侯圣文，李珺

（陜西法士特集團(tuán)公司汽車傳動(dòng)工程研究院，陜西 西安 710119）

引言

漸開(kāi)線齒輪在汽車動(dòng)力總成中起著不可替代的作用。應(yīng)用商用有限元軟件對(duì)齒輪進(jìn)行有限元分析是汽車工程仿真分析的發(fā)展趨勢(shì)，如何實(shí)現(xiàn)復(fù)雜齒面的有限元精確建模十分重要。本文以常用的漸開(kāi)線齒輪副為研究對(duì)象，研究了有限元精確建模的方法。

1 常用的建模方法

漸開(kāi)線齒輪的有限元建模的方法比較成熟，常見(jiàn)的方法主要有三種：

方法一：首先基于PRO/E等CAD軟件的內(nèi)嵌式開(kāi)發(fā)語(yǔ)言編寫(xiě)漸開(kāi)線、螺旋線等曲線方程，然后通過(guò)倒圓等操作生成封閉的端面齒廓曲線。其次將端面齒廓沿螺旋線掃略生成輪齒實(shí)體。最后將CAD模型導(dǎo)入到CAE軟件劃分網(wǎng)格生成有限元模型。

由于該方法需要通過(guò)格式轉(zhuǎn)化將 CAD模型到 CAE軟件，轉(zhuǎn)化過(guò)程中模型部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失。此外，幾何模型大多以圓角代替齒根過(guò)渡曲線。因此基于方法一建立的有限元模型精度不高，其結(jié)果可信度一般。

方法二：基于CAE軟件ANSYS的APDL或者ABAQUS的Python語(yǔ)言編寫(xiě)漸開(kāi)線、螺旋線等曲線方程生成一系列離散點(diǎn)，再通過(guò)樣條曲線擬合、蒙皮、實(shí)體化等操作生成實(shí)體，最后對(duì)實(shí)體進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

方法二單元網(wǎng)格的形狀與稀疏難控制，在對(duì)實(shí)體進(jìn)行分割、劃分網(wǎng)格等階段需要大量重復(fù)性的嘗試，人為干預(yù)過(guò)多，實(shí)現(xiàn)過(guò)程復(fù)雜。

方法三：根據(jù)端面齒廓形狀將端面分割成工作曲線、過(guò)渡曲線、輪緣若干區(qū)域，再利用FORTRAN或C等編程語(yǔ)言計(jì)算出齒廓節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)插值獲得整個(gè)端面的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，然后將整個(gè)端面節(jié)點(diǎn)沿齒輪軸向平移同時(shí)繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)獲得整個(gè)輪齒的全部節(jié)點(diǎn)，最后通過(guò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造單元。

方法三需要對(duì)節(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)，編程過(guò)程比較繁瑣，但是實(shí)現(xiàn)了有限元建模的參數(shù)化、自動(dòng)化，網(wǎng)格單元的質(zhì)量高，求解容易收斂。

綜合比較三種方法，本文采用有限元自動(dòng)建模技術(shù),但其過(guò)程基于 MATLAB的軟件進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)有限元建模的界面化、參數(shù)化、自動(dòng)化。

2 精確建模方法

展成法是齒輪加工中應(yīng)用最普遍的方法，其原理如下：當(dāng)產(chǎn)形齒條平移時(shí)，被切齒輪繞自身軸線作關(guān)聯(lián)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，該過(guò)程就是展成運(yùn)動(dòng)。其中漸開(kāi)線是由產(chǎn)形齒條的工作齒面展成，齒根過(guò)渡曲線是由刀具尖點(diǎn)或圓弧包絡(luò)而成。

2.1 產(chǎn)形齒條齒面方程

圖1 齒形修形齒輪的產(chǎn)形齒條

圖 1為展成修形齒輪的產(chǎn)形齒條。其中：Sa(oaxayaza)、Sb(obxbybzb)均為位移n-n法截面內(nèi)；(a)、(b)中陰影部分為齒條的齒，空白部分為齒條的槽；(c)中虛線表示齒條齒，yb指向齒條齒頂，指向紙內(nèi)；uc是齒輪的齒條齒面沿法向齒廓方向的坐標(biāo)參數(shù)；ac為齒廓拋物線系數(shù)；S1為基本齒廓節(jié)線處的名義齒厚，αn為法面壓力角，mn為法面模數(shù)；Ld=S1cosαn/2；lc為齒條寬度方向上的齒面參數(shù)；β0為被加工齒輪螺旋角，β0＞0表示齒輪右旋，β0＜0表示齒輪左旋，產(chǎn)形齒條螺旋角β=-β0。

