梁寶華，嚴小燕

巢湖學院 信息工程學院，合肥 238000

有序不可區(qū)分串的屬性約簡增量更新算法*

梁寶華+，嚴小燕

巢湖學院 信息工程學院，合肥 238000

+Corresponding author:E-mail:liangbh426@126.com

LIANG Baohua,YAN Xiaoyan.Incremental updating algorithm for attribute reduction based on ordered indistinguishable string.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(5)：842-850.

屬性約簡;有效元素對;不可區(qū)分串;增量更新

1 引言

為處理模糊、不確定數據，1982年波蘭數學家Pawlak提出了一個強有力的數學工具——粗糙集理論[1]，它是在無需任何先驗知識的前提下處理不精確數據，目前已廣泛應用于數據挖掘、人工智能、金融分析等領域。屬性約簡是粗糙集理論研究的重點內容之一，是指用較少的特征描述事物，且不影響事物的區(qū)分能力，剔除不必要的數據。為了有效地對數據進行約簡，廣大研究者提出了很多屬性約簡算法[2-8]，但多數是針對靜止不變的信息系統?，F實生活中的信息是變化不定的，為了處理多變的信息系統，學者們相繼提出了少數增量更新算法[9-15]。官禮和在文獻[9]中設計了一種利用差別矩陣的啟發(fā)式增量更新算法，可快速得到最小屬性約簡集，但算法在更新差別元素時，未能有效剔除無用的元素，消耗大量的時間資源。胡峰在文獻[10]中設計了基于正區(qū)域的增量更新算法，能夠根據不同元素是否屬于正區(qū)域進行準確定位，根據具體情況作相應處理，有效提高了動態(tài)數據的約簡效率，但未能充分利用更新的核，對加入對象屬于負區(qū)域，或引起數據不一致情況未能很好地處理。劉洋博士在文獻[11]中雖然給出了基于差別矩陣增量更新算法，但因未將決策表進行化簡，導致算法有很高的時間、空間復雜度。增量更新算法，旨在適應變化的數據集。當數據集變化后，無需重新將原來的數據進行約簡，而根據相應變化情況對新增加的數據進行約簡，既保持約簡集的區(qū)分能力，又減少約簡時間。多數差別矩陣的增量更新算法，均是以差別元素最多的屬性為重要屬性，即每次需掃描更多的差別元素；在約簡過程中，傳統算法也未能有效地將已區(qū)分的數據過濾，導致消耗大量的系統資源。

為解決差別矩陣類的增量更新算法存在的不足，本文提出每次選擇最少的元素，且選擇最重要的屬性。在約簡過程中，不斷將基數為1的子劃分有效刪除，加速尋找最小約簡集，有效提高時間效率。本文工作概括如下：（1）借助文獻[3]中用到的方法求簡化決策表及正、負區(qū)域集。（2）根據改進差別矩陣定義，給出有效比較元素對定義，并將每個元素對給予唯一編號。將元素對在條件屬性Ci上取值相同的元素對編號順次連接形成有序表。（3）根據有序表的長短決定屬性的重要性。（4）當有新增對象加入時，根據相應條件，動態(tài)增刪有序表中信息，可快速得到更新后的約簡集。（5）利用實例和實驗驗證算法的正確性和有效性。

2 粗糙集相關概念

決策表S=(U,A,V,f)，其中U為論域，A=C?D，C?D=?，C為條件屬性，D為決策屬性，V是A上的值域；f∶A→V是一個信息函數；?a∈A,x∈U，有f(x,a)∈Va。

定義1對于B?A決定不可分辨關系：

可簡化為U/B；U/B的元素為等價類，含x的等價類記為：

定義2B?A，用U B表示B的所有等價類的集合，用[x]B表示在等價關系B下包含元素x(x∈U)的等價類。對于論域給定決策表S=(U,A,V,f)，對于任意子集X?U和不可分辨關系IND(B)：

