蔣 平，鄭斌青，馮 雙

（東南大學(xué) 電氣工程學(xué)院，江蘇 南京 210096）

0 引言

我國電力系統(tǒng)飛速發(fā)展，已初步形成“西電東送，南北互供，全國聯(lián)網(wǎng)”的大區(qū)電網(wǎng)互聯(lián)的局面［1］。在電網(wǎng)可靠性得到提高、資源配置得到優(yōu)化的同時(shí)，低頻振蕩問題也成為影響電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的關(guān)鍵問題。關(guān)于低頻振蕩的起因，除了傳統(tǒng)觀點(diǎn)上的系統(tǒng)存在負(fù)阻尼會引起低頻振蕩，越來越多的研究發(fā)現(xiàn)持續(xù)性的周期小擾動(dòng)會引發(fā)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振蕩［2-4］，且當(dāng)振蕩頻率與系統(tǒng)的固有頻率相等時(shí)，系統(tǒng)功率振蕩幅值達(dá)到最大。強(qiáng)迫振蕩具有明確的擾動(dòng)源，起振快，表現(xiàn)為持續(xù)的等幅振蕩，當(dāng)擾動(dòng)源切除后，振幅迅速衰減。因此，快速準(zhǔn)確地定位擾動(dòng)源是抑制強(qiáng)迫振蕩首先需要考慮的問題。

實(shí)際電網(wǎng)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩時(shí)，擾動(dòng)源很難及時(shí)被發(fā)現(xiàn)和切除，擾動(dòng)源的定位受到了國內(nèi)外學(xué)者越來越多的關(guān)注。文獻(xiàn)［5-7］基于能量函數(shù)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中的振蕩能量，根據(jù)能量的轉(zhuǎn)換識別定位電網(wǎng)強(qiáng)迫擾動(dòng)源。文獻(xiàn)［8-9］構(gòu)建了不同層次的割集，根據(jù)割集流出的振蕩能量正負(fù)來判斷擾動(dòng)源是否位于割集內(nèi)部，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)源大致方位的識別。文獻(xiàn)［10］基于能量趨勢函數(shù)計(jì)算出的量化指標(biāo)來判斷擾動(dòng)源位置，在能量函數(shù)法的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，能夠提高定位的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)［11］提出基于廣域測量系統(tǒng)（WAMS）的空間特征橢球和決策樹混合定位擾動(dòng)源的新方法。文獻(xiàn)［12］采用滑動(dòng)數(shù)據(jù)窗法計(jì)算機(jī)電波到達(dá)時(shí)間來確定擾動(dòng)源的位置，引進(jìn)了機(jī)電波在振蕩源定位方面的應(yīng)用，提高了定位的快速性。

廣域測量系統(tǒng)的廣泛建設(shè)為擾動(dòng)源的定位提供了有效的技術(shù)手段。本文基于同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子方程，對發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率波動(dòng)、輸出電氣功率波動(dòng)及角頻率波動(dòng)間的相量關(guān)系進(jìn)行理論分析，給出了通過比較輸出電氣功率波動(dòng)和角頻率波動(dòng)之間的相位關(guān)系判斷擾動(dòng)源是否位于發(fā)電機(jī)上的理論依據(jù)；在此基礎(chǔ)上分析網(wǎng)絡(luò)中線路上的電氣量波動(dòng)的相位關(guān)系，提出一種通過比較頻率波動(dòng)與有功功率波動(dòng)之間的相位關(guān)系，判斷支路上的振蕩能量流向進(jìn)行擾動(dòng)源定位的方法。采用最小二乘法旋轉(zhuǎn)不變（TLS-ESPRIT）算法提取出主導(dǎo)頻率下電氣波動(dòng)量的相位參數(shù)，能夠直接利用振蕩初始階段獲取的數(shù)據(jù)，消除了采集的電氣量中非擾動(dòng)源決定的分量，提高了擾動(dòng)源定位的準(zhǔn)確性。此外，本文方法基于廣域測量系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)直接識別頻率和有功功率這2個(gè)電氣量的相位參數(shù)并進(jìn)行判斷，相對傳統(tǒng)的能量函數(shù)法，更加簡潔、直觀，降低了系統(tǒng)在線監(jiān)測分析的復(fù)雜性。

1 強(qiáng)迫振蕩系統(tǒng)的能量特性

假設(shè)電力系統(tǒng)在機(jī)械功率擾動(dòng)ΔPm=Acos（ωt）的擾動(dòng)下發(fā)生強(qiáng)迫振蕩，在平衡點(diǎn)附近線性化之后的發(fā)電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，M為發(fā)電機(jī)的慣性常量；Δδ為發(fā)電機(jī)功角相對于平衡點(diǎn)的偏移量；D為發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)；ΔPe為發(fā)電機(jī)輸出電氣功率波動(dòng)。

