李婧文, 陳昌平, 孫家文, 陳榮庚

(1.大連海洋大學(xué)， 大連 116023； 2.國家海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)中心， 大連116023)

基于潰壩模型的SPH方法光滑函數(shù)模擬

李婧文1, 陳昌平1, 孫家文2, 陳榮庚1

(1.大連海洋大學(xué)， 大連 116023； 2.國家海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)中心， 大連116023)

為研究光滑函數(shù)對(duì)潰壩數(shù)值模擬結(jié)果的影響，基于光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics， SPH)法的基本原理，選取三次樣條型和Wendland型兩種光滑函數(shù)對(duì)潰壩進(jìn)行數(shù)值模擬，并以高斯型光滑函數(shù)為基準(zhǔn)，從流體壓力云圖、粒子壓強(qiáng)來比較潰壩數(shù)值模擬結(jié)果。研究發(fā)現(xiàn)：三次樣條型和Wenland型光滑函數(shù)都能較好地模擬潰壩流體的整個(gè)流動(dòng)過程；三次樣條型光滑函數(shù)計(jì)算精度較低，但計(jì)算時(shí)間較短，Wenland型光滑函數(shù)既可以保證計(jì)算精度又可以有效地減少計(jì)算時(shí)間。為采用SPH方法進(jìn)行流體動(dòng)力研究時(shí)，光滑函數(shù)的選取提供依據(jù)。

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)法；潰壩；光滑函數(shù)；數(shù)值計(jì)算

0 引言

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)法[1]是一種拉格朗日形式的無網(wǎng)格粒子法，由一系列具有特征值的粒子表示。該方法通過光滑函數(shù)進(jìn)行支持域內(nèi)相鄰粒子的疊加求和，將計(jì)算域內(nèi)的流體用一系列粒子代替，得到SPH 形式的流體動(dòng)力學(xué)控制方程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的近似求解。SPH法具有無網(wǎng)格、穩(wěn)定性、高效、自適應(yīng)等特性，已逐漸廣泛應(yīng)用于流體動(dòng)力學(xué)問題的求解中。

1 SPH方法簡述

1.1 積分方程

SPH方程分兩個(gè)部分：積分表示法(場函數(shù)核近似法)方程和粒子近似法方程。積分表示法對(duì)任意函數(shù)和光滑函數(shù)進(jìn)行逐步積分，通過對(duì)最近相鄰粒子的值進(jìn)行累加求和得到核近似的積分表達(dá)式為

(1)

式中：δ(x-x′)為狄拉克δ函數(shù)。

用光滑函數(shù)W(x-x′,h)取代δ函數(shù)，則式(1)可表示為

(2)

1.2 數(shù)值模擬方法

以SPH形式將控制方程進(jìn)行離散[2-3]，則粒子的速度表達(dá)式為

(3)

流體動(dòng)量方程粒子近似表達(dá)式為

(4)

流體連續(xù)方程粒子近似表達(dá)式為

(5)

(6)

式中：ui，uj分別為粒子i，j的速度；ρi，ρj分別為粒子i，j的密度；Pi，Pj分別為粒子i，j的壓力；mj為粒子的質(zhì)量；g為重力加速度；ηε(xij)為光滑函數(shù)；c0為聲速；ρ0為自由表面處的密度；fiGi為額外力；nij為粒子i，j之間的標(biāo)準(zhǔn)矢量；cij為有效聲速;uij=ui-uj;xij=xi-xj。

(7)

1.3 邊界條件

圖1 固體邊界的虛粒子

固體邊界條件采用鏡像粒子技術(shù)[3]，包括鏡像所有的支撐域相交與固體邊界的液體粒子，每個(gè)時(shí)間步更新虛粒子的密度、壓力、速度。固體邊界的虛粒子如圖1所示。

(8)

式中:xi是第i個(gè)粒子的初始位置；xwi是xi在固體邊界的投影；xGi是第i個(gè)虛粒子位置。

虛粒子的速度表達(dá)式為

(9)

