng)造思維正能量

江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

孫 丹●

本文指出什么是數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)形結(jié)合的原則；數(shù)形結(jié)合的途徑.本文還應(yīng)用五種題型案例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)踐中的應(yīng)用.

轉(zhuǎn)化構(gòu)造；集合中應(yīng)用；圓錐曲線；三角函數(shù)；復(fù)數(shù)；參數(shù)范圍

縱觀科學(xué)、藝術(shù)和技術(shù)發(fā)展，它們的共同基礎(chǔ)都是自然的啟示和人類的感情，或被稱作想象力、創(chuàng)造力，兩者缺一不可.藝術(shù)，如詩(shī)歌、繪畫(huà)、音樂(lè)等，是創(chuàng)作者將對(duì)生命、宇宙、人生的感情通過(guò)藝術(shù)形式的表現(xiàn)喚起人們的意識(shí)或潛意識(shí)中深藏著的已經(jīng)存在的情感；自然科學(xué)，如化學(xué)、物理、生物等，是用數(shù)學(xué)公式或自然定律的方式對(duì)自然界的現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確的抽象.中國(guó)古人常說(shuō)“文章本天成、妙手偶得之”.古人評(píng)價(jià)一個(gè)好的建筑，講“宛若天成”、“巧奪天工”，評(píng)價(jià)一個(gè)好的手法，叫“神來(lái)之筆”，說(shuō)人的思維在瞬間可以“精鶩八極”、“心游萬(wàn)刃”、“思接千載”、“視通萬(wàn)里”，也就是說(shuō)來(lái)源于與宇宙天宇的溝通.北大著名教授朱孝遠(yuǎn)說(shuō)：“我們的創(chuàng)造力，不管它是如何的強(qiáng)大，卻是根基于我們已有的知識(shí)和文化中的.也就是蘊(yùn)藏在我們的歷史之中、時(shí)空坐標(biāo)中，生命的關(guān)照總是在最關(guān)鍵的時(shí)刻，托起人們創(chuàng)新和馴服危機(jī)的想象”.

一、數(shù)形結(jié)合思想

1.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合通過(guò)“以形助教，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，其目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)性和直觀性，數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，二者相輔相成，揚(yáng)長(zhǎng)避短.

數(shù)形結(jié)合本質(zhì)：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì).

2.數(shù)形結(jié)合的原則

(1)等價(jià)性原則.在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo).

(2)雙向性原則.既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)一方面分析在許多時(shí)候是很難行得通的.

(3)簡(jiǎn)單性原則.代數(shù)問(wèn)題運(yùn)用幾何方法，幾何問(wèn)題尋找代數(shù)方法.

3.數(shù)形結(jié)合的途徑

(1)通過(guò)坐標(biāo)系助解.借助于建立平面直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問(wèn)題代數(shù)化.實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān).①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.如：等式(x-2)2+(y-1)2=4.

常見(jiàn)方法有：解析法、三角法和向量法.

(2)通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)形題解

許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化，例如，將a>0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+a·b=a2+b2-2|a||b|cosθ(θ=60°或θ=120°)，與余弦定理溝通，將a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)(或復(fù)數(shù))和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)，等等，這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形(平面的或立體的).另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用.

二、數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)踐中應(yīng)用典例

題型一 在集合中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

例1 設(shè)命題甲：0

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析 將兩個(gè)命題用數(shù)軸表示，如圖所示，從圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件，故選A.

題型二 在圓錐曲線中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

題型三 在三角函數(shù)、復(fù)數(shù)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

題型四 在解析幾何中的參數(shù)范圍中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何中的參數(shù)范圍問(wèn)題，一直是高考的熱門(mén)題型.下面以高考解析幾何有關(guān)范圍問(wèn)題為例，給出幾種常用策略.

根據(jù)含參數(shù)方程表示曲線的幾何特征，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)的范圍.

題型五 常見(jiàn)高考題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

例5 若過(guò)定點(diǎn)M(-1，0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是( ).

除上數(shù)形結(jié)合外，有沒(méi)有其他的解法呢？下面給出本題解答的兩個(gè)新視角.

視角一：線性規(guī)劃

我們知道，在平面內(nèi)，一條直線Ax+By+C=0,把平面分成三部分，直線上的點(diǎn)Ax+By+C=0,在直線兩側(cè)的點(diǎn)分別使Ax+By+C>0或Ax+By+C<0.因此，若一條線段與已知直線有交點(diǎn)，則線段的兩個(gè)端點(diǎn)必在直線的兩側(cè)(或有一點(diǎn)在直線上).把兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入直線方程，得積小于等于0(若不交于端點(diǎn)，則不等于0).

視角二：定比分點(diǎn)

直線與線段的交點(diǎn)必是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)，因此，交點(diǎn)P分線段AB的比λ≥0(當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào)).根據(jù)λ的取值范圍.

可得以下兩種解法：

從上面的分析可以看出，該高考題不僅考查考生數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也考查考生對(duì)問(wèn)題的化歸能力和數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用的能力，是一道好題.

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