張 芳，仇雪芳 ，李傳棟

（1.天津大學(xué) 智能電網(wǎng)教育部重點實驗室，天津 300072；2.福建省電力有限公司電力科學(xué)研究院，福建 福州 350007）

0 引言

電力系統(tǒng)動態(tài)過程通常分為三部分：電磁暫態(tài)過程、機電暫態(tài)過程和中長期過程。其中電磁暫態(tài)過程持續(xù)時間為毫秒級；機電暫態(tài)過程持續(xù)時間為秒級，一般為十幾秒；中長期過程持續(xù)時間為分鐘級，一般從幾分鐘到幾十分鐘，甚至幾小時。電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真是指把電力系統(tǒng)的機電暫態(tài)過程、中長期過程有機地統(tǒng)一起來進行仿真，其特點就是要實現(xiàn)快速的機電暫態(tài)過程和慢速的中長期過程的統(tǒng)一仿真［1］。

電力系統(tǒng)中長期動態(tài)仿真主要有以下特點。

a.電力系統(tǒng)中長期過程涉及廣泛的動態(tài)元件計算模型，除了最基本的暫態(tài)穩(wěn)定過程的各類計算模型外，還包括中長期動態(tài)元件計算模型，如汽輪機、調(diào)速器、自動發(fā)電控制AGC（Automatic Generation Control）等。與電力系統(tǒng)機電暫態(tài)過程相比，該過程的模型階數(shù)高，動態(tài)元件響應(yīng)的時間常數(shù)從幾十毫秒到一百秒以上，差異較大，系統(tǒng)呈現(xiàn)強剛性［2］。

b.電力系統(tǒng)中長期動態(tài)仿真用于研究系統(tǒng)受擾后較長時間的動態(tài)過程。因此，仿真時間會長達數(shù)分鐘、幾十分鐘甚至更長，時間跨度較大。

基于以上特點，相對于電力系統(tǒng)機電暫態(tài)過程，中長期過程仿真對數(shù)值積分算法的數(shù)值穩(wěn)定性、收斂性和計算效率提出了更高的要求。目前國內(nèi)外學(xué)者對中長期仿真算法的研究可以分兩大類。

第一類是Gear類數(shù)值積分法。該方法在現(xiàn)有的機電暫態(tài)及中長期動態(tài)一體化程序應(yīng)用較多，如美國和日本共同開發(fā)的EXSTAB程序［3］、ABB公司的SIMPOW程序［4］及中國電力科學(xué)研究院研發(fā)的全過程動態(tài)仿真程序［5］等。文獻［6］將 Gear法用于電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真，并對其具體原理進行了詳細介紹；文獻［7-10］分別對電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真中的模型做了闡述；文獻［11］用具體的仿真算例驗證了基于Gear法的電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真程序的有效性。Gear類數(shù)值積分方法可以使仿真采用統(tǒng)一的積分算法，但仍存在以下缺陷：穩(wěn)定性，Gear數(shù)值積分法只有精度階是1階和2階時是A穩(wěn)定的；計算精度，2階的Gear數(shù)值積分法在局部截斷誤差的精度上比2階的隱式梯形積分法要差；機電暫態(tài)仿真效率，在機電暫態(tài)仿真過程中間斷點較多，Gear法一直保持小步長計算，仿真效率低；變階變步長，自動變階變步長計算較復(fù)雜。

針對Gear法機電暫態(tài)仿真效率低的問題，文獻［12-13］提出了隱式梯形積分法與Gear法的組合積分法，并用于電力系統(tǒng)中長期過程仿真。其中機電暫態(tài)仿真采用隱式梯形積分法有效地解決了Gear法在機電暫態(tài)過程仿真中計算速度過慢的問題，但Gear法在中長期過程仿真中計算精度較低、變階變步長計算復(fù)雜等問題仍然存在。

第二類是多速率仿真方法。該方法是根據(jù)局部截斷誤差或系統(tǒng)的物理特性對系統(tǒng)進行拓撲分割，對分割后的變量采用不同的方法進行仿真分析，但多速率仿真方法在快變分量和慢變分量的劃分準(zhǔn)則、全局步長和局部步長的選取、誤差范圍的選取等方面尚未形成標(biāo)準(zhǔn)，有待進一步完善［14-17］。