式中：n為固體邊界的法向量；t為固定邊界的切向量。

固體邊界壓力的表達(dá)式為

(10)

在垂直邊界中，ρGi=ρi。

為保證所有液體粒子全部在計(jì)算域中，在固體邊界的計(jì)算中引入了一個(gè)額外力，以避免邊界穿透[4]。額外力的表達(dá)式為

(11)

式中：riGi為實(shí)粒子和虛粒子的距離；H為潰壩的液體高度；xiGi為實(shí)粒子和虛粒子的橫坐標(biāo)之差，xiGi=xGi-xi。

2 光滑函數(shù)類型

2.1 高斯型光滑函數(shù)

高斯型光滑函數(shù)[5]是充分光滑的函數(shù)，穩(wěn)定且精度很高，對(duì)高階導(dǎo)數(shù)也有較強(qiáng)適用性。但高斯型光滑函數(shù)計(jì)算量要求大，因?yàn)楣饣瘮?shù)趨于0時(shí)要經(jīng)歷相對(duì)長的距離，其表達(dá)式為

(12)

2.2 三次樣條型光滑函數(shù)

三次樣條型光滑函數(shù)[6]是在SPH領(lǐng)域應(yīng)用較廣泛的光滑函數(shù)，它與高斯型光滑函數(shù)類似。三次樣條型光滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)分段線性函數(shù)，穩(wěn)定性劣于高斯函數(shù)，其表達(dá)式為

(13)

2.3 Wendland型光滑函數(shù)

Wendland型光滑函數(shù)[7]在粒子間距變小的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)增加；在粒子間距變大的時(shí)，導(dǎo)數(shù)減少。因此，Wendland型光滑函數(shù)經(jīng)常用來解決可壓縮流體的不穩(wěn)定問題，其表達(dá)式為

(14)

3 潰壩數(shù)值模擬

3.1 參數(shù)設(shè)置

潰壩流動(dòng)是一種自由表面流動(dòng)，包含流體自由流動(dòng)、流體與壁面撞擊產(chǎn)生水花，進(jìn)而反射形成波浪的物理過程。為使計(jì)算結(jié)果具有可比性，計(jì)算參數(shù)的設(shè)置均與CHERFILS等[8]采用高斯型光滑函數(shù)模擬潰壩時(shí)一致。計(jì)算參數(shù)見表1。

表1 計(jì)算參數(shù)表

圖2 潰壩初始模型

粒子數(shù)布置：橫向布置100個(gè)粒子，縱向布置50個(gè)粒子，總共5 000個(gè)粒子。固體邊界的自由滑移通過鏡像粒子技術(shù)實(shí)現(xiàn)，軸對(duì)稱虛粒子具有與相對(duì)應(yīng)實(shí)粒子相同的密度和壓力，但速度方向相反。在數(shù)值計(jì)算中，采用較小的時(shí)間步長來防止流體粒子穿越邊界。潰壩初始模型布置如圖2所示。

計(jì)算域內(nèi)左側(cè)為高度0.6 m，長度1.2 m的流體，并在流體右側(cè)邊緣放置一面墻體來阻止液體的流動(dòng)，潰壩模型運(yùn)行開始的一瞬間，抽掉墻體，流體自由下落，在重力作用下向右流動(dòng)，流體流動(dòng)到右側(cè)直壁，造成反射，形成反向水舌，接著因重力原因下落到自由水面，與原有流體匯合到一起，形成涌浪，向左反射，最終形成趨于穩(wěn)定的波浪。

3.2 結(jié)果比較

3.2.1 計(jì)算時(shí)間

通過模擬可知，潰壩從自由流動(dòng)到形成反射并逐漸趨于穩(wěn)定的時(shí)間約為20 s，因此設(shè)定數(shù)值計(jì)算時(shí)間為20 s，迭代次數(shù)共100 000步，時(shí)間步為0.000 2 s。3種光滑函數(shù)的計(jì)算時(shí)間比較見表2。

