滕 飛，王浩偉，陳 瑜，蓋炳良

（海軍航空工程學(xué)院 科研部，煙臺 264001）

加速度計加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法

滕 飛，王浩偉，陳 瑜，蓋炳良

（海軍航空工程學(xué)院 科研部，煙臺 264001）

加速退化試驗廣泛應(yīng)用于加速度計的可靠性評估或壽命預(yù)測，然而加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法的研究不足制約了可靠性評估或壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性。提出了一種基于Wiener退化模型的加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法，利用加速因子不變原則推導(dǎo)退化模型各參數(shù)的變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上建立加速退化模型，從而克服依賴假定進(jìn)行加速退化建模容易造成較大誤差的不足。針對傳統(tǒng)的極大似然估計方法適用性不強的問題，提出了利用fminsearch函數(shù)結(jié)合最小二乘法求解極大似然估計值的方法。針對壽命預(yù)測時無法得到可靠壽命解析式的問題，提出了利用 fzero函數(shù)求取可靠壽命的方法。仿真試驗證明了加速因子不變原則推導(dǎo)結(jié)論的正確性，案例應(yīng)用驗證了所提方法的有效性。研究工作在加速退化建模、參數(shù)估計、壽命預(yù)測三個方面提出了有效的方法，具有一定的工程應(yīng)用價值。

加速退化數(shù)據(jù)；加速因子不變；Wiener退化模型；極大似然估計；可靠壽命

加速度計的功能是測量載體運動時的加速度信息，主要用于各類慣導(dǎo)系統(tǒng)，是慣導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件及壽命薄弱環(huán)節(jié)。加速度計是高精度的機電一體化產(chǎn)品，一般由電路系統(tǒng)、機械結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)材料構(gòu)成，在加速度計工作或長期貯存過程中，某些性能參數(shù)例如標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性不可避免發(fā)生退化，最終會導(dǎo)致產(chǎn)品性能參數(shù)超差[1-3]。

加速度計的主要失效模式為退化失效，可對其性能退化規(guī)律建模能夠預(yù)測出性能指標(biāo)達(dá)到失效閾值的失效時間。Wiener過程由于能夠描述產(chǎn)品退化的不確定性并且具有良好的統(tǒng)計特性，適合用于加速度計的性能退化建模[4-5]。為了提高預(yù)測效率，目前已經(jīng)廣泛利用加速退化試驗技術(shù)快速獲取加速度計的性能退化數(shù)據(jù)，例如文獻(xiàn)[6]開展步進(jìn)溫度應(yīng)力加速退化試驗獲取加速退化數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)[7]開展恒定溫度應(yīng)力加速退化試驗獲取加速退化數(shù)據(jù)。

利用加速退化試驗技術(shù)預(yù)測產(chǎn)品壽命信息的關(guān)鍵之一是要對加速退化數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的統(tǒng)計分析，其中主要包括加速退化建模和參數(shù)估計兩個方面。然而，目前過多依靠主觀假定建立加速退化模型，并且對參數(shù)估計方法也缺少深入研究，這容易導(dǎo)致壽命預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確。為此，本文提出了一種較為客觀、實用的加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法，其特點是基于加速因子不變原則進(jìn)行加速退化建模，結(jié)合Matlab軟件中的相關(guān)函數(shù)實現(xiàn)參數(shù)估計。

1 Wiener退化模型

式中，μ為漂移參數(shù)，σ為擴散參數(shù)，B(·)為標(biāo)準(zhǔn)Brown運動，Λ(t)為時間函數(shù)且Λ(0)=0。

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的CDF。產(chǎn)品的PDF為

2 加速退化建模

2.1 確定與加速應(yīng)力相關(guān)的模型參數(shù)

加速退化數(shù)據(jù)建模的首要問題是要確定出性能退化模型的哪些參數(shù)與加速應(yīng)力相關(guān)，即哪些參數(shù)值會隨著加速應(yīng)力水平發(fā)生改變。然而，目前普遍根據(jù)主觀判斷或工程經(jīng)驗假定哪些參數(shù)與加速應(yīng)力相關(guān)，這容易錯誤建立加速退化模型。為了避免此問題，提出了利用加速因子不變原則推導(dǎo)出退化模型的哪些參數(shù)與加速應(yīng)力相關(guān)的方法。