2階的Gear法和隱式梯形積分法精度階低，不能很好地滿足中長期過程仿真的需求。近年來在機電暫態(tài)仿真中活躍應(yīng)用的Taylor級數(shù)法具有高精度階的特點，并實現(xiàn)了從顯式非A穩(wěn)定到隱式A穩(wěn)定的轉(zhuǎn)變［18-25］。高精度階A穩(wěn)定的Taylor級數(shù)法使得在中長期仿真中采用大步長計算成為可能，從而能夠在提高計算效率的同時減小累積誤差，這正是本文所提新算法的出發(fā)點。目前Taylor級數(shù)法在電力系統(tǒng)機電暫態(tài)仿真領(lǐng)域應(yīng)用較多，在中長期過程仿真中鮮有應(yīng)用。

本文分析了電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真系統(tǒng)的特點和現(xiàn)有中長期過程動態(tài)仿真數(shù)值積分方法存在的問題，結(jié)合現(xiàn)有Taylor級數(shù)類方法高精度階A穩(wěn)定的特點，探索性地將Taylor級數(shù)法應(yīng)用到中長期過程動態(tài)仿真計算中，提出了一種新的適合電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真的組合積分算法，并通過算例驗證了所提算法的有效性和可行性。

1 剛性非線性系統(tǒng)

1.1 剛性非線性系統(tǒng)求解

考慮非線性系統(tǒng)：

其中，x（t）=［x1（t），x2（t），…，xm（t）］T為待求 m 維向量函數(shù)，t為時間。若雅可比矩陣?f/?x的特征值λi（i=1，2，…，m）實部小于 0，且實部絕對值的最大值與最小值相差很大，則系統(tǒng)是剛性系統(tǒng)［26］。

剛性非線性系統(tǒng)對數(shù)值積分方法的要求不同于一般的非線性系統(tǒng)。首先，求解剛性系統(tǒng)的數(shù)值方法，應(yīng)該能夠保證每個 μi=hλi（i=1，2，…，m）的值都在方法的絕對穩(wěn)定域內(nèi)，其中h為仿真步長。由于剛性系統(tǒng)雅可比矩陣的特征值實部小于0，因此，數(shù)值方法的絕對穩(wěn)定域應(yīng)該包括復(fù)平面的開左半平面，即A穩(wěn)定的。其次，A穩(wěn)定性不能完全滿足剛性系統(tǒng)對數(shù)值方法的穩(wěn)定性要求。一些A穩(wěn)定的數(shù)值方法，當(dāng)時，有，其中｛xn｝是用固定步長求解式（1）時得到的解序列。這種現(xiàn)象使得在解析解中一些很快衰減到零的量在數(shù)值解中表現(xiàn)成緩慢地衰減，甚至可能變成振蕩的分量。針對以上現(xiàn)象，文獻［26］提出了無限穩(wěn)定性的概念：當(dāng)時，有，則該方法是無限穩(wěn)定的。最后，求解剛性系統(tǒng)的數(shù)值方法應(yīng)該能夠收斂于盡可能高的精度階，以確保方法能夠在較小的誤差要求下實現(xiàn)較大的步長。

1.2 電力系統(tǒng)中長期過程的微分代數(shù)方程組

電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真需要求解的微分代數(shù)方程組DAE（Differential Algebraic Equations）可表示為：

其中，x為所有微分變量組成的狀態(tài)向量；y為所有代數(shù)變量組成的代數(shù)向量。微分方程組描述電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)元件的特性；代數(shù)方程組描述電力系統(tǒng)靜態(tài)元件的特性，一般為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)方程。

由前文所述的電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真的特點可知，式（2）表示的電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真系統(tǒng)是典型的剛性非線性系統(tǒng)。因此，電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真采用的數(shù)值積分算法，應(yīng)適用于求解剛性微分代數(shù)方程組，并且盡可能具有較高的計算效率。

2 多步高階隱式Taylor級數(shù)法

2.1 3步4階隱式Taylor級數(shù)法的構(gòu)造

結(jié)合隱式多步積分公式，構(gòu)造多步高階隱式Taylor級數(shù)法。文獻［23］詳細介紹了多步高階隱式Taylor級數(shù)法積分計算通式的構(gòu)造原則及一般格式，本文采用的3步4階隱式Taylor級數(shù)法積分公式構(gòu)造如下：

其中，αj（j=1，2，3）、βj（j=1，2，3，4）為待定常系數(shù)；xi，n為變量xi在第tn時刻的值；為xi，n的第j階導(dǎo)數(shù)。本文對文獻［23］確定3步4階隱式Taylor級數(shù)法積分公式中待定常系數(shù)的方法進行了改進，通過Taylor級數(shù)匹配原理確定待定常系數(shù)，具體如下。