根據(jù)暫態(tài)能量函數(shù)建立的方法［6］，對式（1）進(jìn)行積分，可得：

在電力系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，功角波動(dòng)量、功率波動(dòng)量、頻率波動(dòng)量等都能夠用正弦函數(shù)來表示［2］。則式（2）中各個(gè)部分在振蕩周期內(nèi)的平均函數(shù)為：

其中，T為系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩的周期。

由式（3）可知，系統(tǒng)振蕩過程中，外施擾動(dòng)注入的能量在發(fā)電機(jī)阻尼上消耗一部分之后，剩余的振蕩能量從發(fā)電機(jī)流向系統(tǒng)。

2 強(qiáng)迫振蕩定位方法

2.1 發(fā)電機(jī)上擾動(dòng)源的定位

設(shè)某一機(jī)組原動(dòng)機(jī)上產(chǎn)生機(jī)械功率擾動(dòng)，從而引起電力系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩。將式（1）轉(zhuǎn)換為相量形式，可表示為：

其中，ΔPm、ΔPe、Δω 分別為機(jī)械功率波動(dòng) ΔPm、電氣功率波動(dòng)ΔPe以及角頻率波動(dòng)Δω的相量形式；Ω=2π/T。

根據(jù)式（4）可得，振蕩穩(wěn)態(tài)階段發(fā)電機(jī)機(jī)械功率波動(dòng)ΔPm、輸出電氣功率波動(dòng)ΔPe以及角頻率波動(dòng)Δω的相量關(guān)系如圖1所示。

圖1 振蕩過程中 ΔPm、ΔPe、Δω 的相量關(guān)系圖Fig.1 Phasor relationship among ΔPm，ΔPeand Δω during oscillation

圖1中，α為ΔPe相對于Δω的波動(dòng)相位；β為ΔPm相對于Δω的波動(dòng)相位。由式（4）可以知道，相量 jΩ MΔω+DΔω、ΔPe和 ΔPm組成一個(gè)相量三角形，由圖1可得Δω的相位超前于ΔPe的相位，且相位差 α＜90°。

由圖1可知：當(dāng)β增大時(shí)，α也隨之增大，直至α=90°，即表示單機(jī)無窮大系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩時(shí)的相量圖；當(dāng)D減小時(shí)，ΔPe首端從點(diǎn)b向點(diǎn)a移動(dòng)，ΔPe的幅值也隨之增大，且其在Δω正方向的投影也隨之增大。因此，增大阻尼系數(shù)D是能夠抑制強(qiáng)迫振蕩的直接手段。

如果擾動(dòng)源不在原動(dòng)機(jī)上，此時(shí)有：

其中，K（s）為原動(dòng)機(jī)及調(diào)速器的傳遞函數(shù)，具有負(fù)實(shí)部［13］。式（5）表示原動(dòng)機(jī)只含有由于轉(zhuǎn)速反饋控制產(chǎn)生的機(jī)械功率波動(dòng)，代入式（4）后，穩(wěn)態(tài)階段機(jī)械功率波動(dòng)ΔPm、輸出電氣功率波動(dòng)ΔPe和角頻率波動(dòng)Δω的相量關(guān)系如圖2所示。

圖2 擾動(dòng)源不在原動(dòng)機(jī)上時(shí)振蕩過程中ΔPm、ΔPe、Δω 的相量關(guān)系圖Fig.2 Phasor relationship among ΔPm，ΔPeand Δω during oscillation when prime mover is not disturbance source

圖2中，ΔPm位于第二象限，由此可得α＞90°。

根據(jù)以上分析，可得擾動(dòng)源是否位于發(fā)電機(jī)上的判據(jù)為：

其中，φω、φPe分別為發(fā)電機(jī)角頻率波動(dòng)的相位和輸出電氣功率波動(dòng)的相位。如果式（6）成立，那么擾動(dòng)源位于發(fā)電機(jī)上；否則，擾動(dòng)源不在發(fā)電機(jī)上。

