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        從數(shù)列不等式綜合問題談教學(xué)建議

        2017-06-05 14:52:13江蘇省江陰中等專業(yè)學(xué)校214400
        數(shù)理化解題研究 2017年15期
        關(guān)鍵詞:壓軸本題考查

        江蘇省江陰中等專業(yè)學(xué)校(214400)

        程亞芳●

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        從數(shù)列不等式綜合問題談教學(xué)建議

        江蘇省江陰中等專業(yè)學(xué)校(214400)

        程亞芳●

        數(shù)列不等式一直是區(qū)分學(xué)生綜合能力的壓軸型試題,其在數(shù)列基本思想和不等式放縮運(yùn)用角度上對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的區(qū)分受到命題者的歡迎,合理地掌握一些基本的放縮技巧以及放縮問題中的數(shù)列相關(guān)思想,是數(shù)列不等式問題解決的重要依據(jù).本文從綜合性角度較高的問題談一談數(shù)列不等式綜合問題教學(xué)的一些建議.

        數(shù)列;不等式;綜合;壓軸;數(shù)學(xué);放縮;累乘;累加

        數(shù)列與不等式的結(jié)合一直是中學(xué)數(shù)學(xué)最難的知識之一,很多學(xué)生對其望而興嘆,根本無從下手.在各種教育論壇中,學(xué)生對數(shù)列不等式是這樣認(rèn)識的:看到數(shù)列不等式,我就直接放棄了!根本沒辦法證明!其實(shí),數(shù)列不等式盡管依舊是難點(diǎn)所在,但是其還是有據(jù)可循的,也并不是一味地追求放縮的技巧,從這些問題的背后還是有一定的延續(xù)性和基本知識考查性,值得教師進(jìn)行研究和反思,并在教學(xué)中給出正確的復(fù)習(xí)建議.

        一、放縮思想的滲透

        數(shù)列與不等式的結(jié)合是高考熱點(diǎn)問題,特別是近年來在很多省份成為壓軸的問題.這類問題特別受命題者偏愛,筆者認(rèn)為這與數(shù)列中很多特性緊密相關(guān):如數(shù)列是函數(shù)的特殊模型、高等數(shù)學(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)的思想、“階”的思想等等,這些都可以用來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.因此數(shù)列不等式中以放縮為載體的問題層出不窮.?dāng)?shù)列不等式往往因?yàn)榉趴s而顯得困難無比,這種放縮的度是學(xué)生最難掌控的.但是放縮一般都是有據(jù)可循的,也是在教學(xué)中不斷嘗試和探索才能成功的.

        解析 (1)a1=S1=1, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1.

        由于n=1時(shí)符合公式,∴an=2n-1 (n≥1).

        兩式相減得

        教學(xué)建議:數(shù)列不等式較為常見的放縮僅僅是針對現(xiàn)行的結(jié)論去實(shí)現(xiàn)的,這種綜合性問題的處理還是比較常規(guī)的,如本題中證明Tn<1,可見其通項(xiàng)是較為常規(guī)的等差×等比數(shù)列,典型的錯(cuò)位相減方式可以解決,僅僅針對求解的結(jié)果進(jìn)行了簡單的放縮,是教學(xué)最需要向?qū)W生滲透的基本解決方法.

        所以不等式成立.

        教學(xué)建議:本題以導(dǎo)數(shù)作為切入點(diǎn),轉(zhuǎn)向數(shù)列,求通項(xiàng),然后利用不等式放縮法求數(shù)列的和,在本題中不等式的放縮法應(yīng)用是一個(gè)亮點(diǎn).放縮是處理數(shù)列不等式綜合性問題最基本的一種處理手段,但是放縮常用的手段是需要積累的,需要教師給以學(xué)生歸納,比如常用的放縮技巧如:

        等等.從知識技能來看,上述很多放縮是有一些技巧的,如關(guān)于組合數(shù)的放縮和階乘的放縮等,筆者本身并不贊同所有的技巧都需要掌握,這需要因?qū)W生能力而異,但是盡可能多地了解和掌握,有助于學(xué)生問題解決過程中“眼界”的開拓.

        二、多角度處理的靈活性

        數(shù)列不等式在處理中往往涉及到各種角度的綜合運(yùn)用,依據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)來看,主要是:等比構(gòu)造放縮、等差裂項(xiàng)相消、累加思想使用、累乘思想、數(shù)學(xué)歸納法等手段的使用,數(shù)列不等式放縮型問題正是以上述知識為載體、背景進(jìn)行合理編制,讓遞推關(guān)系式中隱含諸如累乘、累加思想,通過一定的、淺顯的變換讓知識的使用成為現(xiàn)實(shí).這里需要注意的是,技巧已經(jīng)不再是考查最核心的,更多是以思想為載體的考查成為重中之重.筆者給出一個(gè)典型案例:

        總之,較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問題需要教師做好一些教學(xué)的準(zhǔn)備工作,首先是基于常用數(shù)列求和的積累,這是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)一步放縮的前提;其次是掌握一系列基本的放縮常用手段,這是基本放縮的必備條件;最后是給予學(xué)生幾個(gè)主流思想的指導(dǎo),如累加累乘、不動(dòng)點(diǎn)思想、“階”的思想等等滲透.有了扎實(shí)的知識技能,結(jié)合合理的思想引導(dǎo),學(xué)生對于問題解決的方向有了明確的針對,通過一定的訓(xùn)練自然有事倍功半的效果.本文是筆者自身不成熟的一些見解,懇請讀者提出寶貴建議批評指正.

        [1]盧民良.數(shù)列極限數(shù)學(xué)歸納法問題探求[J].中學(xué)教研,2014,3

        [2]張世林,田宏梅.與時(shí)俱進(jìn)的不等式恒成立問題[J].試題研究,2015,11

        [3]周剛強(qiáng).高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的歸因分析及對策研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2012,10

        G632

        B

        1008-0333(2017)15-0002-02

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