定義3條件屬性集C相對于D的正區(qū)域定義為，簡記為UPOS，負區(qū)域為UNEG= U-UPOS。

定義4[12]決策表S的改進差別矩陣M={mij}定義為：

其中，UPOS′簡化決策表中正區(qū)域部分，UNEG′為負區(qū)域部分，簡化決策表是U/C每個子劃分中取第一個元素組成的決策表。

定義5對于簡化決策表S′=(U′,A,V,f)，U′為簡化后的論域，U′=UPOS′?UNEG′,UPOS′、UNEG′分別為簡化決策表中的正區(qū)域和負區(qū)域集，可將相互比較的元素形成元素對Mpair，定義如下：

定理1定義4的改進差別矩陣元素與定義5 Mpair的元素對具有等價性。

證明（1）由改進差別矩陣M及Mpair定義可得，M中的a所對應的樣本x、y組成的元素對一定能在Mpair中找到。

（2）Mpair中的元素也一定能找到M中所對應的(x,y):（以下的a為條件屬性C中的任意一個）。?(x,y)∈Mpair，當x∈UPOS′∧y∈UNEG′時，假設找不到任何 f(x,a)≠f(y,a)，因為 a具有任意性，所以有f(x,C)=f(y,C)，又Mpair中的(x,y)來源于簡化決策，而簡化決策表中無重復元素，即不存在 f(x,C)= f(y,C)，因此假設不成立，也即在M中能找到一個a及相對應的(x,y)，使 f(x,a)≠f(y,a)；同理可得，當x∈UPOS′∧y∈UPOS′∧f(x,D)≠f(y,D)時，也能在M中找到一個a使 f(x,a)≠f(y,a)。

綜合（1）、（2）得M與Mpair元素具有等價性。□

定義6設每個元素對給定一個唯一編號，關于屬性集B的所有不可區(qū)分元素對對應的編號形成的有序序列稱不可區(qū)分序號串：

定理2對于簡化決策表S′=(U′,C?D,V,f)，C為條件屬性，設B?C,b?C-B，則有DisStringB?b?DisStringB。

證明設?s∈DisStringB?b，編號s所對應的兩個比較樣本分別為x和y,根據定義6可知，(x,y)∈Mpair且 f(x,B?b)=f(y,B?b)，因為B?B?b，所以一定有f(x,B)=f(y,B)。又因為 s具有任意性，所以有 s∈DisStringB，因此DisStringB?b?DisStringB。 □

性質1不可區(qū)分序號串DisStringB長度越短，區(qū)分能力越強。

證明根據定義5，可得對于一個給定的決策表，Mpair的元素是一定的?，FDisStringB記錄了條件屬性B關于Mpair中不可區(qū)分的元素對，若DisStringB組成的字符串長度越短，表明越少的樣本在條件屬性B上不可區(qū)分。相反，可區(qū)分的樣本越多，也即可區(qū)分能力越強。 □

3 有序不可區(qū)分串的屬性約簡增量更新算法

3.1 有序不可區(qū)分串的屬性約簡算法

傳統的差別矩陣算法，需消耗大量內存空間存儲差別信息矩陣。在約簡過程中，每次挑選區(qū)分度最高的屬性加入簡約集，但區(qū)分度最高，意味著可區(qū)分串的長度最長，也即每次掃描的元素對越多，造成時間的浪費。鑒于此，為加速尋找最小約簡集，本文以一種有序不可區(qū)分串為依據，每個條件屬性都對應一個不可區(qū)分串，可獨立存放于內存，這樣無需將所有條件屬性的不可區(qū)分串同時存儲于內存，大大減少內存消耗。此外，每次選擇最短的不可區(qū)分串，有效減少了掃描對象，降低了時間、空間消耗。

