趙麗麗

（赤峰學院 計算機與信息工程學院，內蒙古 赤峰 024000）

高等數(shù)學指導中學數(shù)學在函數(shù)思想上的體現(xiàn)

趙麗麗

（赤峰學院 計算機與信息工程學院，內蒙古 赤峰 024000）

作為一名優(yōu)秀的教師，只具備高中數(shù)學所涉及的知識，那是遠遠不夠的，為了能更好的理解和滲透中學數(shù)學的教材，這就要求中學數(shù)學教師利用高等數(shù)學指導中學數(shù)學，用高等數(shù)學的思想方法、理論依據一眼看穿中學數(shù)學，結合中學數(shù)學的實際，運用中學生可以接受的方法來指導中學數(shù)學的教學與解題.從中學數(shù)學與《數(shù)學分析》教材的分析來看，函數(shù)部分所占比例較大，可以說函數(shù)思想像一雙無形的手拉近了高等數(shù)學與中學數(shù)學的距離，潤物細無聲般的將中學數(shù)學推向高等數(shù)學.

數(shù)學思想；函數(shù)思想；問題

《數(shù)學分析》的研究對象是函數(shù)，具體內容包括：一元函數(shù)的極限，一元函數(shù)微積分，實數(shù)的連續(xù)性，無窮級數(shù)與含參變量積分，多元函數(shù)微積分等.中學數(shù)學的主要內容：集合與簡易邏輯，函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，不等式，極限，導數(shù)，復數(shù)，排列、組合、二項式定理，概率統(tǒng)計以及解析幾何部分，這些問題屬于《數(shù)學分析》，《概率統(tǒng)計》，《解析幾何》等數(shù)學分支，但在教材更多的是講述辦法，理論上的敘述要求的不是十分嚴謹，但是對更好的理解和滲透中學數(shù)學教材，這就要求中學數(shù)學教師利用高等數(shù)學指導中學數(shù)學，用高等數(shù)學的思想方法、理論依據一眼看穿中學數(shù)學，結合中學數(shù)學的實際，運用中學生可以接受的方法來指導中學數(shù)學的教學與解題.

從中學數(shù)學與《數(shù)學分析》教材的分析來看，函數(shù)部分所占比例較大，可以說函數(shù)思想像一雙無形的手拉近了高等數(shù)學與中學數(shù)學的距離，潤物細無聲般的將中學數(shù)學推向高等數(shù)學.

我們曾都有過這樣的困惑：題目講的很多，但是學生都是在模仿解題，老師只要稍一改變則不知所措，究其原因在于學習中僅僅就題論題，見子打子，并沒有真正領會隱含與數(shù)學問題探索中的數(shù)學思想方法.新課標強調教師在教學中授之以“漁”比授之以“魚”更為重要；即要使學生掌握數(shù)學思想方法方面的知識，逐步形成用數(shù)學思想方法指導思維活動，這樣在遇到同類問題時才能從容對待.

所謂數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂.數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的.一般來說，強調指導思想時稱為數(shù)學思想，強調操作過程時稱為數(shù)學方法.而中學數(shù)學中的基本數(shù)學思想如下：兩大“基石”思想：符號化與變元表示（換元思想、方程思想、參數(shù)思想）與集合思想（分類思想、交集思想、補集思想）兩大“支柱”思想：對應思想（函數(shù)思想、變換思想、遞歸思想、數(shù)形結合思想）與公理化與結構思想（公理化思想、結構思想、極限思想）兩大“主梁”思想：系統(tǒng)與統(tǒng)計思想（整體思想、分解組合思想、運動變化思想、最優(yōu)化思想)與化歸與辨證思想（縱向化歸、橫向化歸、同向化歸、逆向化歸思想，對立統(tǒng)一，萬變，一分為二思想）.

在上述諸多思想中，函數(shù)思想在初、高等數(shù)學，在自然科學和社會科學中均有著廣泛的應用，起著“基礎”和“紐帶”的作用,是處理常量數(shù)學和變量數(shù)學的重要思想，在解決一般數(shù)學問題中具有重大的方法論意義.同時函數(shù)把數(shù)學的各個分支緊緊連在一起，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角等彼此滲透，相互融合，構成了函數(shù)應用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.又由于函數(shù)充分體現(xiàn)了集合、對應、映射等基本數(shù)學思想，因而就是中學數(shù)學能接近現(xiàn)代數(shù)學的科學水平，并且是學生從中獲得基本的、深刻的、有用的高等數(shù)學思想方法.總之,函數(shù)描述了自然界中量的依存關系;反映了一個事物隨另一個事物變化的關系和規(guī)律.函數(shù)思想即是用聯(lián)系變化的觀點,建立各種變量間的依存(函數(shù))關系,通過函數(shù)形式并利用函數(shù)的有關性質和方法達到解題目標的策略,函數(shù)思想是一種解題觀念,其運用范圍并不局限于函數(shù)問題,它貫穿與整個高中數(shù)學.

