陳紅梅，劉建娟，程向紅，劉楠嶓

（1. 河南工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院 機(jī)電設(shè)備及測(cè)控實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450001；

2. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096）

不完全測(cè)量系統(tǒng)魯棒SGQKF的傳遞對(duì)準(zhǔn)濾波器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

陳紅梅，劉建娟，程向紅，劉楠嶓

（1. 河南工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院 機(jī)電設(shè)備及測(cè)控實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450001；

2. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096）

針對(duì)復(fù)雜環(huán)境下運(yùn)載體觀測(cè)信息不完全測(cè)量并且存在隨機(jī)干擾不確定的傳遞對(duì)準(zhǔn)問(wèn)題，研究了不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng)的魯棒稀疏網(wǎng)格求積分（H∞-SGQKF）的高斯逼近濾波算法?；诜蔷€性離散系統(tǒng)的最優(yōu)貝葉斯濾波框架和間斷觀測(cè)濾波算法以及不確定性擾動(dòng)噪聲下的 H∞范數(shù)的魯棒 SGQKF算法，給出了不完全測(cè)量的稀疏網(wǎng)格求積分的高斯逼近濾波算法；通過(guò)非線性系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性理論，分析并給出了系統(tǒng)估計(jì)誤差和估計(jì)誤差方差有界的充分條件，同時(shí)給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的不完全測(cè)量時(shí)的丟包率臨界值，證明間斷觀測(cè)條件下的不完全測(cè)量H∞-SGQKF算法是穩(wěn)定的。通過(guò)傳遞對(duì)準(zhǔn)仿真試驗(yàn)和某型激光捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的跑車試驗(yàn)對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法比未采用魯棒的不完全測(cè)量的稀疏網(wǎng)格求積分濾波的傳遞對(duì)準(zhǔn)精度有所提高，說(shuō)明不完全測(cè)量的魯棒稀疏網(wǎng)格求積分濾波算法是正確的、穩(wěn)定的，并且具有魯棒性能。

魯棒稀疏網(wǎng)格求積分卡爾曼；不完全測(cè)量系統(tǒng)；魯棒收斂性分析；傳遞對(duì)準(zhǔn)

運(yùn)載體導(dǎo)航系統(tǒng)采用以慣性導(dǎo)航系統(tǒng)為主，衛(wèi)星導(dǎo)航或天文導(dǎo)航為輔的組合導(dǎo)航，主要涉及高動(dòng)態(tài)傳遞對(duì)準(zhǔn)技術(shù)、黑障區(qū)導(dǎo)航信息補(bǔ)償技術(shù)、高動(dòng)態(tài)下信息快速捕獲技術(shù)、寬帶數(shù)據(jù)鏈通信等關(guān)鍵技術(shù)[1]。稀疏網(wǎng)格求積分卡爾曼濾波可用于非線性線性時(shí)變系統(tǒng)，并要求系統(tǒng)誤差模型準(zhǔn)確，過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲均值為零，且方差已知，這對(duì)應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)載體的傳遞對(duì)準(zhǔn)技術(shù)來(lái)說(shuō)很難實(shí)現(xiàn)[2]。運(yùn)載體的外掛武器和傳感器吊艙一般懸掛在機(jī)翼或機(jī)腹下，而飛行器在高速機(jī)動(dòng)飛行情況下，受空氣氣流、載荷變更、發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲等多種因素的影響，機(jī)體會(huì)發(fā)生時(shí)變結(jié)構(gòu)變形，復(fù)合材料的更多使用和現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)的高機(jī)動(dòng)特性使機(jī)身和機(jī)翼的彈性特性增強(qiáng)[3]，使得子慣導(dǎo)系統(tǒng)的姿態(tài)精度不高，此外存在桿臂時(shí)間延遲誤差等，很難保證建模完全準(zhǔn)確[4]。武器一般在發(fā)射前或發(fā)射中進(jìn)行動(dòng)基座條件下傳遞對(duì)準(zhǔn)，需要借助外界輔助信息(也稱為外部測(cè)量信息)解決SINS誤差積累問(wèn)題。運(yùn)載體始終處于不斷運(yùn)動(dòng)中，飛行器受到各種天文觀測(cè)條件約束，要實(shí)現(xiàn)較好幾何配置關(guān)系的導(dǎo)航星通常比較困難，天文導(dǎo)航定位計(jì)算過(guò)程對(duì)導(dǎo)航選星將引起導(dǎo)航星觀測(cè)信息丟失[5]；同時(shí)，空間環(huán)境電磁信號(hào)密集，信號(hào)干擾嚴(yán)重，衛(wèi)星快速捕獲過(guò)程中接收機(jī)及其天線可能會(huì)受到帶電粒子以及外層空間的電、磁、紫外線、宇宙射線等的影響，觀測(cè)量出現(xiàn)間斷性隨機(jī)丟失或延遲[6]。復(fù)雜環(huán)境下外部量測(cè)信息延遲或丟失等不足的不完全量測(cè)信息將嚴(yán)重影響導(dǎo)航精度。