式（3）的局部截斷誤差為：

將 xi，n-j（j=1，2，3）在 xi，n處進行 Taylor展開，代入式（4），整理后得：

式（3）有7個待定系數(shù)，需要7個方程才能求解。因此，對應(yīng)式（5）的Taylor展開式中…，6）前的系數(shù)均為0，即可求得7個待定系數(shù)的唯一解。從而對應(yīng)的3步4階隱式Taylor級數(shù)法積分公式為：

即有：

由式（5）可知，3步4階隱式Taylor級數(shù)法精度階為6階，將 αi（i=1，2，3）代入前的系數(shù)，可得最大局部截斷誤差常數(shù)約為1/2300，遠小于隱式梯形積分法和2階Gear法的最大局部截斷誤差常數(shù)（分別為 1/12 和 1/3）。

2.2 3步4階隱式Taylor級數(shù)法A穩(wěn)定性分析

下面通過試驗方程討論3步4階隱式Taylor級數(shù)法的數(shù)值穩(wěn)定性。

初值問題的試驗方程如下：

根據(jù)積分公式（6），得到對應(yīng)的特征方程為：

其中，μ=λh。令，用描點法畫出式（9）在復(fù)平面內(nèi)的穩(wěn)定域如圖1所示。圖中陰影面積外部為算法的穩(wěn)定區(qū)域，可見3步4階Taylor級數(shù)法的數(shù)值穩(wěn)定域包含了整個開左半復(fù)平面，算法為A穩(wěn)定的。

圖1 3步4階隱式Taylor級數(shù)法穩(wěn)定域Fig.1 Stability region of three-step four-derivative implicit Taylor series method

2.3 3步4階隱式Taylor級數(shù)法無限穩(wěn)定性分析

將試驗方程（8）中的第一個式子遞推求得，代入積分公式（6），化簡整理得：

當(dāng)時，式（10）有。因此，由式（6）構(gòu)造的積分公式是無限穩(wěn)定的。

綜上，3步4階隱式Taylor級數(shù)法的精度階為6階，比隱式梯形積分法或2階Gear法的精度更高。精度階的提高和局部截斷誤差常系數(shù)的減小為電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真中采用大步長仿真帶來契機。另外，該算法具有A穩(wěn)定性和無限穩(wěn)定性，適于求解剛性非線性系統(tǒng)。

3 新組合積分算法

3.1 新組合積分算法的構(gòu)造

如第2節(jié)所述，3步4階隱式Taylor級數(shù)法具有6階精度、A穩(wěn)定以及無限穩(wěn)定性，能夠采用大步長進行仿真計算，適用于電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真。該算法每一仿真時步均需要遞推各變量的高階導(dǎo)數(shù)，計算量較大，當(dāng)仿真步長過小時，總的仿真效率會降低。在機電暫態(tài)過程中，間斷點較多，為保證對機電暫態(tài)變化過程的詳細描述，仿真步長不宜過大。因此，本文在機電暫態(tài)過程仿真中不采用3步4階隱式Taylor級數(shù)法。隱式梯形積分法在電力系統(tǒng)機電暫態(tài)過程仿真中應(yīng)用廣泛，該算法能夠自啟動計算，具有A穩(wěn)定性，能高效處理機電暫態(tài)過程仿真模型中出現(xiàn)的間斷問題。綜上所述，為充分發(fā)揮上述2種積分算法各自的優(yōu)點，本文提出了新的組合積分算法：在電力系統(tǒng)機電暫態(tài)過程中采用固定小步長的隱式梯形積分法；在中長期過程中采用固定大步長的3步4階隱式Taylor級數(shù)法。

機電暫態(tài)過程中，如系統(tǒng)發(fā)生短路故障，或發(fā)生發(fā)電機跳閘、線路斷線、負荷切除等操作時采用隱式梯形積分法；當(dāng)機電暫態(tài)過程基本平息，切換至3步4階隱式Taylor級數(shù)法。2種積分方法之間的切換需依照一定的策略，本文暫且采用相對簡單的切換策略，即機電暫態(tài)過程采用隱式梯形積分法，根據(jù)機電暫態(tài)過程持續(xù)的時間，切換至3步4階隱式Taylor級數(shù)法。不同的故障對應(yīng)不同的切換時間，文中切機故障的機電暫態(tài)過程持續(xù)時間設(shè)為5 s，三相短路故障設(shè)為10 s。目前本文根據(jù)機電暫態(tài)持續(xù)時間切換的策略還較為簡單和粗糙。切換判據(jù)是影響電力系統(tǒng)中長期動態(tài)仿真性能的一個重要因素，高效的切換判據(jù)應(yīng)能指導(dǎo)2種積分方法在恰當(dāng)?shù)姆抡鏁r刻切換，既要保證對機電暫態(tài)過程的詳細描述，又要保證中長期過程動態(tài)仿真的高計算效率。因此，研究行之有效的切換判據(jù)需要依據(jù)堅實的理論基礎(chǔ)，是今后進一步研究的內(nèi)容。