表2 3種光滑函數(shù)的計(jì)算時(shí)間比較

由表2可知：高斯型光滑函數(shù)的計(jì)算時(shí)間最長，三次樣條光滑函數(shù)和Wendland型光滑函數(shù)的計(jì)算時(shí)間較為接近。這是由于高斯型光滑函數(shù)在理論上是不可能為0的，要使光滑函數(shù)趨向于0要經(jīng)歷相對(duì)長的距離，特別是高階導(dǎo)數(shù)，這樣就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)很大的支持區(qū)域，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間較長。

3.2.2 壓力云圖

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，選取粒子分布較為紊亂、壓力值變化梯度較大的時(shí)刻進(jìn)行比較，圖3和圖4為t=1.6s和t=2.2s時(shí)刻的流體壓力云圖。

圖3 t=1.6 s流體壓力云圖

圖4 t=2.2 s流體壓力云圖

由圖3和圖4可知：

(1) 流體在t=1.6s時(shí)由于受到右側(cè)直壁的阻礙作用，反射成水舌，并下降到自由液面處形成第二個(gè)水舌。本文選用的兩種光滑函數(shù)模擬的壓力云圖與高斯型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果大致相同，能清晰地模擬流體反射為水舌的過程。在該時(shí)刻，三次樣條型光滑函數(shù)和Wendland型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果為：在右側(cè)直壁處有粒子沿著直壁爬高，在流體下落形成第二個(gè)水舌處有粒子飛濺出去，同時(shí)形成了一個(gè)無流體粒子存在的透空圈，與高斯型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果一致。

(2) 流體在t=2.2s時(shí)由于反射作用形成一個(gè)較大的涌浪，接著發(fā)生波浪破碎，繼續(xù)向左形成波浪，本文選用的兩種光滑函數(shù)都能清晰地模擬流體形成涌浪這一過程。在該時(shí)刻，三次樣條型光滑函數(shù)和Wendland型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果在x=1.5m處形成一個(gè)較大的涌浪，粒子飛濺出去，降落在自由液面處形成凹陷，與高斯型光滑函數(shù)型模擬結(jié)果一致，并且Wendland型光滑函數(shù)的模擬結(jié)果更能顯示出潰壩反射時(shí)由于壓力梯度變化較大而形成的透空圈。

(3) 本文選用的兩種光滑函數(shù)都可以完整地模擬潰壩流體的整個(gè)過程，并與高斯型光滑函數(shù)的計(jì)算結(jié)果擬合良好。選取高斯型光滑函數(shù)模擬潰壩流動(dòng)時(shí)，粒子排布較為緊密，粒子充分光滑；三次樣條型光滑函數(shù)的粒子排布較為紊亂，由于其二階導(dǎo)數(shù)是分段線性函數(shù)，所以穩(wěn)定性劣于高斯型光滑函數(shù)；Wendland型光滑函數(shù)的粒子排布比三次樣條函數(shù)更緊密和光滑。

圖5 跟蹤粒子初始位置示意圖

3.2.3 粒子壓強(qiáng)過程曲線

選取9個(gè)粒子進(jìn)行壓強(qiáng)值的跟蹤：在流體底部的左、中、右3側(cè)取3個(gè)點(diǎn)，命名為1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)粒子；在流體中部的左、中、右3側(cè)取3個(gè)點(diǎn)，命名為4號(hào)、5號(hào)和6號(hào)粒子；在流體頂部的左、中、右3側(cè)取3個(gè)點(diǎn)，命名為7號(hào)、8號(hào)和9號(hào)粒子。流體從0s開始自由下落，遇到直壁形成反射，在t=2.2s時(shí)形成涌浪，因此設(shè)定跟蹤時(shí)間為0～2.2s，每0.2s取一次測(cè)點(diǎn)值。粒子的初始分布位置如圖5所示。

9個(gè)粒子壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化曲線以及與文獻(xiàn)8中高斯型光滑函數(shù)求得結(jié)果的比較如圖6所示。