2.2 網(wǎng)絡(luò)支路（非發(fā)電機(jī)）母線上擾動(dòng)源的定位

根據(jù)第1節(jié)分析可知，發(fā)電機(jī)上擾動(dòng)源注入的振蕩能量除了消耗在阻尼上，剩余的能量向外輸出。2.1節(jié)根據(jù)發(fā)電機(jī)輸出電氣功率波動(dòng)ΔPe與角頻率波動(dòng)Δω之間的相位關(guān)系判斷擾動(dòng)源是否位于發(fā)電機(jī)上，實(shí)際反映出發(fā)電機(jī)振蕩能量的流向，若發(fā)電機(jī)是擾動(dòng)源，則振蕩勢能從發(fā)電機(jī)流出；反之，則流入發(fā)電機(jī)。

在高壓輸電線中，電抗遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電阻，所以電阻可以忽略不計(jì)。由于電壓幅值與有功功率的耦合非常小，因此在有功功率發(fā)生振蕩時(shí)，節(jié)點(diǎn)電壓幅值可看作不變。

假設(shè)一條與發(fā)電機(jī)相連的支路為Lei，j。雖然發(fā)電機(jī)所在母線以及變壓器的等值電阻不可省略，但其等效電阻與電抗的比值仍然較小，對Lei，j上有功功率波動(dòng)影響非常小，幾乎可以忽略不計(jì)。將線路Lei，j上的有功功率表達(dá)式線性化之后，可得：

其中，Uei、Uj分別為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓以及節(jié)點(diǎn)j的電壓；X∑為支路的電抗；Δδei、Δθj分別為發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)電壓相角波動(dòng)和節(jié)點(diǎn)j的電壓相角波動(dòng)；ΔPei，j為線路上的有功功率波動(dòng)（發(fā)電機(jī)輸出的電氣功率波動(dòng)）；K=UeiUj/X∑。

對式（7）兩邊求導(dǎo)，并用相量表示為：

其中，Δωei、Δωj分別為發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)角頻率波動(dòng)Δωei和節(jié)點(diǎn)j的角頻率波動(dòng)Δωj的相量形式。

分別在發(fā)電機(jī)為擾動(dòng)源以及發(fā)電機(jī)不是擾動(dòng)源的情況下，即振蕩能量在Lei，j上從發(fā)電機(jī)流向節(jié)點(diǎn)j以及從節(jié)點(diǎn)j流向發(fā)電機(jī)，作出式（10）對應(yīng)的相量圖，分別如圖 3、圖 4 所示。 圖 3、4 中，α1為 ΔPei，j與Δωj之間的夾角。 圖 3 中，α1＜90°，節(jié)點(diǎn) j上的振蕩能量的流向與有功功率流向一致?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著Ω/K 的大小變化，Δωj的相位從超前 ΔPei，j的相位變成滯后 ΔPei，j的相位。 圖 4 中，α1＞90°，節(jié)點(diǎn) j上振蕩能量的流向與有功功率流向相反。

圖3 發(fā)電機(jī)是擾動(dòng)源時(shí)振蕩過程中 ΔPei、Δωei、Δωj的相量關(guān)系圖Fig.3 Phasor relationship among ΔPei，Δωei，Δωjduring oscillation when generator is disturbance source

圖4 發(fā)電機(jī)不是擾動(dòng)源時(shí)振蕩過程中 ΔPei、Δωei、Δωj的相量關(guān)系圖Fig.4 Phasor relationship among ΔPei，Δωei，Δωjduring oscillation when generator is not disturbance source

將式（8）用時(shí)域表示并對兩邊進(jìn)行積分，可得：

從式（9）可以發(fā)現(xiàn)，振蕩能量隨著支路節(jié)點(diǎn)電壓角頻率變化和傳輸?shù)挠泄β首兓刂妨鲃?dòng)，母線電壓角頻率偏差Δωj與支路有功功率偏差ΔPei，j之間的相量關(guān)系反映了振蕩能量流向。其中，節(jié)點(diǎn)頻率偏差 Δfi=Δωi/（2π），因此 Δfi與 Δωi同相位。可將2.1節(jié)中的判據(jù)推廣到網(wǎng)絡(luò)中不含發(fā)電機(jī)母線的支路上，即：

其中，φfi、φPij分別為節(jié)點(diǎn)電壓頻率波動(dòng)量的相位和與節(jié)點(diǎn)相連支路上的有功功率波動(dòng)的相位。如果式（10）成立，那么支路上振蕩能量的流向與有功功率流向一致；否則，振蕩能量的流向與有功功率流向相反。振蕩過程中，電壓幅值的波動(dòng)很小，對有功波動(dòng)的影響可以忽略不計(jì)。對于一般線路而言，由于電阻的存在，會使相位差發(fā)生變化，但偏差非常小且不影響判據(jù)的判定結(jié)果。