1 在概念教學中滲透函數(shù)思想

數(shù)列是函數(shù),是一種特殊的函數(shù),因此許多問題可以用函數(shù)的觀點來研究如:數(shù)列概念,求解等差數(shù)列中的a,an,sn, n,d等.

2 在定理和公式中滲透函數(shù)思想

例 等差數(shù)列通項公式an=a1+(n-1)d中an是n的一次函數(shù);前n項和公式中sn是n的二次函數(shù).

3 在問題解決中滲透函數(shù)思想

3.1 實際問題

例 某工廠要修建一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子0A，0下號在水面中心處，OA= 1.25m，安裝在柱子頂端A處的噴頭向四周噴水，水流沿著形狀相同的拋物線路徑向四周落下，并在過0A的任意平面上拋物線如圖(1)，為了使水流的形狀更漂亮，要使水流在到OA距離為1m處達到距水面最大的高度2.25m，不收其他因素影響，水池的半徑要多少米，才能使噴出的水流不落在水池外面.

分析:我們的解題思路是:實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→函數(shù)問題→函數(shù)問題的解→實際問題的解.

如圖(2)建立直角坐標系:則水流顯現(xiàn)的拋物線方程為y=a(x-1)2+2.25，由題意：點A的坐標為（0，1.25），

把x=0,y=1.25代入上述方程 得a=-1

于是 拋物線方程為y=-(x-1)2+2.25

令y=0 得(x-1)2+2.25=0

解得x1=2.5，x2=-0.5（不合題意舍去）

所以x=2.5

答：水池半徑至少要2.5米才能使水流不致落到池外.

3.2 幾何問題

在幾何問題中我們往往會遇到求夾角和最大(小)值和線段的最短(長)距離等問題.如果僅從集幾何方面去思考,往往使問題難以解決,倘若能夠靈活的應用構造函數(shù)的方法,就會使幾何問題柳暗花明.

解 利用導數(shù)的幾何意義:光滑曲線切線的斜率.

則過橢圓上一點(x0,y0)的切線方程為

因此本題歸結為：當x,y滿足（1）時

3.3 不等式問題

由于不等式有廣泛的應用又是高等數(shù)學的基礎，所以在高考中一直是重點考察的內容，在綜合解題過程中處處分布著不等式的知識、方法與技巧.下面將從高等數(shù)學的函數(shù)思想方面研究不等式.

3.3.1 利用函數(shù)單調性

基本思想：若f'(x)≥0(f'(x)＞0)則x1＜x2時，有f(x1)≤f(x2)(f (x1)＜f(x2)),由此可獲得不等式.

例 設e是自然對數(shù)的底,π是圓周率,證明:eπ＞πe.

由于x＞e時f'(x)＜0于是f(x)在[e，+∞)上遞減故f(e)＞f(π)此即（1）成立.

3.3.2 利用微分中值定理

基本思想：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，則f(x)=f(a)+f'(ξ)(x-a)(ξ∈(a,b))

故當f(a)=0；(a,b)內f'(x)＞0時，有f(x)＞0(?x∈(a,b]).

法1：令f(x)=x-ln(1+x)則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內可導，所以有f(x)=f(0)+f'(ξ)x(ξ∈(0,x))

法3：分析：∵x＞0

因此可利用拉格朗日中值定理

證 令f(t)=lnt，當x＞0時，顯然它在[1,1+x]滿足拉格朗日中值定理的條件，

3.3.3 利用函數(shù)極值

證明 原不等式等價于(1-x)ex≤1

設f(x)=(1-x)ex，x∈(-∞,1)由f'(x)=-xex=0，得唯一駐點x=0，

又當x＜0時f'(x)＞0；

x＞0時，f'(x)＜0

故f(x)在x=0取極大值（即最大值）：f(0)=1因此對所有x∈(-∞,1)，都有f(x)=(1-x)ex≤1.