3.2 基于新算法的中長期過程動態(tài)仿真計算流程

新算法中采用的隱式梯形積分法是傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法，應(yīng)用已經(jīng)相當(dāng)成熟，本文不再贅述。下面重點闡述3步4階隱式Taylor級數(shù)法的仿真計算過程。

（1）收縮節(jié)點導(dǎo)納矩陣，遞推求解式（7）中各狀態(tài)變量的高階導(dǎo)數(shù)。Taylor級數(shù)法的核心是各狀態(tài)變量高階導(dǎo)數(shù)的求解。本文采用文獻［27］遞推求解各狀態(tài)變量高階導(dǎo)數(shù)的方法，負荷采用恒阻抗模型。消去負荷節(jié)點、聯(lián)絡(luò)節(jié)點和故障節(jié)點后，收縮到只含發(fā)電機節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)方程為：

將式（11）寫成緊湊形式：

其中，ng為發(fā)電機節(jié)點數(shù)；U和I分別為發(fā)電機節(jié)點端電壓向量和注入電流向量；Y為收縮到只含發(fā)電機節(jié)點的導(dǎo)納矩陣。代數(shù)變量的高階導(dǎo)數(shù)可通過解算網(wǎng)絡(luò)方程（11）求得，在遞推求取各狀態(tài)變量高階導(dǎo)數(shù)的過程中，與發(fā)電機節(jié)點相關(guān)的各狀態(tài)變量和代數(shù)變量的高階導(dǎo)數(shù)交替計算，與其他節(jié)點的變量無關(guān)。

（2）聯(lián)立求解式（7）和式（12）。文獻［19］將 Taylor級數(shù)法用于機電暫態(tài)仿真時采用的是簡單迭代法。文獻［12］指出，對于剛性系統(tǒng)采用簡單迭代法會限制仿真步長的增大，而用牛頓法迭代求解能在數(shù)值積分中使用較大的步長。因此，本文在中長期動態(tài)仿真中采用牛頓迭代法，迭代公式可寫為：

其中，L為截斷誤差L組成的向量；k為迭代次數(shù)；xn，k、yn，k為 tn時刻第k 次迭代的向量；Δxn，k、Δ yn，k為第k次迭代的修正量向量。

由式（7）可知，3步4階隱式Taylor級數(shù)法形成雅可比矩陣時需要求出各狀態(tài)變量高階導(dǎo)數(shù)的計算表達式，再對各變量求偏導(dǎo)數(shù)，而狀態(tài)變量高階導(dǎo)數(shù)的計算表達式較為復(fù)雜。為降低形成雅可比矩陣的復(fù)雜度，減少每次迭代形成雅可比矩陣及LU分解的計算量，同時考慮到在數(shù)值積分過程中雅可比矩陣的元素值變化較慢，可采用恒定的雅可比矩陣。借鑒文獻［28］中機電暫態(tài)仿真恒定雅可比矩陣形成的經(jīng)驗，本文給出了3步4階隱式Taylor級數(shù)法形成恒定雅可比矩陣的簡化規(guī)則：一階導(dǎo)數(shù)的式子中僅保留對各變量求偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項；二階及以上導(dǎo)數(shù)式子保留與一階導(dǎo)數(shù)含相同的變量的項，省略遞推過程出現(xiàn)的含新變量的項。對雅可比矩陣的簡化只影響迭代過程，而不影響聯(lián)立求解非線性方程組的計算結(jié)果的精度。

采用3步4階隱式Taylor級數(shù)法仿真計算的步驟如下。

a.預(yù)測初值。用顯式4階Taylor級數(shù)法預(yù)測狀態(tài)變量初值 xi，n，0，預(yù)測公式如下：

將式（15）得到的狀態(tài)變量初值代入網(wǎng)絡(luò)方程（11），求代數(shù)變量的迭代初值 yj，n，0。

b.遞推求取高階導(dǎo)數(shù)。按文獻［27］的方法遞推求取狀態(tài)變量和代數(shù)變量當(dāng)前時步迭代值的高階導(dǎo)數(shù)。

c.計算右端不平衡量。將當(dāng)前時步各變量迭代值的高階導(dǎo)數(shù)及前3時步已收斂的值代入式（7）和式（12），求得式（13）的右端不平衡量 L（xi，n，k，yi，n，k）、p（yj，n，k，xi，n，k）。

d.計算修正量。求解式（13），得到各狀態(tài)變量和代數(shù)變量的修正量 Δxi，n，k、Δyj，n，k。

e.收斂判定。若，迭代結(jié)束，當(dāng)前時步計算完畢；否則，修正變量 xi，n，k+1=xi，n，k+Δxi，n，k、yj，n，k+1=yj，n，k+ Δyj，n，k，然后返回步驟 b。

