吳澤民，邊少鋒

（1. 海軍工程大學 導航工程系，武漢 430033；2. 中國人民解放軍91919部隊，黃岡 438000）

基于最小搜索超橢球的GNSS模糊度固定及檢驗方法

吳澤民1,2，邊少鋒1

（1. 海軍工程大學 導航工程系，武漢 430033；2. 中國人民解放軍91919部隊，黃岡 438000）

為進一步簡化GNSS模糊度解算流程，降低計算復雜度，重點提高LAMBDA算法的搜索效率，對模糊度解算作出以下改進：1）模糊度檢驗采用后驗概率檢驗方法，并對其目標函數(shù)進行適當簡化；2）把簡化后的目標函數(shù)嵌入模糊度搜索過程，省去了單獨的模糊度檢驗步驟；3）推導了模糊度空間最小搜索超橢球，把搜索區(qū)域限制在該超橢球中，縮小了搜索范圍，從而大大降低了搜索復雜度。用三組實測數(shù)據(jù)實驗比較了新方法和傳統(tǒng)的 LAMBDA方法，結果顯示新方法搜索復雜度降低普遍在30%左右，最高可接近60%。理論推導和實驗結果均證明了新方法的高效性。

GNSS；LAMBDA；后驗概率檢驗；搜索效率

利用GNSS載波相位觀測量進行精密定位，可以獲得厘米甚至毫米級別的定位精度，廣泛應用于大地測量與導航的各個領域。GNSS精密定位的核心技術是載波相位的模糊度解算，這也是近幾十年GNSS領域的研究熱點之一。

從Teunissen教授提出LAMBDA算法以來，模糊度解算有了一套標準的流程[1]，但仍留下了若干難題需要解決，其中兩個關鍵問題是模糊度空間搜索的復雜度和模糊度檢驗。模糊度搜索復雜度隨模糊度維數(shù)增長呈指數(shù)增加，如何盡量減少其復雜度一直是學界很關注的問題[2-3]。模糊度檢驗曾被視為一個遠未解決的開放問題，缺乏統(tǒng)一的檢驗標準[4-5]。Wu和Bian[6]提出了后驗概率檢驗，并證明所有檢驗方法中，后驗概率檢驗在相同的誤警率下具有最小的漏警率，是理論上的最優(yōu)檢驗方法[6]。本文旨在降低模糊度解算的復雜度，通過把后驗概率檢驗進行適當簡化，嵌入模糊度搜索中，簡化模糊度解算的步驟；同時提出一種模糊度空間內最小超橢球的搜索方法，降低模糊度搜索的復雜度，提高解算效率。

1 GNSS模糊度解算步驟

GNSS精密定位數(shù)學模型可以表述為如下混合整數(shù)模型：

式中：E(·)和D(·)分別表示取期望和方差；y是載波相位與偽碼觀測向量；a是未知的整周模糊度向量；b是未知的實參數(shù)向量，包括基線向量和未完全模型化的電離層、對流層和多徑誤差等；A和B是聯(lián)系未知參數(shù)和觀測量之間的設計矩陣；Qyy是觀測向量y的協(xié)方差矩陣。GNSS模糊度解算可以歸結為三個步驟[7]。第一步，進行標準的加權最小二乘估計，得到未知參數(shù)a和b的實數(shù)解和，及其協(xié)方差矩陣：

第二步，把模糊度實數(shù)解?a映射為整數(shù)解：

模糊度解算的第三步是對所求模糊度整數(shù)解進行假設檢驗，驗證結果的可靠性：

式中：H0和H1分別為零假設和備擇假設；a0是模糊度向量的真值。若通過檢驗，則接受所求的模糊度整數(shù)解，反之則拒絕。Wu和 Bian[6]提出后驗概率檢驗方法，并證明了后驗概率檢驗在相同的誤警率下具有最小的漏警率，是理論上的最優(yōu)檢驗方法。

2 后驗概率檢驗及其簡化

模糊度后驗概率檢驗是利用模糊度整數(shù)解后驗概率的大小來確定是否接受這個解的方法，用數(shù)學語言描述為

式中：P(γ| )η是γ在給定條件η下的條件概率；cp是概率值，表示使用者設定的顯著性水平。后驗概率是Bayes統(tǒng)計理論中的概念，故GNSS后驗概率函數(shù)的推導需要引入 GNSS觀測值模型的抽樣概率和Bayes統(tǒng)計方法，具體推導過程可見文獻[6]。模糊度整數(shù)解的后驗概率函數(shù)為[6]

