江西省井岡山中學(xué)(343600)

俞 凱●

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數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

江西省井岡山中學(xué)(343600)

俞 凱●

數(shù)形結(jié)合的思想就是根據(jù)數(shù)據(jù)與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想體現(xiàn).本文闡述了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的若干應(yīng)用.

數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過這樣一句話：單獨(dú)數(shù)字存在時(shí)形缺少給人以感官上的影響，但是形缺少數(shù)字時(shí)無法精準(zhǔn)的量化標(biāo)準(zhǔn).然而數(shù)形結(jié)合的思想能夠很好的將兩者結(jié)合起來，數(shù)據(jù)不再抽象，圖形不難入微.它在我們中學(xué)的數(shù)學(xué)中通常體現(xiàn)在以下幾個(gè)內(nèi)容：

1．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的位置關(guān)系；

2．函數(shù)與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

3．曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

4．三角函數(shù)；

5．等式或者代數(shù)式有著明顯的幾何意義.

接下來將從這幾個(gè)方面來說明數(shù)形結(jié)合的思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

一、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系

分析 先解每一個(gè)不等式，再根據(jù)結(jié)果判斷數(shù)軸表示的正確方法．

解 由不等式①，得2x>2，解得x>1，

由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2.

∴數(shù)軸表示的正確方法為C，

所以選C．

二、函數(shù)與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

利用數(shù)形結(jié)合思想證明三角函數(shù).

1.證明正(余)弦定理

(2)根據(jù)勾股定理AB2-BE2=AC2-CE2，即c2-(c·cosB)2=b2-(a-c·cosB)2；

三、曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在等差數(shù)列{an}中，若Sm=n，Sn=m(n>m)，求Sm+n的值.

分析 由已知，A(m,n)、B(n,m)是Sn圖象上的兩點(diǎn)，顯然，這兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以，直線AB斜率為-1，從而，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m+n,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m+n,-m-n).設(shè)Sn所在拋物線為y=ax2+bx,因?yàn)锳、B均在此拋物線上，∴am2+bm=n,an2+bn=m.∵n≠m,兩式相減得，a(m+n)+b=-1,兩邊同乘以(m+n)得，a(m+n)2+b(m+n)=-(m+n),即點(diǎn)D在拋物線上，所以，Sm+n=-(m+n).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，方程F(x)=a2不可能有4個(gè)解；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閒′(x)=3a(x2-1)，若x∈(-∞，0]時(shí)，f′(x)=3a(x2-1)，當(dāng)x∈(-1,0]時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(-∞，-1)時(shí)，f′(x)<0，所以當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得極小值f(-1)=2a，又f(0)=0，所以F(x)的圖象如圖(1)所示，從圖象可以看出F(x)=a2不可能有4個(gè)解．

四、等式有幾何意義

解析 (1)由定義可知，

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．

不妨設(shè)x10，

這世界上的所有事物不可能單獨(dú)存在，它們彼此之間存在著直接或者是間接的聯(lián)系.我們要善于聯(lián)想，將一些看似表面沒有關(guān)系的事物利用自己的思維方式方法將它們聯(lián)系在一起.而數(shù)形結(jié)合的思想就是其中的體現(xiàn).中學(xué)正處于思維方法，方式并未完全成型的狀態(tài)所以在中學(xué)階段我們要很好地鍛煉他們的發(fā)散性思維.

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