圖2 基于新算法的電力系統(tǒng)中長期動態(tài)仿真流程圖Fig.2 Flowchart of power system mid/long-term dynamic simulation based on new algorithm

圖2為基于新組合積分算法的電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真流程圖。由圖可知，隱式梯形積分法和3步4階隱式Taylor級數(shù)法均采用聯(lián)立求解的方法求解DAE方程組，并且均采用恒定雅可比矩陣的牛頓法。

3.3 新組合積分算法的計算效率分析

隱式梯形積分法在機電暫態(tài)仿真中采用恒定的雅可比矩陣，仿真計算時采用固定的小步長，機電暫態(tài)仿真模型中的間斷問題容易處理，仿真效率高。其仿真步長一般取0.01～0.02 s。

3步4階隱式Taylor級數(shù)法的精度階為6階，最大局部截斷誤差常系數(shù)約為 1/2300（1/7?。?/2300＜1/6?。?，在中長期動態(tài)仿真中采用固定的大步長仿真時，對ε=10-5的收斂精度，經(jīng)過較少次數(shù)的迭代即可收斂?？紤]到仿真步長過大時迭代次數(shù)的增加反而會降低總的仿真效率，本文仿真步長的合適取值為0.1 s，為隱式梯形積分法的5～10倍。另外，在數(shù)值積分過程中采用恒定雅可比矩陣，每次迭代不需要重新形成雅可比矩陣以及進行LU分解；收縮到只含發(fā)電機節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)方程后，式（13）的維數(shù)降低，每次迭代的計算量減少?？梢?，3步4階隱式Taylor級數(shù)法在中長期動態(tài)仿真中效率較高。

綜上，從理論上說明了新組合積分算法在電力系統(tǒng)機電暫態(tài)及中長期過程動態(tài)仿真中能有較高的仿真效率。下面通過仿真算例對其進行驗證。

4 仿真算例

仿真算例采用新英格蘭系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。發(fā)電機G1為平衡機，采用經(jīng)典模型，其他發(fā)電機均采用雙軸模型；除平衡機外，其他發(fā)電機采用IEEE DC-I型勵磁系統(tǒng)。所有發(fā)電機均考慮了汽輪機及其調(diào)速器模型：汽輪機采用串聯(lián)組合、單再熱器模型；調(diào)速器采用液壓調(diào)速器模型。負荷采用恒阻抗模型。

圖3 新英格蘭系統(tǒng)圖Fig.3 New England system

4.1 機電暫態(tài)仿真

下面驗證本文所提新組合積分算法在機電暫態(tài)仿真中的有效性，并將新組合積分算法的仿真結(jié)果與商業(yè)軟件BPA的仿真結(jié)果進行比較，其中BPA與新組合積分算法采用相同的仿真模型。在0 s時線路4-14在靠近母線4出口處發(fā)生三相金屬性接地短路故障，0.1 s時切除故障線路4-14，0.2 s時線路4-14重合閘成功，仿真時間為20 s。新組合積分算法在故障開始采用隱式梯形積分法仿真，仿真步長為0.01 s，10 s時切換至3步4階隱式Taylor級數(shù)法仿真，仿真步長為0.1 s；BPA的仿真步長為0.01 s。

圖4為新組合積分算法和BPA仿真得到的母線4電壓變化的對比曲線（圖中電壓為標(biāo)幺值）。圖5為母線4電壓的相對誤差曲線，可知相對誤差的絕對值最大不超過1.4%。仿真結(jié)果表明所提新組合積分算法與BPA的仿真結(jié)果吻合，驗證了本文所提新組合積分算法在機電暫態(tài)仿真中的有效性和正確性。

圖4 母線4電壓變化曲線Fig.4 Voltage curve of Bus 4

圖5 母線電壓相對誤差Fig.5 Relative error of bus voltage

4.2 機電暫態(tài)及中長期過程動態(tài)仿真

為了在相同仿真條件下更方便地從迭代次數(shù)、仿真計算時間等方面分析新算法的仿真效率，在機電暫態(tài)及中長期過程動態(tài)仿真中，本文將所提新組合積分算法與隱式梯形積分法進行仿真對比。在0 s時發(fā)電機G3因故障跳閘，系統(tǒng)減少有功功率650 MW，40 s時線路8-9在靠近母線8出口處發(fā)生三相金屬性接地短路故障，40.1 s時切除故障線路8-9，40.2 s線路8-9重合閘成功，仿真時間為200 s。

