吳潔瑩+徐章韜

隨著數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代通訊技術(shù)的快速發(fā)展，社會(huì)對(duì)人們思維水平的要求也越來(lái)越高。思維是人類認(rèn)識(shí)世界的框架，思維是在能力培養(yǎng)的過(guò)程中形成的，從能力上升到思維，是數(shù)學(xué)課程的應(yīng)有之義。實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理成了人們認(rèn)識(shí)世界的三種基本方式。隨著信息化時(shí)代的到來(lái)，發(fā)展計(jì)算思維顯得越發(fā)重要，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的運(yùn)算能力與計(jì)算思維也密切相關(guān)。運(yùn)算是構(gòu)成數(shù)學(xué)抽象的基本要素，是演繹推理的基本形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，故運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。而計(jì)算思維是科學(xué)思維的一部分，對(duì)推動(dòng)人類文明進(jìn)步有著重要的作用。在教育上，要順應(yīng)時(shí)代發(fā)展趨勢(shì)，充分發(fā)揮這種思維方式的育人作用。其實(shí)，學(xué)生在小學(xué)、初中和高中已經(jīng)陸續(xù)接觸過(guò)計(jì)算思維這一概念，只是對(duì)計(jì)算思維具體是什么還比較模糊。在大學(xué)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課中，計(jì)算思維才上升到一個(gè)比較嚴(yán)格、系統(tǒng)的層次。從運(yùn)算能力的培養(yǎng)到計(jì)算思維的形成，就是要實(shí)現(xiàn)思維方式的根本變革，由計(jì)算引出推理，能從計(jì)算的角度思考問(wèn)題，以更好地適應(yīng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展的要求。

運(yùn)算能力與計(jì)算思維

1.運(yùn)算能力

運(yùn)算能力是基本而重要的能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見(jiàn)稿）指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。運(yùn)算過(guò)程主要包括：理解對(duì)象———掌握法則———探究思路———選擇方法———設(shè)計(jì)程序———求得結(jié)果等。數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題?！睌?shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)要求學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，以運(yùn)算為載體促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，形成程序化思考問(wèn)題的品質(zhì)。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是集計(jì)算和推理于一體的能力，當(dāng)計(jì)算能力得到提高之后，推理能力也就自然而然能得到提升。

2.計(jì)算思維

數(shù)學(xué)運(yùn)算是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。人的運(yùn)算能力和計(jì)算思維可以在計(jì)算機(jī)上得到實(shí)現(xiàn)，可以在人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、智能自動(dòng)化等方向上得到印證。從計(jì)算能力到計(jì)算思維的跨躍，是時(shí)代發(fā)展的必然。計(jì)算思維就是基于可計(jì)算的手段，以定量化的方式進(jìn)行的思維過(guò)程。計(jì)算思維與眾多學(xué)科有著密切的聯(lián)系。它是概念化的，不是程序化的；是一種根本技能，不是刻板的技能；是人的一種思維方法，不是計(jì)算機(jī)的思維；它源于數(shù)學(xué)思維。計(jì)算思維可把一個(gè)困難的問(wèn)題按照約簡(jiǎn)、嵌入、轉(zhuǎn)化和仿真的方式演化成如何求解的思維方法，可進(jìn)行多維分析檢查結(jié)果；能對(duì)一個(gè)問(wèn)題建立模型使其易于處理，能處理大量數(shù)據(jù)，能加快其運(yùn)算速度；并且在考慮計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)能力和處理能力的情況下，能得到最簡(jiǎn)單、最容易的執(zhí)行過(guò)程。計(jì)算思維是人類求解問(wèn)題的一條途徑，面向所有人，當(dāng)計(jì)算思維融入人類生活時(shí)，它將作為每個(gè)人解決問(wèn)題的有效工具。目前，美國(guó)學(xué)者普遍把計(jì)算思維定義為“是一種能夠把問(wèn)題及其解決方案表述成可以有效地進(jìn)行信息處理的形式之思維過(guò)程”。數(shù)學(xué)教育中的計(jì)算思維，是指從計(jì)算的角度出發(fā)思考問(wèn)題，把問(wèn)題數(shù)量化，化歸或遞歸為可計(jì)算的問(wèn)題，用數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行推理。在數(shù)學(xué)教育中加強(qiáng)計(jì)算思維的教學(xué)，反映了信息化時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教育的訴求。

