李彤彤

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

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一類位置不變重尾指數(shù)估計

李彤彤

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

重尾分布； 極值指數(shù)； 位置不變； 正規(guī)變化； 均方誤差； 漸近性質(zhì)； Hill估計

0 引言

重尾分布普遍存在于社會的各個領(lǐng)域中，例如：生物統(tǒng)計學(xué)、金融學(xué)、保險和風(fēng)險理論等.為了了解尾部的相關(guān)信息和規(guī)律性，對重尾指數(shù) 的估計變得尤為重要，并且重尾極值指數(shù)估計的有效性、穩(wěn)健性已經(jīng)備受人們的關(guān)注.Pickands估計、Hill估計、矩估計和核估計是最經(jīng)典的、最基礎(chǔ)的極值指數(shù)估計，當(dāng)γ>0時，最為著名的是Hill估計量[1]:

對于更為廣泛的情況γ∈R，Dekkers，Einmahl和de Haan[7](1989)提出了矩估計：

Ling等[8,9]在2007年在矩估計的基礎(chǔ)上，提出了一類位置不變的矩估計量.鄒佶叡等[10]在2006年提出了漸近無偏矩估計量.

然而，Hill估計和矩估計雖然有許多優(yōu)點，但它們對門限k0的值較為敏感，換句話說，上述的這些估計都不滿足位置不變性，Pickands(1975)[11]在假定尾部分布函數(shù)的前提下，通過求分位數(shù)給出了一類位置不變估計：

其中：k=k(n)=o(n),k0=o(k(n)),k(n)→∞,k0→∞(n→∞).Li等[13,14]也提出了一類位置不變的Hill估計，隨后劉維奇等[15]進一步闡明了重尾指數(shù)估計的研究進展，陶寶[16]討論了另一類Hill型位置不變的估計量的強相合性，而Ling[17]還提出了Weiss類Hill估計.

在許多學(xué)者研究位置不變性的同時，降偏差的研究也越來越受到人們的重視，deHaanL等[5]，Beirlant等[18]、Feuerverger等[19]，Caeiro等[20]，Gomes等[21]對Hill估計進行了改進，降低了漸近偏差，BrahimB等[22]的降偏差估計，以此作為基礎(chǔ)，劉維奇等[23]利用降偏差的方法對Caeiro等人提出的改進Hill估計及Gomes等人的估計進行了重新修正.

1.1 正則變化條件

為了研究重尾極值指數(shù)相關(guān)的漸近性質(zhì)，下面給出二階正則變化條件：

(1)

且有|A(t)|∈RVρ(ρ≤0)[deHaanL,Ferreira[24]中推論2.3.5]

(2)存在可測函數(shù)A(t)>0且A(t)→0(t→∞)，使得

(2)

對一切x>1,y>1局部一致成立，其中：

(3)

且對上述條件有二階參數(shù)ρ<0及|A(t)|∈RVρ.

FrageAlves[12]提出位置不變的Hill估計：

Ling等[8,9]提出的位置不變矩估計：

鑒于此，本文提出一類新的位置不變的重尾極值指數(shù)估計量：

(α∈R+)

為方便計算，本文需要規(guī)定以下記號以及變量：

引理1 當(dāng)γ>0,ρ<0時，若1.1中公式(1)成立，則對任意的ε,δ>0存在t0=t0(ε,δ)，使得對一切t>t0及x>1時

(4)

引理2 在引理1的條件下，對一切x>1,y>1有

(5)

此外，對任意的ε,δ>0,存在t0=t0(ε,δ)使得t>t0時

Tγ,ρ(x,y)

對于x>y>1局部一致成立，其中

Fγ,ρ(x,y)=

(6)

(7)

(8)

成立.

若γ+ρ≠0,由引理3可得：

令

它的特征函數(shù)為：

fk0(t)=

從而

同理可證γ+ρ=0的情形.

1.3k0的最優(yōu)選擇

定理2 設(shè)A(t)～ctρ，其中ρ<0,c≠0,若1.1節(jié)中二階正規(guī)條件公式(1)成立.記

則有如下結(jié)論：

2.當(dāng)γ>-ρ時,

(2)若k?n,則

(3)若k～Dn,D≠0,則有

證明:設(shè)A(t)～ctρ,c≠0分以下情況討論：

(1)若γ<-ρ時，其漸近展開式為

(9)

且

要使MSE最小，對k0求偏導(dǎo),可得:

(10)

(2)若γ>-ρ時

從而可得

(11)

則n≤k0≤k·n

上述幾種情況，與(10)證明類似，可求出k0的最優(yōu)解.

推論3 在推論2的基礎(chǔ)上

令

則

2 模擬與比較

對于同一個極值指數(shù),通常采用經(jīng)驗似然,極大似然等模擬方法,通過討論估計量的相對漸近效、均值和均方誤差等實現(xiàn)對其的評價.