模糊度后驗概率函數(shù)看似無法計算，因其分母由無窮多項構成。但需要注意的是，由于分母求和項是負指數(shù)形式的，意味著隨著模糊度整數(shù)向量與實數(shù)解?a距離的增大，其值會迅速地衰減，而求和項大部分的值集中在模糊度空間中?a附近的一個小區(qū)域中，所以可以求取這個范圍內的模糊度整數(shù)向量而得到分母的近視值。特別地，本文為了把后驗概率檢驗嵌入模糊度搜索中，將其簡化為只取分母中最大的兩項，此時對模糊度后驗概率檢驗可近似表述為

式中，a1表示模糊度空間中與 ?a距離次近的整數(shù)向量。滿足式(7)的模糊度整數(shù)解被接受，不滿足的則被舍棄。

3 基于最小超橢球的模糊度搜索算法

為降低搜索復雜度，在模糊度搜索之前還應進行降相關變換，而把搜索算法用在降相關后的模糊度空間[9]。為簡化本文符號系統(tǒng)，把降相關后的模糊度協(xié)方差矩陣以及模糊度向量實數(shù)解仍記為和，則搜索空間可表示為

在模糊度解算中，搜索次近向量a1的唯一用途是模糊檢驗。如果完成模糊度檢驗可以不需要模糊度次近向量，則模糊度搜索范圍還可進一步縮小，使搜索復雜度進一步降低?？疾烊裟：日麛?shù)解成功通過后驗概率檢驗，a1需滿足的條件，對后驗概率檢驗的簡化表達式(7)進行適當變形得：

由式(9)知，當且僅當次近整數(shù)向量a1滿足式(9)，才能通過后驗概率檢驗。式(9)存在未知向量，為去除，利用模糊度的Bootstrapping解對式(9)適當放縮。Bootstrapping方法是一種流行的整數(shù)估計方法，它不需要搜索，但求得的解是模糊度整數(shù)向量次優(yōu)解[4]，即Bootstrapping解到模糊度實數(shù)解的距離不小于ILS解。記模糊度的Bootstrapping解為，有

依據(jù)式(9)和(10)，設定2χ大小為

式中，lij為L的元素。則搜索空間用a?的元素表示為

式中，di是D的元素。搜索從模糊度向量的第一個元素a1開始，采用分層搜索方法，每個元素為一層，層層向下搜索，則每個模糊度元素的搜索窗口為[4]

對每一層的搜索窗口，依據(jù)整數(shù)點與歐氏距離，從搜索窗口的中心向兩端做折線式“Z”字形搜索[10]。若所有層搜索結束后，在此范圍內無第二個整數(shù)向量，則不等式(9)成立，直接接受。若有第二個整數(shù)向量a′，且，則不等式(9)不成立，拒絕整數(shù)解；若，則把和a′分別代入式(9)中代替a1和，若不等式成立，接受a′，反之拒絕整數(shù)解。

4 實 驗

搜索格點數(shù)是搜索復雜度的權威的衡量指標[4]，所以本實驗通過比較LAMBDA算法和本文提出的新搜索算法的搜索格點數(shù)目來比較它們的搜索復雜度。實驗基于香港 CORS網(wǎng)的測觀測數(shù)據(jù)組成的三組基線，基線長度分別為5 km、10 km和20 km。三組基線的觀測信息如表1所示。在這三條基線中，利用所觀測的雙頻載波相位與偽碼觀測數(shù)據(jù)，進行逐個歷元獨立模糊度固定實驗。測距碼和載波相位觀測量的標準差分別設置為0.3 m和0.003 m。實驗中，對每個歷元的模糊度實數(shù)解向量在模糊度空間中搜索，以求得整數(shù)解，記錄下每個歷元搜索格點數(shù)目。

表1 三組觀測數(shù)據(jù)信息表Tab. 1 Information of three sets of observation data

三組基線實驗過程中的PDOP值與模糊度維數(shù)變化情況分別如圖1(a)、圖2(a)和圖3(a)所示，可見實驗過程中衛(wèi)星的幾何結構良好；三組實驗中模糊度維數(shù)都在20維以下，分別為：5 km基線8～20維，10 km基線 8～18維，20 km 基線 8～18維。三組實驗中LAMBDA方法和新方法的每個歷元搜索格點數(shù)分別記錄在圖1(b)、圖2(b)和圖3(b)中，三圖的縱坐標均為指數(shù)。由此三圖可以看出，新方法的搜索格點數(shù)普遍小于LAMBDA方法，且新方法不同歷元搜索格點數(shù)多少的差異性比LAMBDA方法小，表明新方法計算復雜度的穩(wěn)定性優(yōu)于LAMBDA方法。對于某些歷元，新方法搜索格點數(shù)甚至比 LAMBDA方法小一個數(shù)量級。為了便于定量分析，在三組實驗中分別把模糊度維數(shù)相同的歷元合并，求出此維數(shù)的平均搜索格點數(shù)，分別列于表2至表4?？梢钥闯觯诓煌S數(shù)歷元中新搜索方法搜索格點數(shù)均大大小于LAMBDA方法，搜索復雜度降低普遍在30%左右，最高可接近60%。

