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        幾何尺規(guī)作圖

        2017-05-23 00:05:24段貴軍
        中文信息 2017年4期
        關(guān)鍵詞:先畫盛水量具

        段貴軍

        摘 要:根據(jù)自制特制容器量具解決幾何尺規(guī)問題。背景:本文所述為2000多年前古希臘幾何尺規(guī)作圖中的①化圓為方和③倍立方兩個問題,同時解決我提出的幾個相似問題。

        關(guān)鍵詞:幾何尺規(guī)作圖 無刻度直尺 圓規(guī) 自制特制容器具 溶液(水) 化圓為方 倍立方 化方為圓

        中圖分類號:G40-09 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-9082 (2017) 04-0116-01

        一、自制特制容器量具設(shè)計圖

        二、自制特制容器量具介紹

        1.半圓杯(甲):制造一個盛水空間和已知任意圓O直徑R大小相等,厚度為1的半圓柱體杯,簡稱半圓杯。如圖(己)為任意圓O,直徑為R,厚度為1的圓柱體,沿直徑切開,變成半圓柱體,半圓杯的盛水空間和這個半圓柱體形狀相同。切面在上面并且平行水平面,如圖(甲)所示,下面有杯柄可以放置。從上面倒?jié)M水溶液,水溶液體積為r2×π×(1/2)×1(厚度)=r2×π×(1/2)。因為本容器量具的直徑和任意圓直徑相等,所以,每畫一個任意圓就需要制造一個容器量具,雖繁瑣,卻無它法。

        2.直角杯(乙):盛水空間是厚度為1的等腰直角三角形柱體杯。如圖(庚)是厚度為1的正方形柱體,沿對角線切開,取一半形狀,將頂點A朝下,切面在上面平行水平面,這就是盛水空間形狀,如圖(乙)所示,下面有杯柄可以放置。倒入水溶液后,因為AB=AC。水溶液的體積等于A B×A C×(1/2)×1(厚度)=(A B)2×(1/2)=(A C)2×(1/2)。本工具可以通用。

        3.正直三棱錐杯(丙):如圖(辛)是一個正方體,沿BCD平面切開,變成A-BCD正三棱錐體,讓A點朝下,切面在上面并且平行水平面,這就是盛水空間形狀,下面是杯柄可以放置,如圖(丙)所示。從上面倒入水溶液,AB=AC=AD,水平面到底端頂點A的垂直距離為高h。本工具可以通用。

        4.底面積為1×1的直柱杯(丁),也叫管杯:盛水空間是截面積為1×1的正方形,高度為h的正方形柱體杯,下面有杯柄可以垂直放置。里面倒入水溶液,水溶液的體積等于1×1×h(高度)=h。本工具可以通用。

        5.周長直徑杯:如圖(戊)所示形狀。盛水空間是厚度為1的等腰三角形柱體形狀,也就是v字形杯。底端是杯柄,可以放置。從上面倒入水溶液,AB=AC,BC代表圓直徑R,BC到A點的高h代表圓周長。這是根據(jù)圓周長÷圓直徑=π的原理制造的容器量具。倒入水溶液后,水溶液體積為BC×h(高)×(1/2)×1(厚度)=BC×h×(1/2)。本工具可以通用。

        三、利用容器量具解決幾何尺規(guī)作圖問題

        1.化圓為方:先畫出任意圓,再畫出一正方形,使正方形面積等于任意圓面積。

        做法:先畫任意圓,直徑為R,半徑為r。制造一個直徑為R的半圓杯(甲),倒?jié)M水。杯中水溶液的體積為(R/2)2×π×(1/2)×1(厚度)=r2×π×(1/2)。將半圓杯中的水倒入直角杯(乙)中,直角杯中的水溶液體積為AB×AC×(1/2)×1(厚度)=AB2×(1/2)。又因為r2×π×(1/2)=AB2×(1/2),所以,r2×π=AB2,∴以AB為邊長畫正方形,其面積與直徑為R的任意圓面積相等。

        2.倍立方:先畫一個正方體,體積為V1,再畫一個正方體,體積為V2 ,并且使V2=2V1。

        做法:取兩個正直三棱錐杯(丙)(1)和(2),先畫任意一個正方體,邊長為a,首先向其中一個正直三棱錐杯(1)中倒水,當(dāng)AB=AC=AD=a時為止,此時杯中水溶液體積為Vm,之后將杯(1)中水溶液倒入另一個正直三棱錐杯(2)中,然后再重復(fù)做一次,則正直三棱錐杯(2)中的水溶液體積為2Vm,此時正直三棱錐杯(2)中的水溶液水平面與杯棱邊交點B`、C`、D`到底頂點A`的長度為b,以b為邊長畫正方體,其體積為V2,V2=2a3=2V1。

        3.分立方:是倍立方問題的另一種形式。即先畫一正方體體積為V1,再畫一個正方體,體積為V2, V2/ V1=1/n。這個問題不難,可以參照上面的倍立方畫法解決。

        4.畫π1/2=?、π=?、π2=?,A1/3=?、A=?、A3=?,A1/2=?、A=?、A2=?等等??梢詤⒄丈厦娴幕瘓A為方和倍立方畫法解決。

        5.畫方為圓:先畫任意正方形,再畫一個圓,使圓面積等于正方形面積。這是化圓為方的反形式。

        做法:先畫任意正方形,邊長為a,向直角杯(乙)中倒水,當(dāng)AB=AC= a時為止,此時直角杯中水溶液體積為AB×AC×(1/2)×1(厚度)=a2×(1/2)。然后將此水溶液倒入周長直徑杯(戊)中,則周長直徑杯中的水溶液體積為BC(直徑)×h(高或周長)×(1/2)×1(厚度)=a2×(1/2),所以,BC×h=a2,再以BC為半徑畫圓,當(dāng)厚度為1時,又因為π= h(周長)÷BC(直徑),所以,體積為(BC) 2×π×1=(BC) 2×(h÷BC)=BC×h= a2,所以,以BC為半徑畫圓的圓面積等于已知任意正方形面積。

        四、其它相關(guān)問題

        其它相關(guān)問題都可以參照本法原理去解決。

        以上幾何作圖法看上去很麻煩,但這只能這樣去解決,可能還有其它方法,今后去探索之。

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