齒廓方程在Sa中表示為：

式中+號(hào)表示左側(cè)齒面，-號(hào)表示右側(cè)齒面。

在產(chǎn)形齒條坐標(biāo)系Sc(ocxcyczc)中，產(chǎn)形齒條齒面方程為：

其中：Mba、Mcib分別為坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換矩陣。

2.2 齒輪的齒面數(shù)學(xué)模型

齒輪齒面 Σ1由齒條齒面 Σc包絡(luò)而成，其展成坐標(biāo)系如圖2所示，其中：坐標(biāo)系Sf（Of-Xf-Yf-Zf）與機(jī)床相連的固定；Sc（Oc-Xc-Yc-Zc）、S1(O1-X1-Y1-Z1）分別為與產(chǎn)形齒條、小齒輪固連；Sc是齒條沿Yc方向的位移；φ1是齒輪的轉(zhuǎn)角，且φ1=Sc/rp1；rp1是小齒輪的分度圓半徑。

圖2 齒輪展成坐標(biāo)系

圖3 齒輪齒面仿真

齒輪與齒條的共軛運(yùn)動(dòng)就是齒輪節(jié)圓柱平面和齒條節(jié)平面相互進(jìn)行純滾動(dòng)。根據(jù)齒輪嚙合基本原理，齒面上任一點(diǎn)K成為接觸點(diǎn)的條件是該點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量應(yīng)位于過(guò)該點(diǎn)的兩齒面的公切面內(nèi)，即滿足嚙合方程：

將Sc坐標(biāo)系下的產(chǎn)形齒條齒面方程rc(uc，lc)，經(jīng)空間坐標(biāo)變換矩陣可以表達(dá)出坐標(biāo)系S1下被展成的齒輪齒面r1(uc，lc，φ1)。由于φ1可表達(dá)為uc與lc的函數(shù)，所以齒輪齒面只有uc與lc兩個(gè)變量，其表達(dá)式可以寫(xiě)為r1(uc，lc)。

如圖3所示，利用Matlab軟件編程求解工作齒面的非線性方程組，獲得齒面離散點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)值齒面的可視化。

2.3 精確建模

根據(jù)端面特點(diǎn)，可將端面分割成工作曲線、過(guò)渡曲線、齒槽、輪緣等區(qū)域。通過(guò)對(duì)不同區(qū)域分別劃分網(wǎng)格，就能很好地控制單元數(shù)量、網(wǎng)格質(zhì)量。如圖4所示，沿齒廓將工作曲線AK、齒根過(guò)渡曲線KI、半齒厚AG、半齒槽IB分別等分為NAK、NKI、NAG、NIB，那么端面齒面的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為：

圖4 端面網(wǎng)格

圖5 齒輪有限元模型

根據(jù)Matlab求解獲得的齒面數(shù)值矩陣，通過(guò)插值可以獲得沿著齒寬方向所有截面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)， 再通過(guò)相鄰截面對(duì)應(yīng)的八個(gè)節(jié)點(diǎn)，便可以構(gòu)造出所有六面體單元。通過(guò)Matlab的專用編程生成能直接導(dǎo)入ANSYS環(huán)境的APDL命令流文件。有限元模型的結(jié)果如圖5所示。

3 結(jié)論

本文詳細(xì)介紹了漸開(kāi)線齒輪的有限元精確建模方法：基于Matlab編程生成專用程序，可進(jìn)行齒面數(shù)值仿真，控制齒高、齒寬方向的網(wǎng)格密度，生成能夠直接導(dǎo)入 ANSYS或ABAQUS等CAE軟件工作環(huán)境的模型數(shù)據(jù)文件等。本方法除了比較方便實(shí)現(xiàn)圓柱齒輪的齒廓或齒向修形，還能用于圓弧齒輪、弧齒錐齒輪等復(fù)雜空間齒面的有限元精確建模。

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