為確保攻擊精度，運(yùn)載體的定位精度通常要求達(dá)米級(jí)，現(xiàn)有的基于完全量測(cè)的組合導(dǎo)航算法難以完成不確定條件下導(dǎo)航估計(jì)。文獻(xiàn)[7-8]提出一種處理不完全量測(cè)的濾波器：當(dāng)rk=0時(shí)，表示系統(tǒng)獲得實(shí)際觀測(cè)量，觀測(cè)噪聲為Rk；當(dāng)rk=1時(shí)，表示系統(tǒng)未獲得實(shí)際觀測(cè)量，系統(tǒng)用上一時(shí)刻的測(cè)量值來(lái)代替，此時(shí)假定方差為σ2I的虛擬觀測(cè)來(lái)代替觀測(cè)噪聲，當(dāng)方差為σ2I取較大值時(shí)，相當(dāng)于系統(tǒng)只進(jìn)行時(shí)間更新，不進(jìn)行量測(cè)更新，這種方法將會(huì)減低濾波器性能。文獻(xiàn)[9]基于貝葉斯基本框架，給出一套不完全測(cè)量的高斯逼近濾波算法。文獻(xiàn)[10]分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出穩(wěn)定的充分條件。但是針對(duì)組合導(dǎo)航系統(tǒng)隨機(jī)丟包延時(shí)等不完全量測(cè)的狀態(tài)估計(jì)研究，特別針對(duì)同時(shí)存在桿臂撓曲誤差和各種外界干擾噪聲等不確定條件的狀態(tài)估計(jì)研究有待深入，本文將因桿臂撓曲變形引起的桿臂速度誤差作為能量有限的不確定性干擾引入 H∞濾波器，利用不確定性噪聲的魯棒性抑制桿臂速度誤差的影響，根據(jù)魯棒濾波思想[11]和不完全測(cè)量系統(tǒng)高斯逼近[9]算法給出一套不完全測(cè)量的魯棒稀疏網(wǎng)格濾波(H∞-SGQKF)算法,完成傳遞對(duì)準(zhǔn)過(guò)程，并進(jìn)行魯棒算法和穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 不完全測(cè)量系統(tǒng)模型和濾波器設(shè)計(jì)

考慮如下非線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程加性噪聲模型：

不完全測(cè)量系統(tǒng)濾波器接收到的測(cè)量值可通過(guò)如下模型來(lái)描述：

其中：xk∈Rn為n維狀態(tài)向量；zk∈Rm為系統(tǒng)理想測(cè)量輸出；yk∈Rm為系統(tǒng)實(shí)際測(cè)量輸出；wk∈Rp和 vk∈Rm為隨機(jī)過(guò)程噪聲序列和測(cè)量噪聲序列，均為0均值白噪聲，且有

fk(xk)和hk(xk)為已知的非線性系統(tǒng)n維向量函數(shù)和m維向量函數(shù)；{rk∈R，k>1}，為滿足Bernouli分布的序列，其取值為0和1，其不完全測(cè)量概率pk為

貝葉斯估計(jì)不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng) SGQKF的流程如圖1所示。

其中，

不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng)魯棒SGQKF高斯逼近濾波可通過(guò)預(yù)測(cè)和更新完成，具體表示如下。

濾波器初始化（k=0）設(shè)置狀態(tài)和協(xié)方差陣平方根因子的初始值：

圖1 遞歸貝葉斯估計(jì)不完全測(cè)量魯棒SGQKF的流程圖Fig.1 Recursive bayesian estimation incomplete measuring robust SGQKF

1）時(shí)間更新：k=1, 2, …

② 通過(guò)狀態(tài)方程和測(cè)量方程傳播計(jì)算預(yù)測(cè)積分點(diǎn)

這里Np與稀疏網(wǎng)格求積分點(diǎn)集的準(zhǔn)則和系統(tǒng)維數(shù)有關(guān)，Np=2n2+6n+1.