算法1不可區(qū)分串的屬性約簡算法

算法中，在求MinString?DisStringCi時，因為這兩個串均是有序的，所以時間復雜度為O(m+n),m、n分別為MinString與DisStringCi的元素個數。步驟1時間復雜度為O(|C||U|)；步驟2時間復雜度為O(|UPOS′||U′|)；步驟3時間復雜度可忽略不計；步驟4時間復雜度為O(|C||UPOS′||U′/C|)；步驟5在最好情況下時間復雜度為O(|C|min(|DisStringCi|))+O(|C|min(|DisStringCj|))，因為|DisStringCi|也即是不可區(qū)分串的長度，最壞情況下是O(|UPOS′||U′|)，所以步驟5的時間復雜度為O(|C|min(|DisStringCi|+|DisStringCj|))。總時間復雜度為max(O(|C||UPOS′||U′/C|),O(|C|min(|DisStringCi|+|DisStringCj|)),其中min(|DisStringCi|+|DisStringCj|)為兩個較短的不可區(qū)分串。空間資源消耗主要是用來存儲條件屬性的不可區(qū)分串，由于在實驗時，可將每個條件屬性的DisStringCi依次取出，無需將所有的DisStringCi同時駐留內存，因為DisStringCi的長度不可能超過|UPOS′||U′|，所以空間復雜度為O(|UPOS′||U′|+max(|DisStringCi|))。

3.2 增量更新算法

3.2.1 增量情況分析

現實生活中，信息系統的數據是不斷變化的。當增加數據對象時，如何充分利用前期約簡結果得到新的約簡集，這一問題引起了多數研究者的關注。經研究分析，新增對象與改進差別矩陣相比，存在以下幾種情況（設x為原數據集對象，y為新增對象）：

（1）?x∈UPOS′，對?Ci∈C有 f(x,Ci)=f(y,Ci)：若 f(x,D)=f(y,D)，則Mpair保持不變；

若 f(x,D)≠f(y,D)，將x變?yōu)閁NEG′，則Mpair中刪除所有UNEG′與x組成的元素對，原來UPOS′與x構成的Mpair元素對對應的序號加標記“*”。

證明?x∈UPOS′，對?Ci∈C有 f(x,Ci)=f(y,Ci)，說明數據源中有樣本與y樣本在條件屬性C上取值重復，設此樣本為x，若 f(x,D)=f(y,D)，則完全重復，故加入y不影響約簡結果，Mpair也不變；若 f(x,D)≠f(y,D)，說明條件屬性值相同，但決策值不同，根據負區(qū)域定義可得，因y的加入，使x變?yōu)樨搮^(qū)域，x與y任選其一加入負區(qū)域集，設取x加入。再根據Mpair定義得，負區(qū)域集各元素間無需比較，因x已變?yōu)閁NEG′，所以刪除Mpair中原來與x組成的且?guī)А?”標記的元素對，并將Mpair中原來與x構成的未加標記“*”元素對加標記“*”，以便識別新組建的關系。 □

（2）?x∈UNEG′，對?Ci∈C有 f(x,Ci)=f(y,Ci)，則Mpair不變。

證明根據負區(qū)域定義得y∈UNEG′。根據Mpair定義得y無需與負區(qū)域集的其他元素進行比較，而y與正區(qū)域元素比較的情況與x完全相同，由于x與正區(qū)域元素比較的元素對情況已包含在Mpair中，故Mpair不變。 □

（3）?x∈U′,f(x,C)≠f(y,C),則將 y加入到UPOS′中，改變Mpair的值：

證明因為?x∈U′∧f(x,C)≠f(y,C),所以y在U′中無數據與之相對應，當y加入U′時，由UPOS′定義可得y∈UPOS′。根據Mpair定義得，y與UPOS′中元素構成元素對{(x,y)|x∈UPOS′∧f(x,D)≠f(y,D)}，y與UNEG′中元素構成元素對{(x,y)|x∈UNEG′}，合并得Mpair?{(x,y)|x∈UPOS′∧f(x,D)≠f(y,D)∨x∈UNEG′}。 □