周期性負(fù)荷擾動(dòng)等效于對發(fā)電機(jī)施加一個(gè)與周期性負(fù)荷擾動(dòng)同步的強(qiáng)迫項(xiàng)。因此，當(dāng)擾動(dòng)源位于負(fù)荷上時(shí)，上述方法仍能實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)源的準(zhǔn)確定位。

3 強(qiáng)迫振蕩的在線監(jiān)測定位

3.1 基于TLS-ESPRIT算法獲取波動(dòng)相位

第2節(jié)中強(qiáng)迫振蕩源的定位是對振蕩的穩(wěn)態(tài)階段的波動(dòng)相位關(guān)系進(jìn)行分析，而電力系統(tǒng)在發(fā)生強(qiáng)迫振蕩的初始階段，除了含有由擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)分量，還包含由初始條件引起的瞬態(tài)分量。在電力系統(tǒng)實(shí)際振蕩過程中，判斷振蕩進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段的時(shí)間點(diǎn)是比較困難的，而且如果系統(tǒng)的固有頻率較低或阻尼較弱，振蕩的過渡時(shí)間會比較長。因此需要盡快獲取電氣波動(dòng)的穩(wěn)態(tài)量。

設(shè)波動(dòng)信號f（n）可以表示為一系列幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號與白噪聲的組合，在采樣時(shí)刻n，其表達(dá)式為：

其中，Ts為采樣周期；由于采樣信號為實(shí)信號，N通常為信號實(shí)際含有的實(shí)正弦分量個(gè)數(shù)的 2 倍；ai、φi、ωi、σi分別為第i個(gè)衰減分量的幅值、初始相位、角頻率和衰減系數(shù)；w為均值為0的白噪聲。

TLS-ESPRIT算法是ESPRIT算法的擴(kuò)展，是一種基于子空間的高分辨率信號分析方法［14］。利用相量測量單元（PMU）監(jiān)測獲取的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，TLS-ESPRIT算法能夠計(jì)算出信號中各分量的頻率大小、衰減系數(shù)及阻尼比，通過最小二乘法求取信號幅值和初始相位。因此可以提取出強(qiáng)迫振蕩的主導(dǎo)頻率即共振頻率，獲取相應(yīng)的波動(dòng)相位。而且如果實(shí)測的數(shù)據(jù)中含有異常數(shù)據(jù)，經(jīng)過預(yù)處理剔除之后，TLS-ESPRIT算法仍能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行模態(tài)分析。

3.2 振蕩源定位流程

根據(jù)以上分析，可以基于廣域測量系統(tǒng)獲得的實(shí)測數(shù)據(jù)，根據(jù)模態(tài)的辨識結(jié)果，得到擾動(dòng)源的在線監(jiān)測定位方法，步驟主要分為3步：（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理，剔除異常數(shù)據(jù)；（2）獲取相位，比較相位關(guān)系并判斷支路振蕩能量流向；（3）判斷支路振蕩能量是否都流出該母線，若是則振蕩源位于該母線上。振蕩源定位流程如圖5所示。

4 算例分析

本文分別在4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)中進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證本文提出方法的可行性及有效性。

4.1 4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)

4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖［15］如圖6所示。根據(jù)小干擾分析可知，該系統(tǒng)包含1個(gè)區(qū)間振蕩模式，頻率為0.64 Hz。從0 s開始對該模式的強(qiáng)相關(guān)機(jī)組G1額外施加持續(xù)性的原動(dòng)機(jī)功率擾動(dòng)，擾動(dòng)頻率為0.64 Hz，擾動(dòng)幅值為0.01 p.u.，仿真時(shí)間為20 s。此時(shí)，系統(tǒng)區(qū)域間發(fā)生強(qiáng)迫振蕩，區(qū)域間聯(lián)絡(luò)線上有功功率P12的波動(dòng)曲線如圖7所示。

圖5 擾動(dòng)源在線監(jiān)測定位流程圖Fig.5 Flowchart of online disturbance source monitoring and locating

圖6 4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)Fig.6 Four-generator two-area system

圖7 聯(lián)絡(luò)線有功功率振蕩波形Fig.7 Oscillation waveform of tie-line active power

TLS-ESPRIT算法獲取主導(dǎo)振蕩頻率下的波動(dòng)相位并進(jìn)行能量流向判斷，其結(jié)果如表1所示。

由表1中判別結(jié)果，首先根據(jù)節(jié)點(diǎn)7的頻率波動(dòng)與支路7-8上有功波動(dòng)的相位差的絕對值為49°，可以判斷聯(lián)絡(luò)線7-8上的振蕩能量與有功方向一致，振蕩能量從區(qū)域1流向區(qū)域2，故判定擾動(dòng)源位于區(qū)域1；同理，分別進(jìn)行機(jī)組出線G1-1和G2-2上支路振蕩能量流向判別，振蕩能量從發(fā)電機(jī)G1流出，而從發(fā)電機(jī)G2流入，故可判斷擾動(dòng)源位于發(fā)電機(jī)G1上，與實(shí)際情況相符合。