圖6 3種光滑函數(shù)粒子壓強(qiáng)隨時(shí)間變化圖

由圖6可知：在追蹤時(shí)間0～2.2s內(nèi)，流體在重力作用下向右側(cè)滑落，位于流體左側(cè)1號(hào)粒子的壓強(qiáng)逐漸降低，4號(hào)和7號(hào)粒子壓強(qiáng)波動(dòng)并逐漸升高；在追蹤時(shí)間0～2.2s內(nèi)，位于流體中側(cè)2號(hào)和5號(hào)粒子的壓強(qiáng)先隨著流體向右側(cè)滑落逐漸降低，在反射波作用下壓強(qiáng)逐漸升高，當(dāng)反射波越過流體中部時(shí)8號(hào)粒子的壓強(qiáng)升高；隨著潰壩流體的自由下落和反射，位于流體右側(cè)3號(hào)、6號(hào)和9號(hào)粒子的壓強(qiáng)波動(dòng)明顯。因此，采用三次樣條型和Wenland型光滑函數(shù)計(jì)算得到的跟蹤粒子壓強(qiáng)過程線均與高斯型光滑函數(shù)的粒子壓強(qiáng)變化趨勢(shì)近似。

各個(gè)粒子三次樣條型光滑函數(shù)和Wenland型光滑函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與高斯型光滑函數(shù)粒子壓強(qiáng)的計(jì)算誤差見表3。

表3 與高斯型光滑函數(shù)粒子壓強(qiáng)的計(jì)算結(jié)果誤差表 %

續(xù)表3 與高斯型光滑函數(shù)粒子壓強(qiáng)的計(jì)算結(jié)果誤差表 %

由表3可知：三次樣條型光滑函數(shù)與Wenland型光滑函數(shù)計(jì)算結(jié)果誤差平均值分別為8.64%和5.31%。采用這2種光滑函數(shù)計(jì)算，粒子壓強(qiáng)，可靠度較高。

4 結(jié)論

基于SPH方法，采用三次樣條型與Wendland型2種不同的光滑函數(shù)模擬潰壩流動(dòng)，得到以下結(jié)論：

(1) 本文選取的2種光滑函數(shù)都可以較好地模擬潰壩流體與壁面相互作用產(chǎn)生的水花飛濺、融合、反彈形成波浪的過程，其流體壓力云圖、粒子壓強(qiáng)過程線均與高斯型光滑函數(shù)的計(jì)算結(jié)果一致。

(2) 三次樣條型光滑函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與高斯型光滑函數(shù)相比，精度略有降低，在水流沖擊壁面的過程中明顯可看到粒子分布散亂，但由于函數(shù)具有相對(duì)小量的緊支域，計(jì)算時(shí)間較短。

(3) Wendland型光滑函數(shù)在保證計(jì)算精度的同時(shí)又可以減少計(jì)算時(shí)間量，提高了運(yùn)算效率。

[1] LIU G R，LIU M B．光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)——一種無網(wǎng)格粒子法[M]．長沙：湖南大學(xué)出版社，2005．

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Smoothing Function Simulation of SPH Method Based on Dam-Break Model

LI Jingwen1, CHEN Changping1, SUN Jiawen2, CHEN Ronggeng1

(1.Dalian Ocean University,Dalian 116023,China;2. State Oceanic Administration, Dalian 116023,China)

In order to study the effect of smoothing function on the numerical simulation of dam break,based on the basic principle of Smoothed Particle Hydrodynamics(SPH), the dam-break is simulated by cubic spline smoothing function and Wendland smoothing function .By comparing the results of fluid pressure cloud and particle pressure with the bench of Gaussian smoothing function it can be conclused that cubic spline smoothing function and Wendland smoothing function can simulate the dam-break quite well.The calculation accuracy of cubic spline smoothing function is lower, but the calculation time is shorter. The Wendland smoothing function can both ensure the calculation accuracy and reduce the calculation time effectively. It provides a reference for the selection of smoothing function when hydrodynamic research is carried out by SPH method.

Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method; dam-break; smoothing function; numerical simulation

2017-01-05

李婧文(1992-)，女，碩士研究生

1001-4500(2017)02-0034-07

O352

A