例2 證明t≥1，s≥0時下面的不等式成立

ts≤tlnt-t+es

證 我們只要證明函數(shù)φ(s,t)=tlnt-t+es-ts

在D={(s,t)：s≥0，t≥1}上有最小值0,固定t≥1,

令φ's(s,t)=es-t=0 得s=lnt(即t=es)且

當0≤s＜lnt時φ's(s,t)＜0

當s＞lnt時φ's(s,t)＞0

可見φ(s,t)的最小值只能在曲線t=es上達到.但

φ(s,es)=ess-es+es-ess故在D上φ(s,t)≥0即有ts≤tlnt-t+es

3.3.4 利用二次函數(shù)判別式

3.4 等式、方程問題

函數(shù)通常我們用記號y=f(x)來表示變量y是變量x的函數(shù)，即“變量y通過f函數(shù)依賴于x”至于變量x取何值時，y值為零呢？于是我們引入記號f(x)=0，這就是我們常說的方程.因此，我們可以利用函數(shù)本身的性質來解決方程中的一些問題.

證x在(0,+∞)內變化即看是否存在x1,x2使f(x1)=0，f(x2) =0即問題變成證明f(x)在(0,+∞)內至少有兩個零點.

由界值定理知f(x)在(0,e)和(e,+∞)內各至少有一個零點，即方程

在(0,+∞)內至少有兩個實根.

例 2 若(1+x+x2+x3)5(1-x+x2-x3)5=a30+a29x+…+a1x29+a0x30求a15.

分析：觀察等式的特殊結構，可以運用函數(shù)的奇偶性.

解 構造函數(shù)f(x)=(1+x+x2+x3)5

則f(-x)=(1-x+x2-x3)5

令F(x)=(1+x+x2+x3)5(1-x+x2-x3)5

則F(x)=f(x)f(-x)

顯然F(x)是偶函數(shù).

而且觀察正系數(shù)多項式F(x)展開式中系數(shù)的特征：所有奇次項系數(shù)均為零，可知F(x)=a30+a28x2+…+a2x28+a0x30

即a15=0

3.5 復數(shù)與角的問題

有關復數(shù)x+yi的輻角和模的范圍問題常與正、余弦函數(shù)或實變量x,y聯(lián)系在一起，可利用變量的函數(shù)來求解.

例1 已知輻角分別為θ1，θ2的復數(shù)z1,z2,滿足條件：z1+z2=5i，|z1z2|=14，求cos(θ1-θ2)的最大值及最小值，并求取最小值時的z1,z2的值.

分析：這是一個最值問題，解最值問題的一般方法是要找到有關一個變量的函數(shù)，本題中的變量有θ1，θ2，還有z1,z2的模r1，r2共4個，從已知條件可以獲得3個等式，其中z1+z2=5i可得兩個等式，再加|z1z2|=14，尋找它們與所求結論cos(θ1-θ2)之間的關系.

解 設z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)由題意得：

將(1),(2)兩邊平方代入(3)得：

所以cos(θ1-θ2)的最大值是，最小值是-1

且當cos(θ1-θ2)=-1時θ1-θ2=(2k+1)π

例2 設復數(shù)z=3cosθ+i2sinθ，求函數(shù)y=θ-argz.(0＜θ＜的最大值以及對應θ的值.

分析：所求是兩個動態(tài)角之間的函數(shù)最大值，而求一個角的最大（?。┲?，一般要轉化成求這個角的某一個三角函數(shù)的最大（?。┲担瑸榱吮阌谶\算取正切，先求tgy的最大值，進而利用正切函數(shù)的單調性，求出y的最大值以及對應的θ的值.

即時上式取等號.

總之應用函數(shù)的有關知識和思想解題不止以上幾類，“管中窺豹，可見一斑”，它們反映了這樣一種解題策略：將靜止的問題放到一個更加波瀾壯闊的動態(tài)過程中去考察,將局部的問題置于更加高瞻遠矚的全局上去解決.

〔1〕胡炳生,等.現(xiàn)代數(shù)學觀點下的中學數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，1999.

〔2〕余元希,等.初等代數(shù)研究（下冊）[M].北京：高等教育出版社，1988.3.

〔3〕王后雄.十年高考兩年模擬試題分類全解:數(shù)學[M].遼寧教育出版社，2006.

〔4〕裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，2006.

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2017-01-05