3.2.2 增量更新算法描述

算法2增量更新算法

算法復雜度分析：設新增對象y，在計算步驟1過程中，當 f(x,D)=f(y,D)時，計算用時O(|C||UPOS′|)，當f(x,D)≠f(y,D)時，計算用時O(|C||UPOS′|)+O(|Mpair|)+ min(O(|Reduce|2|DisString(Ci)|)，O(|Mpair|)為定義5元素對的個數，即O(|C||UPOS′||U′|)；步驟2用時為O(|C||UNEG′|)；計算步驟3過程中，因新增對象y，所以更新DisStringCi用時O(|C||UPOS′||U′|)，求最短不可區(qū)分串用時O(|C||UPOS′| |U′|)+min(O(|Reduce|2|DisStringCi|))。因為O(|DisStringCi|)?O(|UPOS′||U′|)，所以算法總的時間復雜度為max(O(|C| |UPOS′||U′|),O(|Reduce|2|UPOS′||U′|))。算法的空間消耗主要用來存儲每個條件屬性的不可區(qū)分串，因為在訪問數據時，可將條件屬性的不可區(qū)分串逐一存取，所以空間復雜度為O(|UPOS′||U′|)。

文獻[13]算法的時間、空間復雜度均為O(|C|2||U′|2)，文獻[14]算法的時間復雜度為max(O(|C||U′|),O(|Reduce|2|UPOS′||U′|))，空間復雜度為O(|C||UPOS′||U′|)。雖然文獻[14]的時間復雜度略低于算法2，實際知識發(fā)現過程中，算法2每次取的是最短的不可區(qū)分串，因此時間消耗上與文獻[14]相差不大，但其空間復雜度大大超過算法2。算法2綜合來看，計算的時間、空間效果要優(yōu)于文獻[13-14]。

4 示例及實驗分析

下面以決策表S=(U,C,D,V,f)為例進行分析，決策表如表1所示。

Table 1 Decision table表1 決策表

4.1 屬性約簡過程示例

簡化決策表S得S′，并根據文獻[3]計算S′的正區(qū)域集數據對象序號依次為{1,2,3,4,5}、負區(qū)域對象有{6}。根據定義4可得到Mpair，并統一編號如表2所示。

Table 2 Element pairs of Mpair表2 Mpair元素對

將U′按條件屬性劃分得：

其中，每個子劃分中帶下劃線部分的元素決策值相等，根據定義5得，具有相同決策值的樣本無需比較。將每個子劃分中的樣本兩兩組成元素對，并根據Mpair中的元素得到元素對的編號，收集成一個有序的不可區(qū)分串得：

DisStringC4長度最短，因此取Reduce={C4},Min-String=(2,*4,5,*12)。同理，；選擇C1加入約簡集得Reduce={C1,C4}(C1與C2任選一個)， MinString={*4},，故算法終止，將C2并入Reduce得Reduce={C1,C2,C4}。

4.2 增量更新過程示例

（1）當新增對象為y={1,2,2,1,1}時，對于Ci∈C，存在x2∈UPOS′，使得 f(y,Ci)=f(x2,Ci)，根據算法步驟1可知，Reduce={C1,C2,C4}不變；當新增對象為y={1,1,1,2,1}時，對于Ci∈C，存在 x1∈UPOS′，使得f(y,Ci)=f(x1,Ci)∧f(x1,D)≠f(y,D)。根據算法步驟1可知，編號為1、2、3的元素對分別加上標記“*”，刪除*4號元素對，UPOS′={2,3,4,5}，UNEG′={1,6}，反向刪除{C2}得DisStringReduce=?，故Reduce={C1,C4}。

（2）當新增對象為y={1,2,1,2,4}時，對于Ci∈C，存在x6∈UNEG′，使得 f(y,Ci)=f(x6,Ci)。根據算法步驟2可知，屬性約簡Reduce={C1,C4}不變。