⑤ 測(cè)量方程重新傳播積分點(diǎn)

2）狀態(tài)估計(jì)更新和測(cè)量噪聲更新

2 系統(tǒng)誤差及相關(guān)誤差方差陣

2.1 系統(tǒng)估計(jì)誤差和預(yù)測(cè)誤差

定義系統(tǒng)估計(jì)誤差和預(yù)測(cè)誤差：

其中，δφ2和εφ2為不為零的正實(shí)數(shù)，滿足

將式(38)代入式(34)：

2.2 系統(tǒng)估計(jì)誤差方差陣和預(yù)測(cè)誤差方差陣

利用矩陣求逆運(yùn)引理對(duì)(26)取逆，可得：

再次利用矩陣求逆引理，將式(60)重新表示為

對(duì)比不完全測(cè)量的高斯逼近濾波算法，

定義：

將式(26)(27)(63)代入式(64)整理得到：

由于

結(jié)合式(63)將式(65)重新表示為

其中，

3 系統(tǒng)估計(jì)誤差隨機(jī)有界性

以定理1的形式給出不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng)魯棒稀疏網(wǎng)格求積分高斯濾波算法的穩(wěn)定性充分條件。引入文獻(xiàn)[13]的隨機(jī)過(guò)程有界性引理，證明不完全測(cè)量H∞-SGQKF濾波算法的穩(wěn)定性。

定理 1：廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)(1)～(3)以及不完全測(cè)量高斯濾波器算法(7)～(30)，若滿足如下假設(shè)，則(31)中的估計(jì)誤差x?k|k為均方內(nèi)指數(shù)有界，則算法穩(wěn)定。

結(jié)合定理1給出的穩(wěn)定性充分條件，證明滿足文獻(xiàn)[13]引理的相關(guān)結(jié)論，則系統(tǒng)估計(jì)誤差隨機(jī)有界，證明過(guò)程見附錄1。

4 系統(tǒng)估計(jì)誤差方差陣隨機(jī)有界

證明過(guò)程見附錄2。

5 仿真和物理數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng)魯棒SGQKF濾波性能，設(shè)計(jì)了如下仿真實(shí)驗(yàn)和車載跑車試驗(yàn)。

5.1 數(shù)學(xué)仿真試驗(yàn)

5.1.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

初始位置為北緯31.98°，東經(jīng)118.8°，高度50 km,初始速度為5 Ma，加速度計(jì)常偏為0.1 mg(1σ)，隨機(jī)為0.05 mg/Hz1/2陀螺儀的常值漂移為0.1 (°)/h(1σ)，隨機(jī)噪聲為0.01 (°/h)/Hz1/2，基準(zhǔn)系統(tǒng)的速度精度為0.5 m/s，姿態(tài)更新時(shí)間為5 ms，濾波周期為1 s。桿臂和機(jī)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)采用文獻(xiàn)[15]模型，其中靜態(tài)桿臂為0.15/0.15/ 0.30 m，未建模動(dòng)態(tài)桿臂為8～12 mm，8～14 mm，5～30 mm。仿真時(shí)間為300 s，橫滾角從0°到34°做搖翼機(jī)動(dòng)，俯仰角和航向角從0°到10°做勻速變化。仿真過(guò)程中注入撓曲變形干擾,發(fā)射點(diǎn)慣性坐標(biāo)系(i)作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，采用“速度+姿態(tài)”匹配方式進(jìn)行傳遞對(duì)準(zhǔn)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程不對(duì)主子慣導(dǎo)間的桿臂和撓曲變形進(jìn)行建模，需要對(duì)準(zhǔn)的子慣導(dǎo)系統(tǒng)初始失準(zhǔn)角的俯仰角、航向角和橫滾角方向分別為：50°/20°/30°。不完全測(cè)量概率pk為0.885，給定魯棒因子γ取為3.0，給定矩陣Lk=I。