4.2.1 新組合積分算法和隱式梯形積分法仿真結(jié)果比較

新組合積分算法在0～5 s內(nèi)采用隱式梯形積分法仿真，5 s時切換至3步4階隱式Taylor級數(shù)法，從40 s開始再次采用隱式梯形積分法仿真10 s，50 s時切換至3步4階隱式Taylor級數(shù)法。整個仿真過程中3步4階隱式Taylor級數(shù)法的仿真步長為0.1 s，隱式梯形積分法的仿真步長為0.01 s。新組合積分算法和隱式梯形積分法仿真得到的系統(tǒng)其他發(fā)電機與發(fā)電機G1的相對功角隨時間變化曲線分別如圖6和圖7所示，可見故障后系統(tǒng)最終穩(wěn)定在一個新的運行狀態(tài)。系統(tǒng)頻率變化對比曲線如圖8所示，整個仿真過程中系統(tǒng)最低頻率約為48.16 Hz，頻率最終穩(wěn)定值約為48.2 Hz。

圖6 新組合積分法的發(fā)電機相對功角變化曲線Fig.6 Variation of relative power angle of generator by new combined integral method

圖7 隱式梯形積分法的發(fā)電機相對功角變化曲線Fig.7 Variation of relative power angle of generators by implicit trapezoidal integral method

圖8 系統(tǒng)頻率變化對比曲線Fig.8 Comparison of system frequency variation

由上述仿真結(jié)果的對比可知，所提新組合積分算法與隱式梯形積分法的仿真結(jié)果吻合。下面對2種算法的仿真效率進行分析。

4.2.2 仿真效率對比分析

新組合積分算法和隱式梯形積分法仿真過程中迭代次數(shù)的對比曲線如圖9所示。由圖9可知，在0～5 s及40～50 s，2種仿真算法的迭代次數(shù)一致。5～40 s，新組合積分算法的迭代次數(shù)為2～4次，而隱式梯形積分法的迭代次數(shù)由4次逐漸上升至11次后趨于平穩(wěn)。50 s時，新組合積分算法由隱式梯形積分法切換至3步4階隱式Taylor法，迭代次數(shù)為8次，之后逐漸減少，100 s開始穩(wěn)定在2次；隱式梯形積分法在50～60 s迭代次數(shù)為10～11次，60 s開始穩(wěn)定在11次。由此，新組合積分算法的迭代次數(shù)明顯比隱式梯形積分法少。

表1為2種仿真方法的計算時間對比。由表1可得，新組合積分算法的計算時間約為隱式梯形積分法的 1/2。

圖9 迭代次數(shù)對比曲線Fig.9 Comparison of iteration turns

表1 2種仿真方法的計算時間對比Table 1 Comparison of computation time between two simulation methods

在中長期過程動態(tài)仿真中，3步4階隱式Taylor級數(shù)法在每次迭代時需遞推求取高階導(dǎo)數(shù)，但迭代次數(shù)少，故仿真過程中導(dǎo)數(shù)遞推和網(wǎng)絡(luò)方程的解算次數(shù)減少。另外，3步4階隱式Taylor級數(shù)法的仿真步長為隱式梯形積分法的10倍。因此，新組合積分算法比隱式梯形積分法具有更高的仿真效率。新組合積分算法簡單地根據(jù)機電暫態(tài)持續(xù)時間切換積分方法，切換時迭代次數(shù)較多，更合理的切換策略能進一步提高仿真效率。

該算例說明了隱式梯形積分法和3步4階隱式Taylor級數(shù)法組合的新算法適用于機電暫態(tài)及中長期過程動態(tài)仿真，在中長期過程動態(tài)仿真中能采用較大的仿真步長，有效地提高了仿真效率。

5 結(jié)論

本文提出了電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真新組合積分算法，并取得了以下成果。

a.機電暫態(tài)過程采用恒定雅可比矩陣的隱式梯形積分法，固定的小步長處理仿真模型中的間斷問題，仿真效率高。

b.探索性地將高精度階A穩(wěn)定隱式Taylor級數(shù)法用于電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真中，采用固定的大步長進行仿真計算，提高了仿真效率。另外，對3步4階隱式Taylor級數(shù)法積分公式待定常系數(shù)的確定方法進行了改進；將傳統(tǒng)Taylor級數(shù)法普遍采用簡單迭代法改進為恒定雅可比矩陣的牛頓法，并給出了恒定雅可比矩陣的化簡方法。