3.搭建溝通之橋

張景中院士對(duì)計(jì)算與推理之間的關(guān)系有著十分精辟的論述：計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算，圖形是推理的直觀模型。湖北裴光亞老師也認(rèn)為，計(jì)算是數(shù)學(xué)的當(dāng)然“先行組織者”，計(jì)算是數(shù)學(xué)教學(xué)的支點(diǎn)。對(duì)計(jì)算的認(rèn)識(shí)，不能僅僅局限于計(jì)算技能的掌握，而應(yīng)當(dāng)提高到算法、算理的高度。到此高度之后，人的計(jì)算能力物化到實(shí)物之上，數(shù)學(xué)運(yùn)算才成了計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)?！端惴ɑ暯窍轮袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)分析》（《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》，2013，（2））一文從算法化和算理化對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了知識(shí)分析，認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的算法和深刻的算理，是發(fā)展計(jì)算思維的良好載體。事實(shí)上，以算代證，以計(jì)算拉動(dòng)推理的教材處理方式，已經(jīng)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中得到落實(shí)。自從有了向量法，立體幾何的教育價(jià)值不再被課標(biāo)高度強(qiáng)調(diào)，而是強(qiáng)調(diào)用較高級(jí)的工具處理立體幾何題材。更不必說(shuō)，解析幾何本身就是用代數(shù)的方法處理幾何了。故發(fā)展計(jì)算能力、計(jì)算思維，以計(jì)算帶動(dòng)歐氏演繹式的推理，是一種大的趨勢(shì)?！皡欠椒ā庇米鴺?biāo)和方程解決幾何問(wèn)題，是計(jì)算思維的典型代表。

運(yùn)算能力與計(jì)算思維的區(qū)別在于，計(jì)算思維要求教會(huì)人如何從計(jì)算的角度去思考問(wèn)題，成為一種認(rèn)識(shí)世界的方式和手段，而運(yùn)算能力更多地強(qiáng)調(diào)可程序化地執(zhí)行，是一種外在表現(xiàn)。在處理簡(jiǎn)單問(wèn)題或常規(guī)問(wèn)題上，或許看不出計(jì)算思維和計(jì)算能力的區(qū)別。在一些沒(méi)有固定思考模式或套路的問(wèn)題上，兩者的區(qū)別才顯示出來(lái)了。單墫教授認(rèn)為組合數(shù)學(xué)最能反映解題者對(duì)數(shù)學(xué)的理解，反映他/她的靈活性與創(chuàng)造性。如果把計(jì)算能力升華到計(jì)算思維，組合問(wèn)題也盡在其中了。從組合問(wèn)題入手，發(fā)展計(jì)算思維是一個(gè)切入口。下面看幾個(gè)具體的例子。

還是畢達(dá)哥拉斯那句豪言壯語(yǔ)“萬(wàn)物皆數(shù)”有道理。

既然有了數(shù)，就有了計(jì)算，從計(jì)算出發(fā)思考應(yīng)是一條新路。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算思維將成為我們時(shí)代思維的主要方式和手段。

信息技術(shù)快速發(fā)展，計(jì)算思維是人人需要掌握，處處都要用到的一種根本思考方式。計(jì)算思維不僅能幫助人們解決問(wèn)題，還有助于日常生活的管理以及與他人進(jìn)行交流和互動(dòng)。計(jì)算思維需要從小開(kāi)始培養(yǎng)，由于計(jì)算思維在本質(zhì)上是源于數(shù)學(xué)思維，因此從中小學(xué)強(qiáng)調(diào)的運(yùn)算能力入手訓(xùn)練計(jì)算思維，教會(huì)學(xué)生如何從計(jì)算的角度思考問(wèn)題，如何分析各個(gè)方面的數(shù)量關(guān)系極其重要。故從運(yùn)算能力到計(jì)算思維的升華，是教育教給學(xué)生適應(yīng)未來(lái)生活的福祉。學(xué)科核心素養(yǎng)要素的擬定應(yīng)充分考慮科技發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的巨大影響，雖然中小學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是陳舊的，但其承載的信息卻是要與時(shí)俱進(jìn)的。

（作者單位：華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院）