圖1(a) 5 km基線PDOP值和模糊度維數(shù)Fig.1(a) PDOP and ambiguity dimension in 5 km baseline data

圖1(b) 5 km基線LAMBDA方法和新方法搜索格點數(shù)Fig.1(b) Search nods of LAMBDA and new method in 5 km baseline data

圖2(a) 10 km基線PDOP值和模糊度維數(shù)Fig.2(a) PDOP and ambiguity dimension in 10 km baseline data

圖2(b) 10 km基線LAMBDA方法和新方法搜索格點數(shù)Fig.2(b) Search nods of LAMBDA and new method in 10 km baseline data

圖3(a) 20 km基線PDOP值和模糊度維數(shù)Fig.3(a) PDOP and ambiguity dimension in 20 km baseline data

圖3(b) 20 km基線LAMBDA方法和新方法搜索格點數(shù)Fig.3(b) Search nods of LAMBDA and new method in 20 km baseline data

表2 5 km基線實驗新方法和LMABDA方法在不同模糊度維數(shù)下搜索格點數(shù)比較Tab.2 Search nods in different ambiguity dimensions of 5 km baseline data by LAMBDA and new method

表3 10 km基線實驗新方法和LMABDA方法在不同模糊度維數(shù)下搜索格點數(shù)比較Tab.3 Search nods in different ambiguity dimensions of 10 km baseline data by LAMBDA and new method

表4 20 km基線實驗新方法和LMABDA方法在不同模糊度維數(shù)下搜索格點數(shù)比較Tab.4 Search nods in different ambiguity dimensions of 20 km baseline data by LAMBDA and new method

5 結 論

LAMBDA算法因其最高的模糊度解算成功率，得到了廣泛應用。在其標準的GNSS模糊度解算流程中，需要經(jīng)過三個步驟：最小二乘估計、模糊度整數(shù)估計和模糊度檢驗。算法的關鍵和難點在后兩個步驟。本文把模糊度后驗概率檢驗目標函數(shù)適當簡化，嵌入模糊度搜索過程，把模糊度解算簡化為兩個步驟。同時，由設定的后驗概率門限，推導了需要搜索的模糊度空間最小超橢球，進而從搜索開始就把搜索區(qū)域就設定為最小，并一直保持到搜索結束，大幅度降低了搜索的復雜度，從而提高了算法的執(zhí)行效率。值得注意的是，本文方法并未改變LAMBDA算法的目標函數(shù)，因此在提高效率的同時，解算成功率保持不變。

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GNSS ambiguity resolution and validation based on minimum search hyper-ellipsoid

WU Ze-min1,2, BIAN Shao-feng1
(1. Department of Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;
2. Unit 91919 of PLA, Huanggang 438000, China)

In order to simplify the calculation process of GNSS ambiguity resolution, degrade its complexity, and improve the search efficiency of the LAMBDA algorithm, the following aspects of the ambiguity resolution is modified: (1) posterior probability validation method is adopted in ambiguity validation, and its objective function is simplified; (2) this simplified objective function is embedded into the ambiguity search procedure, thus the independent step for testing the ambiguity resolution is eliminated; (3) the minimum search hyper-ellipsoid in the ambiguity space is derived, and the searching area is restricted to within this hyper-ellipsoid, thus the search region is reduced, and corresponding complexity is significantly decreased. Three groups of real observed data are used to compare the traditional LAMBDA method with the new method, and the results show that the computational complexity of the new method is reduced by 30%, sometimes even by 60%, compared with that of the traditional one. Theoretical derivation and experimental results verify the high efficiency of the new method.

GNSS; LAMBDA; posterior probability validation; search efficiency

P228

A

1005-6734(2017)02-0216-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.014

2016-12-24；

2017-03-26

國家自然科學基金項目（41504029，41631072）

吳澤民（1988—），男，博士、工程師，從事衛(wèi)星導航研究。E-mail: wzm_hust@sina.com

聯(lián) 系 人：邊少鋒（1961—），男，教授，博士生導師。E-mail: sfbian@sina.com