（3）當新增對象為y={1,1,2,1,0}時，對?x∈UPOS′,?Ci∈C，使得 f(y,Ci)≠f(x,Ci)。根據算法步驟3可知，更新Mpair。

Mpair元素對更新結果如表3所示。

Table 3 Updating element pairs of Mpair表3 Mpair元素對更新

因增加新對象y，使各條件屬性增加了新的不可區(qū)分元素對，根據算法步驟3可知DisStringC1增加部分為(*14,15,*18)，增加部分為(*14),增加部分為(15,17)，增加部分為(15)。因DisStringReduce=(15)非空，所以更新Reduce。因，所以將屬性C2并入Reduce，更新Reduce={C1,C2,C4}，算法終止。

4.3 實驗比較

為進一步驗證本文增量更新算法2與其他同類算法的性能，在WindowsXP下,開發(fā)工具為VC6.0，CPU 2.3 GHz，內存2 GB環(huán)境下編程。本文選用UCI機器學習數據庫中的5個數據集測試，具體數據集情況如表4所示。D1～D5依次表示UCI中的數據集Patient、Cancer、Forest、Car、Mushroom，|U|為數據集對象數，|U′|為簡化后數據集對象數，|C|為條件屬性個數，|UPOS′|為正區(qū)域對象數，|Base|為基準數。下面分別以雷曉蔚的文獻[13]與錢文彬的文獻[14]及本文算法2，從空間及時間上進行比較。

Table 4 Test dataset表4 測試數據集

（1）以UCI數據庫中的5個數據集進行空間的測試，共進行了5次計算，取平均值。表5表示各算法存儲信息矩陣的元素個數。

Table 5 Space comparison of 3 algorithms表5 3種算法的空間比較

從空間資源消耗上說，文獻[13]算法的空間復雜度為O(|C||U|2)，文獻[14]算法的空間復雜度為O(|C||U′||UPOS′|)。當|U|≈|U′|時，文獻[13]與文獻[14]算法的復雜度較接近，但文獻[13]算法未能避免決策值相同元素間的比較，導致空間效率較文獻[14]低。本文算法2的空間消耗不到文獻[14]算法的1/|C|，實現時只需存儲最短的不可區(qū)分串。若測試數據集中有大量重復數據，效果更加明顯，如數據集D1、D4在挖掘時，算法2中有效剔除了無需區(qū)分對象，使所需空間遠比文獻[13]的1/|C|小。文獻[13]算法在計算數據集Mushroom約簡時，由于數據量大，屬性多，無法將信息矩陣存入到內存，產生溢出。而本文算法2只需少量空間就可得到約簡結果，節(jié)省大量空間資源。

（2）對UCI數據庫中的5個數據集進行時間消耗的測試，Ti為算法需要的時間，以秒為單位，Ri為約簡后的屬性個數，共進行了5次計算，取平均值，并且取每個原數據集80%的數據作為基準數，其余作為增量部分，結果如表6所示。

Table 6 Comparison of 3 incremental updating algorithms表6 3種增量更新算法的比較

文獻[13]、文獻[14]及本文算法均利用正、負區(qū)域模型，計算動態(tài)更新情況下的約簡集，由表6數據可知，約簡結果基本一致。在數據集的維數及數據量較小的情況下，時間效果不明顯，如D1只有90個樣例，文獻[13]約簡時間0.181 s，而文獻[14]約簡時間0.070 s，本文算法2約簡時間0.062 s。但隨著數據規(guī)模的增大，本文算法2在約簡時，由于每次取不可區(qū)分串最短的串為選擇重要屬性的依據，加速了剪枝效果，時間效果更為明顯。如D5有數據8 124條，文獻[13]因不能有效剪枝，所以無法完成約簡過程，產生數據溢出現象，而本文算法2只需2.761 s，比文獻[14]的時間3.012 s稍優(yōu)越。文獻[10]的時間復雜度為O(|C2||U|2)，文獻[14]與算法2的時間復雜度為max(O(|C||UPOS′||U′|),O(|Red|2|UPOS′||U′|))，與|U′|、|UPOS′|關系較大，因此|U′|、|UPOS′|的大小嚴重影響文獻[14]與算法2的運算時間，但對文獻[13]算法時間影響不大。上述數據集中，D4出現大量重復。表面上看，D4雖然比D3的數據量大很多，但運算時間上，文獻[13]明顯沒有文獻[14]和算法2的效果好，因此文獻[14]與本文算法2更適應于重復樣本多的數據集約簡。