5.1.2 試驗(yàn)及結(jié)果分析

系統(tǒng)存在外觀測(cè)丟失等不完全測(cè)量且同時(shí)存在桿臂和撓曲等隨機(jī)不確定問(wèn)題時(shí)，分別采用未加入魯棒/增加魯棒的不完全測(cè)量系統(tǒng)，并與系統(tǒng)完全觀測(cè)魯棒估計(jì)進(jìn)行了比較，仿真結(jié)果如圖2所示。黑色點(diǎn)畫線表示系統(tǒng)在模型隨機(jī)不確定時(shí)未加入魯棒的不完全測(cè)量；藍(lán)色實(shí)線表示系統(tǒng)增加了魯棒的不完全測(cè)量，紅色點(diǎn)劃線表示系統(tǒng)完全觀測(cè)。

從圖2中可以看出：由于未加入魯棒方法的不完全測(cè)量的濾波器較依賴精確的數(shù)學(xué)模型和噪聲統(tǒng)計(jì)方法，當(dāng)系統(tǒng)中存在不確定因素時(shí)，傳遞對(duì)準(zhǔn)初期濾波器收斂較緩慢，傳遞對(duì)準(zhǔn)后期，特別是在俯仰角姿態(tài)發(fā)散較大，降低了系統(tǒng)性能；與之對(duì)應(yīng)的增加了魯棒的不完全測(cè)量的濾波器，逼近完全測(cè)量的魯棒濾波器，能夠較好地完成傳遞對(duì)準(zhǔn)。

圖2 飛行器姿態(tài)誤差曲線圖Fig.2 Attitude error comparisons based on Pehlivano?lu

5.2 車載跑車試驗(yàn)

為驗(yàn)證不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng)魯棒SGQK算法和穩(wěn)定性分析在工程應(yīng)用中的可行性，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示。

圖3 跑車實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 Experiment platform of trial vehicle

本文采用某型主慣性測(cè)量組件（IMU），不對(duì)主慣導(dǎo)誤差建模，子慣性測(cè)量組件由三個(gè) 1.0 (°)/h(1σ)精度級(jí)別的陀螺和三個(gè) 0.5 mg(1σ) 精度級(jí)別的加速度計(jì)組成。主慣導(dǎo)提供姿態(tài)和速度作為外部匹配觀測(cè)量，GPS輸出當(dāng)?shù)氐乩硐?t)位置/速度信息作為系統(tǒng)導(dǎo)航真值，GPS的水平定位精度為10 m(1σ)，導(dǎo)航坐標(biāo)系為當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)。

5.2.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

傳遞對(duì)準(zhǔn)濾波模型的狀態(tài)方程可由以下 4個(gè)矢量方程組成[17]：

濾波器的參數(shù)設(shè)置如下：

不完全測(cè)量的隨機(jī)丟包率為85%，即不完全測(cè)量概率pk為0.85，給定魯棒因子γ取為1.0，給定矩陣Lk=I。

5.2.2 試驗(yàn)及結(jié)果分析

針對(duì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)不完全測(cè)量問(wèn)題，采用本文提出的魯棒方法處理不完全測(cè)量系統(tǒng)（藍(lán)色實(shí)線5，方案5），分別與文獻(xiàn)[7-8]未加入魯棒方法（綠色點(diǎn)畫線 2，方案2）/ 增加魯棒濾波方法（品紅色點(diǎn)畫線4，方案4）、文獻(xiàn)[9]處理外觀測(cè)丟失未加魯棒濾波方法（品紅色實(shí)線3方案3）和系統(tǒng)完全觀測(cè)系統(tǒng)（黑色虛線曲線1，方案1）進(jìn)行了比較，跑車實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。系統(tǒng)采用GPS位置提供基準(zhǔn)，采用主子慣導(dǎo)的完全觀測(cè)系統(tǒng)作為姿態(tài)參考基準(zhǔn)。

