張現(xiàn)強(qiáng)

摘 要：基于橢圓型方程的新型混合變分形式，該文給出了一種新的非協(xié)調(diào)混合有限元方法。由于速度空間只需滿足平方可積性質(zhì)，因此混合元配對(duì)變得簡(jiǎn)單易取。該方法分別采用分片常數(shù)元和非協(xié)調(diào)的Crouzeix-Raviart元來(lái)逼近速度和壓力。通過(guò)驗(yàn)證離散的LBB條件證明了有限元逼近解的存在惟一性，以及有限元逼近在某種意義下是最優(yōu)的。與傳統(tǒng)的混合元配對(duì)格式比較，新方法只需較少的自由度便可達(dá)到同樣的數(shù)值精度。

關(guān)鍵詞：橢圓型方程 混合變分形式 混合有限元 非協(xié)調(diào)元

中圖分類號(hào)：O241.82 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）04（a）-0248-03

A New Nonconforming Mixed Finite Element Method for Elliptic Equations

Zhang Xianqiang

（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan Ningxia， 750021， China）

Abstract： In this paper， we develop and analyze a nonconforming mixed finite element method for the Poisson equation based on a new mixed variational formulation. The velocity is approximated by piecewise constant element and the pressure by nonconforming Crouzeix-Raviart element. It is shown that this pair of finite elements is stable and yields optimal accuracy in some sense.

Key Words： Elliptic equation； Mixed variational formulation；Mixed finite element； Noncomforming element

該文考慮如下的二階橢圓方程邊值問(wèn)題：

（1）

這里為一個(gè)有界凸多邊形區(qū)域，表示外力。 此方程廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域， 其混合有限元方法的研究一直是個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題[1-6]。傳統(tǒng)的混合變分形式要求速度具有較高的正則性，而在實(shí)際中僅需要具有-正則性。 基于此，文獻(xiàn)[7-8]中給出了一種新型混合變分形式， 并證明了其解的存在唯一性。由于壓力空間不再是傳統(tǒng)的空間，而是空間，因此混合元的選取變得簡(jiǎn)單容易。針對(duì)Poisson方程，文獻(xiàn)[7]討論了由分片常數(shù)速度元和分片線性壓力元構(gòu)成的協(xié)調(diào)有限元對(duì)。文獻(xiàn)[8]采用最低等階協(xié)調(diào)有限元對(duì)求解并利用速度的局部Gauss積分之差對(duì)其離散格式加以穩(wěn)定。隨后，文獻(xiàn)[9]研究了穩(wěn)定化最低等階非協(xié)調(diào)混合有限元方法。

與協(xié)調(diào)有限元法相比，非協(xié)調(diào)Crouzeix-Raviart元可以降低對(duì)連續(xù)性的要求，具有計(jì)算簡(jiǎn)單、收斂速度快、利于并行求解的優(yōu)點(diǎn)，且更易滿足離散的LBB條件，實(shí)際計(jì)算效果常常優(yōu)于協(xié)調(diào)有限元[10]。該文的主要工作是將[7-9]中的方法加以推廣，對(duì)橢圓型提出和建立了一個(gè)穩(wěn)定的非協(xié)調(diào)有限元格式。

該文結(jié)構(gòu)如下： 第2節(jié)介紹模型問(wèn)題的變分形式及其非協(xié)調(diào)元離散方法。第3節(jié)分析離散問(wèn)題的穩(wěn)定性和收斂性。該文采用通常的Sobolev空間的定義、范數(shù)、半范數(shù)和記號(hào)。文中C為一般常數(shù)，在不同的地方具有不同的含義。

1 混合變分形式及其非協(xié)調(diào)元離散

定義空間：

引入通量，則方程（1）的一個(gè)新的變分形式為： 求，使得：

（2）

其中：

由文獻(xiàn)[8]中的引理1和引理2，應(yīng)用Babuska-Brezzi理論[1，3]， 我們可得問(wèn)題（2）解的存在唯一性。

設(shè)是的一個(gè)擬一致正則三角形剖分，網(wǎng)格步長(zhǎng)為。記為內(nèi)部單元邊的集合。對(duì)于任意的邊，的中點(diǎn)記為。我們定義非協(xié)調(diào)元離散空間為：

這里表示區(qū)域上的線性多項(xiàng)式空間，為區(qū)域上的常數(shù)空間。顯然。

問(wèn)題（2）的非協(xié)調(diào)混合有限元離散逼近格式為：求，使得：

（3）

其中：

這里，算子定義為：

對(duì)任意的，定義范數(shù)：

定義為標(biāo)準(zhǔn)的投影算子，即：

定義為標(biāo)準(zhǔn)的Crouzeix-Raviart插值算子，即：

由插值理論[10]可知：

≤ （4）

≤ （5）

≤ （6）

≤ （7）

引理：在空間中是連續(xù)的， 且：

（8）

在空間中也是連續(xù)的，且存在不依賴于的常數(shù)，使得：

≥ （9）

因此， 問(wèn)題（3）存在唯一解。

證明：利用Cauchy-Schwarz不等式，我們知道和是連續(xù)的，且（8）是顯然的。故我們只需證明（9）。由文獻(xiàn)[3]可知：對(duì)任意的，存在，使得：

≤

由的定義以及為分片常數(shù)可知：

，利用（4）式，有：

≥

≥

由此即得到（9）式的結(jié)論.由（8）式，（9）式和混合元理論（[1-5]）知， 離散問(wèn)題（3）有唯一解。

2 收斂性分析

由定理1， 我們有：

引理：設(shè)和

分別為（2）和（3）的解，則：

≤ （10）

證明：由第二Strang引理[1-5]可知：

（11）

其中：

（12）

（13）

另一方面，注意到當(dāng)時(shí)，，故：

。 （14）

利用Green公式和（1）式可得：

（15）

其中為函數(shù)在單元邊界上的跳躍。注意到在單元邊界的中點(diǎn)上連續(xù)。利用（13），（15）式和跡不等式可得：

（16）

其中投影算子定義為：

結(jié)合（6）， （7）和（11）- （16）知引理成立。

4 結(jié)語(yǔ)

在科學(xué)與工程計(jì)算的研究領(lǐng)域中，許多問(wèn)題可以用橢圓型方程進(jìn)行描述。傳統(tǒng)的混合元格式對(duì)速度需要散度空間，且論證復(fù)雜，給實(shí)際的計(jì)算帶來(lái)了諸多困難?；趯?shí)際問(wèn)題對(duì)通量較低的正則性要求，該文在橢圓型方程的一種新型穩(wěn)定化混合變分形式的基礎(chǔ)上，采用非協(xié)調(diào)混合有限元的方法對(duì)其求解，證明了有限元解的存在唯一性，以及有限元逼近在某種意義下是最優(yōu)的。

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