5 結束語

關于屬性約簡算法，多數只針對靜態(tài)數據集的情況。現實生活中，數據是不斷變化的，當有新數據加入時，可能會引起約簡集的變化。為了充分利用前期的約簡結果，減少大量重復性的計算，本文提出比較元素對概念Mpair，并以每個條件屬性的不可區(qū)分元素對的數量多少為重要依據，設計一種動態(tài)增量更新算法，根據加入對象的不同情況，進行相應處理，動態(tài)更新約簡集。由于每次以最短的不可區(qū)分串為選擇的條件，加速了尋找約簡集的速度，而同類算法均以最長的可區(qū)分元素對為依據，不能有效剪枝。為更進一步加快約簡速度，且適應現代計算機體系結構的變化，下一步工作是：研究如何將數據集分成n塊，適應多處理器的計算機運行，讓每個處理器同時處理，達到并行處理效果。

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LIANG Baohua was born in 1973.He received the M.S.degree from Guangxi Normal University in 2007.Now he is an associate professor at Chaohu University.His research interests include data mining and rough set,etc.

梁寶華（1973—），男，安徽無為人，2007年于廣西師范大學獲得碩士學位，現為巢湖學院副教授，主要研究領域為數據挖掘，粗糙集等。

YAN Xiaoyan was born in 1984.She is a lecturer at Chaohu University.Her research interests include computer network and artificial intelligence,etc.

嚴小燕（1984—），女，安徽廬江人，碩士，巢湖學院講師，主要研究領域計算機網絡，人工智能等。

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LIANG Baohua+,YAN Xiaoyan
College of Information Engineering,Chaohu University,Hefei 238000,China

When some new objects are added to the decision table,the attribute reduction sets will be changed.To ensure the correctness of the results,it is necessary to update the attribute reduction dynamically.Usually,the important attribute is selected which depends on the quantity of distinguishable elements in discernibility matrix algorithm. The most distinguishable information attribute is merged into reduction set every time,so the time complexity is high.Firstly,this paper proposes the definitions of effective element pair and indistinguishable string,selects the important attribute according to the length of indistinguishable string and proves the effectiveness.Secondly,this paper analyzes the different cases of added object,and updates the attribute reduction of simplified decision table according to the corresponding conditions dynamically.Then this paper designs the incremental updating algorithm based on ordered indistinguishable string.At last,the example analysis and experimental comparison show that the algorithms are feasible and effective.

attribute reduction;effective element pair;indistinguishable string;incremental updating

10.3778/j.issn.1673-9418.1602039

A

TP181

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.60573174(國家自然科學基金);the Outstanding Young Backbone Talent Visiting Foundation of Anhui University under Grant No.gxfx2017100(安徽省高校優(yōu)秀青年骨干人才訪學項目);the Natural Science Foundation ofAnhui Province under Grant No.KJ2013Z231(安徽省自然科學基金).

Received 2016-02,Accepted 2016-08.

CNKI網絡優(yōu)先出版:2016-08-01,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160801.1406.002.html

摘 要：當有新增對象加入到決策表時，已有的屬性約簡將會發(fā)生變化，為保證約簡結果的正確性，需對其進行動態(tài)更新。差別矩陣算法通常以可區(qū)分元素的多少作為屬性重要性的依據，每次選擇可區(qū)分信息最多的屬性加入約簡集，導致有較高的時間復雜度。為此，提出了有效比較元素對及不可區(qū)分串定義，以不可區(qū)分串長短為屬性重要性選擇的依據，并證明了其有效性；然后分析了增量更新的不同情況，將新增對象加入簡化決策表，按相應條件動態(tài)變化約簡集，由此設計了基于有序不可區(qū)分串的增量更新算法；最后通過實驗比較和實例分析了增量更新算法的可行性和有效性。