時，可將Sk相當(dāng)于Sh的加速因子AFk,h定義為

根據(jù)式(7)，能夠推導(dǎo)出以下等效關(guān)系式：

推導(dǎo)過程為

將式(4)代入式(8)并且設(shè)Λ(t)=t，得到：

為了保證AFk,h是一個不隨tk變化的常數(shù)，要求式(10)中tk的系數(shù)項為0：

推導(dǎo)出如下關(guān)系式：

可知形狀參數(shù)Λ與加速應(yīng)力無關(guān)。

2.2 建立相關(guān)參數(shù)的加速模型

假定溫度T為加速應(yīng)力，相關(guān)參數(shù)與加速應(yīng)力之間的變化規(guī)律可利用 Arrhenius加速模型描述。第 k個加速溫度應(yīng)力Tk下的漂移參數(shù)表示為

Tk下的擴散參數(shù)表示為

擴散參數(shù)σ的加速模型為

建立Wiener加速退化模型為

3 參數(shù)估計

3.1 極大似然估計法

傳統(tǒng)求解未知參數(shù)極大似然估計值的方法為，首先由對數(shù)似然函數(shù)獲取各參數(shù)的偏導(dǎo)，然后解出各偏導(dǎo)為0時對應(yīng)的參數(shù)值。對于由加速退化模型建立的似然函數(shù)，未知參數(shù)的偏導(dǎo)表達(dá)式普遍繁瑣，導(dǎo)致求解未知參數(shù)的工作量很大甚至無法解出未知參數(shù)值，因此傳統(tǒng)方法的適用性不強。為避免傳統(tǒng)方法的不足，提出一種利用Matlab軟件中的fminsearch函數(shù)求解極大似然估計值的方法。

從而將求極大值問題轉(zhuǎn)換為求極小值問題；

相比于傳統(tǒng)估計方法，基于fminsearch函數(shù)的極大似然估計方法不受復(fù)雜的似然函數(shù)所局限，適用性較強。然而此方法對參數(shù)初值選取的要求較高，初值設(shè)置不當(dāng)無法獲取最優(yōu)解，因此通常需要多次試設(shè)參數(shù)初值，這在未知參數(shù)數(shù)量較多時會造成較大工作量，例如采用多應(yīng)力加速模型時。如果遇到因參數(shù)初值設(shè)置不當(dāng)無法獲取最優(yōu)解的問題，可利用以下最小二乘法確定參數(shù)初值。

3.2 最小二乘估計法

根據(jù)式(18)(19)，得到：

建立如下矩陣方程：

4 外推常規(guī)應(yīng)力下的可靠性指標(biāo)

產(chǎn)品在T0下的平均壽命為

產(chǎn)品的可靠壽命是實施預(yù)防性維修、延壽等措施的重要參考指標(biāo)，因此工程領(lǐng)域非常重視產(chǎn)品的可靠壽命，然而對于Wiener退化模型，無法獲取可靠壽命的數(shù)學(xué)解析式。文獻(xiàn)[12]利用下式近似計算可靠壽命ξR：

式中，R=1-p為可靠度，zp為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的p分位值。如果想要獲取Rξ的精確解，可利用Matlab軟件中的fzero函數(shù)求解，主要步驟為：

將求可靠壽命問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零值問題；

5 仿真驗證

2.1 節(jié)中通過加速因子不變原則推導(dǎo)出Wiener退化模型的各參數(shù)應(yīng)該滿足式(13)，本節(jié)設(shè)計仿真試驗檢驗式(13)是否正確。仿真模型為

表1 仿真結(jié)果Tab.1 Simulat ion results

6 案例應(yīng)用

表2 Wiener退化模型在各加速應(yīng)力下的參數(shù)估計值Tab.2 Parameter estimates of Wiener degradation model under different stresses