本文以新英格蘭系統(tǒng)為例驗證了所提新組合積分算法的有效性和可行性，為電力系統(tǒng)中長期過程動態(tài)仿真方法的研究提供了新的思路。

［1］湯涌.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)（機電暫態(tài)與中長期動態(tài)過程）仿真技術(shù)與軟件研究［D］.北京：中國電力科學(xué)研究院，2002.TANG Yong.The studies on techniques and software of power system full dynamic（electric-mechanical transient，mid-term and long-term dynamic） simulation［D］.Beijing：China Electric Power Research Institute，2002.

［2］KUNDUR P.電力系統(tǒng)穩(wěn)定與控制［M］.周孝信，譯.北京：中國電力出版社，2002：727-742.

［3］SANCHEZ-GASCA J J，AQUILA R D，PASERBA J J，et al.Extended-term dynamic simulation using variable time step integration［J］.IEEE Computer Applications in Power，1993，6（4）：23-28.

［4］FANKHAUSER H R，ANEROS K，EDRIS A，et al.Advanced simulation techniques for the analysis of power system dynamics［J］.IEEE Computer Applications in Power，1990，3（4）：31-36.

［5］趙光明.基于電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真的數(shù)值算法和模型研究［D］.北京：中國電力科學(xué)研究院，2001.ZHAO Guangming.The research on the numerical algorithm and models for power system unified dynamic simulation［D］.Beijing：China Electric Power Research Institute，2001.

［6］湯涌，宋新立，劉文焯，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真的數(shù)值方法——電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真軟件開發(fā)之一［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2002，26（9）：7-12.TANG Yong，SONG Xinli，LIU Wenzhuo，et al.Power system full dynamic simulation part Ⅰ：numerical method［J］.Power System Technology，2002，26（9）：7-12.

［7］湯涌，劉文焯，宋新立，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真的故障模擬——電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真軟件開發(fā)之二［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2002，26（10）：1-5.TANG Yong，LIU Wenzhuo，SONG Xinli，et al.Power system full dynamic simulation part Ⅱ：fault simulations［J］.Power System Technology，2002，26（10）：1-5.

［8］湯涌，宋新立，劉文焯，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真中的長過程動態(tài)模型——電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真軟件開發(fā)之三［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2002，26（11）：20-25.TANG Yong，SONG Xinli，LIU Wenzhuo，et al.Power system full dynamic simulation part Ⅲ：long term dynamic models［J］.Power System Technology，2002，26（11）：20-25.

［9］宋新立，王成山，劉濤，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真中的機爐協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)模型研究［J］.中國電機工程學(xué)報，2013，33（25）：167-172.SONG Xinli，WANG Chengshan，LIU Tao，etal.Modelingof boiler-turbine coordinated control system in coal-fired power plants for power system unified dynamic simulation of transient，mediumterm and long-term stabilities［J］.Proceedings of the CSEE，2013，33（25）：167-172.

［10］宋新立，王成山，仲悟之，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真中的自動發(fā)電控制模型［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2013，37（12）：3439-3444.SONG Xinli，WANG Chengshan，ZHONG Wuzhi，et al.Modeling of automatic generation control for power system transient，medium-term and long-term stabilities simulations［J］.Power System Technology，2013，37（12）：3439-3444.

［11］湯涌，劉文焯，宋新立，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真的實例與分析——電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真軟件開發(fā)之四［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2002，26（12）：5-8.TANG Yong，LIU Wenzhuo，SONG Xinli，et al.Power system full dynamic simulation part Ⅳ：case studies［J］.Power System Technology，2002，26（12）：5-8.

［12］宋新立，湯涌，劉文焯，等.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真的組合數(shù)值積分算法研究［J］.中國電機工程學(xué)報，2009，29（28）：23-29.SONG Xinli，TANG Yong，LIU Wenzhuo，et al.Mixed numerical integral algorithm for full dynamic simulation of the power system［J］.Proceedings of the CSEE，2009，29（28）：23-29.

［13］宋新立.電力系統(tǒng)全過程動態(tài)仿真算法與模型研究［D］.天津：天津大學(xué)，2014.SONG Xinli.Research on the algorithm and models for power sytem unified dynamic simulation［D］.Tianjin：Tianjin University，2014.