表1 波動(dòng)相位及其判別結(jié)果Table1 Fluctuation phase-angles and recognition results

如果在系統(tǒng)發(fā)生振蕩過程中，測量數(shù)據(jù)存在異常，數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后用TLS-ESPRIT算法進(jìn)行模態(tài)辨識，曲線擬合結(jié)果如圖8所示。獲取主導(dǎo)頻率下的相位 φP7-8=163.4°。

圖8 振蕩模態(tài)辨識曲線擬合結(jié)果Fig.8 Result of curve-fitting by oscillation mode identification

同理，獲得主導(dǎo)頻率下相應(yīng)節(jié)點(diǎn)頻率波動(dòng)相位φf7=116.7°，求得相位差的絕對值為 46.7°，這與計(jì)算結(jié)果49°相差不大，仍能夠正常判斷出振蕩能量的走向，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)源的準(zhǔn)確定位。

4.2 實(shí)際區(qū)域電網(wǎng)仿真分析

現(xiàn)以某區(qū)域電網(wǎng)在某種常見運(yùn)行方式下進(jìn)行仿真，其局部接線圖如圖9所示。

圖9 實(shí)際電網(wǎng)局部接線圖Fig.9 Partial diagram of actual power system

經(jīng)過小干擾穩(wěn)定分析得到某臺發(fā)電機(jī)強(qiáng)相關(guān)的局部振蕩模式，頻率為0.8 Hz。在該臺發(fā)電機(jī)附近的負(fù)荷母線上施加幅值為0.1 p.u.、擾動(dòng)頻率為0.8 Hz的持續(xù)性波動(dòng)負(fù)荷，此時(shí)該系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩。根據(jù)功率波動(dòng)的情況，選取振蕩情況較明顯的支路進(jìn)行分析。判別結(jié)果如表2所示。根據(jù)表2，首先分析支路SYL-SYLB和SYL-STW，獲得有功波動(dòng)相位與節(jié)點(diǎn)電壓頻率波動(dòng)相位之差的絕對值分別為52.5°和65°，可以發(fā)現(xiàn)振蕩能量流向與有功流向一致，從母線STW流入母線SYL，又從母線SYL流入母線SYLB，并由母線SYLB流向其他母線節(jié)點(diǎn)。

表2 波動(dòng)相位及其判別結(jié)果Table2 Fluctuation phase-angles and recognition results

根據(jù)振蕩能量流向逆向選取母線STW。再分析支路 STW-SYD、STW-STW_1及 STW-STW_2，根據(jù)相位差判據(jù)可以發(fā)現(xiàn)振蕩能量由母線STW流入母線SYD和STW_2，由母線STW_1流向母線STW。

反向選取母線STW_1，分析支路STW_1-G1，根據(jù)相位差可以發(fā)現(xiàn)振蕩能量由母線STW_1流入發(fā)電機(jī)G1。因此，可判斷擾動(dòng)源位于負(fù)荷母線STW_1上，與實(shí)際情況一致。

5 結(jié)論

本文從有功功率波動(dòng)和電壓頻率波動(dòng)之間的相量關(guān)系角度，采用相量法進(jìn)行理論分析，給出了振蕩能量的流向判據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)強(qiáng)迫擾動(dòng)源的定位。通過在4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)以及實(shí)際區(qū)域電網(wǎng)仿真，驗(yàn)證了該方法的可行性及有效性。本文定位方法采用TLSESPRIT算法提取出主導(dǎo)頻率下的相位信息，能夠消除瞬態(tài)階段自由分量以及異常數(shù)據(jù)對判別結(jié)果的影響。該方法只需獲取支路有功功率以及母線電壓頻率的數(shù)據(jù)，均來自于母線上PMU的實(shí)測數(shù)據(jù)，從而能夠具體對網(wǎng)絡(luò)某條支路進(jìn)行分析。該定位方法簡單、直觀，最大限度地減少了在線監(jiān)測分析的復(fù)雜性。

此外正確區(qū)分振蕩性質(zhì)并進(jìn)行識別定位擾動(dòng)源，將會提高定位方法的應(yīng)用廣泛性以及實(shí)用性，這也將成為下一步研究的重要內(nèi)容。

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