圖1 T1下樣品的退化軌跡Fig.1 Degradation paths of samples underT1

圖2 T2下樣品的退化軌跡Fig.2 Degradation paths of samples underT2

圖3 T3下樣品的退化軌跡Fig.3 Degradation paths of samples underT3

圖4展示了參數(shù)值的外推效果，可見μ及σ的加速模型都較好地擬合了加速應(yīng)力下的參數(shù)估計值。

圖4 參數(shù)值外推效果Fig.4 The extrapolation effect of parameter estimates

圖5 可靠度曲線及95%Boostrap置信區(qū)間Fig.5 Reliability curves and 95% Bootstrap confidence intervals

采用第 4節(jié)中的方法分別求取可靠壽命的近似解和精確解，并建立精確解的95%Bootstrap置信區(qū)間[15]如表3所示。表中的近似解比精確解偏大約2%，采用近似解有樂觀估計產(chǎn)品可靠壽命的風(fēng)險。

表3 可靠壽命的近似解與精確解Tab.3 Approximate and accurate solutions of reliability life

7 結(jié) 論

本文以加速度計加速退化數(shù)據(jù)為對象，提出了一種較為客觀、實用的加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法，其特點是基于加速因子不變原則進(jìn)行加速退化數(shù)據(jù)建模，結(jié)合 Matlab軟件中的相關(guān)函數(shù)實現(xiàn)參數(shù)估計及可靠壽命預(yù)測。主要結(jié)論為：

1）加速退化模型是否合理直接影響可靠性評估結(jié)果的準(zhǔn)確性，加速因子不變原則為確定退化模型各參數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而正確建立加速退化模型提供了一條有效途徑；

3）與傳統(tǒng)的極大似然估計法相比，基于fminsearch函數(shù)的估計方法不受復(fù)雜的似然函數(shù)所局限，配合最小二乘法確定參數(shù)初值，使得此方法適用范圍廣，估計效果好，具備較強的工程使用價值；

4） 基于Wiener退化模型的可靠度函數(shù)容易由逆高斯分布函數(shù)推導(dǎo)出，然而無法獲取可靠壽命的解析式，本文利用 fzero函數(shù)精確求取可靠壽命，為解決類似數(shù)學(xué)問題提供了有益參考。

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Statistical analysis method for accelerated degradation data of accelerometers

TENG Fei, WANG Hao-wei, CHEN Yu, GAI Bing-liang
(Department of Scientific, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

The accelerated degradation testing is extensively applied in the reliability evaluation and lifetime prediction of the accelerometer. To improve the accuracies of evaluation and prediction, a statistical analysis method for accelerated degradation data is proposed based on Wiener degradation model, which utilizes the acceleration factor constant principle to deduce the change rules of model parameters. Based on this, an accelerated degradation model is set up, which overcomes the drawbacks of the traditional assumption-based modeling method. In order to overcome the insufficient applicability problem of the traditional maximum likelihood method, an estimation method using fminsearch function and the least square method is proposed. Since the mathematical expression of the reliability lifetime cannot be obtained, a resolving method using fzero function is given. Simulation test validates the conclusion deduced from the acceleration factor constant principle, and the case study demonstrates the effectiveness of the proposed method. The research works provide effective methods for the accelerated degradation modeling, parameters estimation and lifetime prediction, which can be applied in the engineering application.

accelerated degradation data; acceleration factor constant; Wiener degradation model; maximum likelyhood estimate; reliability lifetime

U666.1；TB114.3

A

1005-6734(2017)02-0275-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.026

2016-12-24；

2017-03-20

國家自然科學(xué)基金（51605487）；山東省自然科學(xué)基金（ZR2016FQ03）；中國博士后科學(xué)基金（2016M592965）

滕飛（1988—），男，博士生，助理工程師，研究方向為裝備延壽試驗技術(shù)。

聯(lián) 系 人：王浩偉（1981—），男，博士后，講師，研究方向為裝備延壽試驗技術(shù)。E-mail: 13705355730@139.com