［14］VALERIU S，BERTRAND H.Construction and analysis of an automatic multirate time domain simulation method for large power systems［J］.Electric Power Systems Research，2014，107（2）：28-35.

［15］BERTRAND H，VALERIU S，PATRICK P.A multirate approach for time domain simulation of very large power sytems［C］∥International Conference on System Science.Hawaii，USA：IEEE，2012：2125-2132.

［16］CROW M L，CHEN J G.The multirate method for simulation of power system dynamics［J］.IEEE Transactions on Power Systems，1994，9（3）：1684-1690.

［17］CHEN Jingjia，CROW M L.A variable partitioning strategy for the multirate method in power systems［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2008，23（2）：259-266.

［18］白雪峰，郭志忠.Taylor級數(shù)法暫態(tài)穩(wěn)定計算中階數(shù)的動態(tài)控制［J］.電力系統(tǒng)自動化，1999，23（22）：5-7.BAI Xuefeng，GUO Zhizhong.The dynamic control of order selection in fast transient stability simulation by higher order Taylor series expansions［J］.Automation of Electric Power Systems，1999，23（22）：5-7.

［19］王宇賓，常鮮戎，羅艷，等.基于隱式Taylor級數(shù)法的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計算［J］.華北電力大學(xué)學(xué)報，2005，32（2）：1-6.WANG Yubin，CHANG Xianrong，LUO Yan，et al.An implicit Taylor series method for simulation of power system transient［J］.Journal of North China Electric Power University，2005，32（2）：1-6.

［20］徐英，白雪峰，郭志忠.多步高階暫態(tài)穩(wěn)定計算方法［J］.電力系統(tǒng)自動化，2009，33（15）：33-37.XU Ying，BAI Xuefeng，GUO Zhizhong.Transient stability calculation based on explicit multi-step multi-derivative integration method［J］.Automation of Electric Power Systems，2009，33（15）：33-37.

［21］劉建楠，白雪峰，徐英，等.多步高階Taylor級數(shù)暫態(tài)穩(wěn)定最優(yōu)積分格式［J］.電力自動化設(shè)備，2012，32（10）：121-126.LIU Jiannan，BAIXuefeng，XU Ying，etal.Optimalintegral scheme of multi-step high-order Taylor series method for transient stability calculation［J］.Electric Power Automation Equipment，2012，32（10）：121-126.

［22］夏世威，郭志忠，陳士麟，等.變階多步Taylor級數(shù)法暫態(tài)穩(wěn)定并行計算［J］.電力系統(tǒng)保護與控制，2012，40（22）：25-31.XIA Shiwei，GUO Zhizhong，CHEN Shilin，et al.Parallel transient stability calculation by multi-step dynamic-order Taylor method［J］.Power System Protection and Control，2012，40（22）：25-31.

［23］徐英，郭志忠.多步高階隱式泰勒級數(shù)法暫態(tài)穩(wěn)定計算［J］.電力系統(tǒng)保護與控制，2011，39（23）：11-15.XU Ying，GUO Zhizhong.Transientstability calculation by implicit multi-step Taylor series method［J］.Power System Protection and Control，2011，39（23）：11-15.

［24］鄭煥坤，常鮮戎，王正輝.高精度A穩(wěn)定隱式調(diào)諧Taylor級數(shù)法在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2012，27（1）：217-223.ZHENG Huankun，CHANG Xianrong，WANG Zhenghui.Application of high precision and A-stability implicit tuned Taylor series method in power system［J］.Transaction of China Electrotechnical Society，2012，27（1）：217-223.

［25］鄭煥坤.高精度A穩(wěn)定電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計算方法研究及應(yīng)用［D］.保定：華北電力大學(xué)，2013.ZHENG Huankun.Research on method with high accuracy and ‘A’ stability of power system transient stability calculation and application ［D］.Baoding：North China Electric Power University，2013.

［26］袁兆鼎，費景高，劉德貴.剛性常微分方程初值問題數(shù)值解法［M］.北京：科學(xué)出版社，1987：1-17.

［27］郭志忠，柳焯.快速高階Taylor級數(shù)法暫態(tài)穩(wěn)定計算［J］.中國電機工程學(xué)報，1991，11（3）：10-18.GUO Zhizhong，LIU Zhuo.Fast transient stability simulation by higher order Taylor series expansions［J］.Proceedings of the CSEE，1991，11（3）：10-18.

［28］SU Hongtian，F(xiàn)ANG Dazhang，SONG Wennan，et al.Constant Jacobian matrix and its application to fast trajectory simulation of power systems［J］.IET Generation，Transmission&Distribution，2002，149（2）：210-214.