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        利用函數(shù)圖像的中心對稱,解決一類最值和問題

        2017-05-31 13:40:13陽漢軍
        理科考試研究·高中 2017年3期
        關鍵詞:中心對稱圖像

        摘 要:有一類函數(shù)最值和問題,如果函數(shù)圖像是中心對稱圖形,我們可以不必去求函數(shù)的最值,可利用函數(shù)圖像的中心對稱巧妙解決這類問題.

        關鍵詞:最值和;圖像;中心對稱

        作者簡介:陽漢軍 (1972-),男,四川資陽人,本科,中學高級教師,主要從事高中數(shù)學教學研究.

        一、題目

        已知函數(shù)f(x)=22x+1-5x的最大值為M,最小值為N,則M+N=( ).

        A.2 B.3 C.4 D.0

        關于這個問題,如果直接去求最大值和最小值來解決顯然繁瑣,其實,如果我們能從另外一個角度來認識該問題,則對這一類問題都能迎刃而解.

        二、解析

        解析1 ∵f(x)=22x+1-5x,∴f(-x)=22-x+1+5x.

        ∴f(x)+f(-x)=(22x+1-5x)+(22-x+1+5x)=22x+1+22-x+1=22x+1+2·2x2x+1=2(2x+1)2x+1=2.

        即f(x)+f(-x)=2.

        ∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.

        令g(x)=f(x)-1,則g(x)+g(-x)=0,

        ∴g(x)=f(x)-1為奇函數(shù),由題意得

        g(x)max=M-1,

        g(x)min=N-1.

        因為奇函數(shù)的圖像關于原點對稱,故g(x)max+g(x)min=0,∴(M-1)+(N-1)=0,M+N=2,選擇A.

        評注 本題利用了奇函數(shù)的圖像關于原點對稱,最大值與最小值互為相反數(shù),從而最大值與最小值的和為零.

        解析2 由解析1中f(x)+f(-x)=2知f(x)的圖像關于點(0,1)對稱,∴M+N2=1,即M+N=2.

        評注 因g(x)=f(x-1)的圖像關于原點對稱,所以f(x)=g(x)+1的圖像關于點(0,1)對稱.

        三、引申

        遇到這類問題,若發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像是中心對稱圖形,那么用這種辦法能很快解決問題.

        ①一般地,若函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(-x)=2k,則f(x)的圖像關于點(0,k)中心對稱,若f(x)的最大值為M,最小值為N,則M+N2=k,所以M+N=2k.

        證明 如圖,設A(x1,M)為f(x)圖像上的一個最高點,則在f(x)的圖像上必存在和點A對應的關于點(0,k)對稱的點,該點應為f(x)圖像上的一個最低點,設為點B(x2,N),由A、B兩點關于點(0,k)對稱得M+N2=k,所以M+N=2k.

        ②一般地,若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=2k,則f(x)的圖像關于點(a+b2,k)中心對稱,若f(x)的最大值為M,最小值為N,則M+N2=k,所以M+N=2k,證明略.

        四、練習

        ①已知f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值為M,最小值為N,則M+N=.

        ②已知g(x)=(x-1)3-sinπx+1(0≤x≤2)的最大值為a,最小值為b,則a+b=.

        參考答案 ①2 ;②提示:因為g(x)+g(2-x)=2,所以g(x)的圖像關于點(1,1)對稱,故a+b=2.

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