從圖4(a)～(c)可以看出，采用了貝葉斯框架處理的不完全測(cè)量（方案3和方案5）優(yōu)于文獻(xiàn)Xia的一步預(yù)測(cè)方案（方案2和方案4），不完全測(cè)量系統(tǒng)增加魯棒補(bǔ)償?shù)姆桨?對(duì)姿態(tài)的估計(jì)精度優(yōu)于未加魯棒補(bǔ)償?shù)姆桨?3對(duì)準(zhǔn)精度；從圖 4(d)～(e)中經(jīng)緯度度誤差可以看出：方案2誤差為262.9/145.5 m，方案3的誤差為152.7/61.19 m，方案4的位置誤差為48.98/18.77 m，方案5的位置誤差為15.58/5.17 m，方案1的位置誤差為7.35/3.40 m，方案3處理不完全量測(cè)系統(tǒng)性能優(yōu)于方案2的不完全量測(cè)性能；本文的方案5基于魯棒不完全測(cè)量的傳遞對(duì)準(zhǔn)位置估計(jì)優(yōu)于方案3方法，比未加入魯棒的不完全測(cè)量系統(tǒng)位置誤差更小，逼近系統(tǒng)完全觀測(cè)的方案 1，性能接近完全觀測(cè)系統(tǒng)，較好解決了不完全測(cè)量系統(tǒng)的性能估計(jì)問(wèn)題。

圖4 跑車實(shí)驗(yàn)的位置和失準(zhǔn)角誤差曲線圖Fig.4 Position errors and misalignment comparisons based on vehicle experimental platform

6 結(jié) 論

針對(duì)觀測(cè)信息不完全測(cè)量的隨機(jī)不確定非線性系統(tǒng)，研究了不完全測(cè)量隨機(jī)不確定系統(tǒng)的魯棒稀疏網(wǎng)格求積分的高斯逼近濾波算法；通過(guò)非線性系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性的理論，分析并給出了系統(tǒng)估計(jì)誤差和估計(jì)誤差方差有界的充分條件，同時(shí)給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的不完全測(cè)量丟包率的臨界值；不完全測(cè)量的魯棒稀疏網(wǎng)格求積分的高斯逼近算法是穩(wěn)定的。最后通過(guò)數(shù)值仿真和跑車實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證了算法和穩(wěn)定性的可行性。

附錄1

證明：由文獻(xiàn)[13]引理，首先定義李雅普諾夫函數(shù)

將(75)代入(74)得：

（References）：

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Design and stability analysis of robust SGQKF transfer alignment filter for incomplete measurement system with stochastic disturbance

CHEN Hong-mei, LIU Jian-juan, CHENG Xiang-hong, LIU Nan-bo
(1. Henan University of Technology, College of Electrical Engineering, Mechanical and Electrical Equipment and Measurement and Control Laboratory, Zhengzhou 450001, China; 2. Key Laboratory of Micro Inertial instrument and Advanced Navigation technology, Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A transfer alignment method based on H∞-SGQKF is developed for the nonlinear systems with intermittent measurements and uncertain stochastic perturbations. A novel Gaussian robust filter with intermittent measurements (H∞-SGQKF) is proposed through presenting Gaussian approximate posterior probability density function (PDF) by embedding the Gaussian approximate filter into the robust mechanism of H∞ suboptimal filter. Using the direct method of Lyapunov, we prove that, under some conditions, the proposed filter is an exponential observer, i.e., the dynamics of the estimation error is exponentially stability, and the error covariance matrices are nominal and robust convergent by providing the existence of a super-threshold value for the intermittent measurement probability. At last, a transfer alignment method based on the proposed filter is presented, and the ground vehicle test of missile-board SINS and a numerical example show that the obtained estimator has good estimation performance.

robustness sparse grid Kalman; nonlinear system with intermittent measurements; robust convergence analysis; transfer alignment

U666.1

A

1005-6734(2017)02-0171-11

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.007

2017-01-20；

2017-03-26

國(guó)家自然科學(xué)基金（61374215，61304529）；東南大學(xué)微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（B 類）開放基金資助項(xiàng)目（SEU-MIAN-201702）；河南省教育廳高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（17B590001）；河南工業(yè)大學(xué)博士基金（2016BS005）；河南省科技廳自然科學(xué)項(xiàng)目（172102210214）

陳紅梅（1977—），女，博士，從事導(dǎo)航算法研究。E-mail: chenhongmei_seu@163.com