2.1 參數(shù)α的選取

(12)

2.2 兩類位置不變估計的模擬比較

(1)Pareto(γ)分布

F(x)=1-x,(x>0,γ>0)

(2)Frechet(γ)分布

(3)Burr(α，β)分布

F(x)=1-(1+xα)-β,(x≥0,α,β>0)

(a)均值 (b)均方誤差圖1 極值指數(shù)γ=0.5的Pareto分布，估計量與的模擬均值(a)和均方誤差(b)

(a)均值 (b)均方誤差圖2 極值指數(shù)γ=1的Frechet分布，估計量與的模擬均值(a)和均方誤差(b)

(a)均值 (b)均方誤差圖3 極值指數(shù)γ=2的Burr分布，估計量與的模擬均值(a)和均方誤差(b)

圖4 極值指數(shù)γ=2的Burr分布，估計量與模擬均值的部分放大截圖

3 結(jié)論

[1]HillBM.Asimplegeneralapproachtoinferenceaboutthetailofadistribution[J].AnnStatist,1975,3(5):1 163-1 174.

[2] 彭 亮,祁永成.二階正規(guī)變化子模型下Hill型估計量漸進正態(tài)性[J].數(shù)學(xué)年刊,1997,18(5):539-544.

[3]GomesMI,MartinsMJ.GeneralizationsoftheHillestimator-asymptoticversusfinitesamplebehaviour[J].StatPlanInference, 2001,93(1-2):161-180.

[4] 彭作祥.一類Hill型估計量的收斂性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報,1998,23(2):133-137.

[5]deHaanL,PengL.Comparisonoftailindexestimators[J].StatisticsNeerlandica,1998,52(1):60-70.

[6]CaeiroF,GomesMI.Aclassofasymptoticallyunbiasedsemi-parametricestimatorofthetailindex[J].SociedaddeEstadisticaeInvestigationOperativeTest,2002,11(2):345-364.

[7]DekkersA,EinmahlJ,deHaanL.Amomentestimatorfortheindexofanextremevaluedistribution[J].AnnalsofStatistics,1989,17(4):1 833-1 855.

[8]LingC,PengZ,NadarajahS.Alocationinvariantmoment-typeestimatorI[J].TheoryofProbabilityandMathematicalStatisics, 2008,76:23-31.

[9]LingC,PengZ,NadarajahS.Alocationinvariantmoment-typeestimatorII[J].TheoryofProbabilityandMathematicalStatisics,2008,77:177-189.

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[11]PickandsJ.Statisticalinferenceusingextremeorderstatistics[J].AnnalofStatistics,1975,3(1):119-131.

[12]FragaAlvesMI.AlocationinvariantHill-typeestimator[J].AnnalofStatistics,2001,4(3):199-217.

[13]LiJ,PengZ,NadarajahS.AclassofunbiasedlocationinvariantHill-typeestimatorsforheavytaileddistributions[J].ElectronicJournalofStatistics,2008,2(3):829-847.

[14]LiJ,PengZ,NadarajahS.Asymptoticnormalityoflocationinvariantheavytailindexestimators[J].Extremes,2010,13(3):269-290.

[15] 劉維奇,邢紅衛(wèi).重尾分布尾指數(shù)估計研究進展[J].山西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,35(2):163-173.

[16] 陶 寶.位置不變的Hill型估計量的強相合性[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006,23(4):331-333.

[17]LingC,PengZ,NadarajahS.Locationinvariantweiss-Hillestimator[J].Extremes,2012,15(2):197-230.

[18]BeirlantJ,DierckxG,GoegebeurY,etal.Tailindexestimationandanexponentialregressionmodel[J].Extremes,1999,2(2):177-200.

[19]FeuervergerA,HallP.Estimatingatailexponentbymodelingdeparturefromaparetodistribution[J].AnnalsofStatistics,1999,27(2):760-781.

[20]GaeiroF,GomesMI,PestanaD.DirectreductionofbiasoftheclassicalHillestimator[J].Revstat,2005, 3(2):113-136.

[21]GomesMI,MartinsMJ,NevesMM.Improvingsecondorderreduced-biastailindexestimation[J].Revstat, 2007,5(2):177-207.

[22]BrahimB,DjamelM,AbdelhakimN,etal.Abias-reducedestimatorforthemeanofaheavy-taileddistributionwithaninfinitesecondmoment[J].JournalofStatisticalPlanningandInference,2013,143(6):1 064-1 081.

[23] 劉維奇,邢紅衛(wèi).重尾指數(shù)估計中閾值k的簡單優(yōu)化估計[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2010,30(8):1 465-1 470.

[24]deHaanL,FerreiraA.Extremevaluetheoryanintroduction[M].NewYork:SpringerScienceUsinessMedia,2006.

【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

A class of heavy tailed index estimator of location invariant

LI Tong-tong

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

heavy tailed distribution； extreme value index； location invariant; regular variation； mean square error； asymptotic properties； Hill estimate

2017-02-13

教育部人文社會科學(xué)研究項目(14YJA790034)

李彤彤(1989-)，男，山西太原人，在讀碩士研究生，研究方向：時間序列分析

2096-398X(2017)03-0180-06

O212.4

A