成 潔

（武警后勤學(xué)院，天津 300309）

汽車懸架系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，非線性振系中可有不止一個(gè)平衡點(diǎn)（定點(diǎn)，奇點(diǎn)），其中有些可能是穩(wěn)定的，另一些則可能是不穩(wěn)定的。對(duì)于懸架系統(tǒng)，選取不同的系統(tǒng)參數(shù)會(huì)使系統(tǒng)具有不同的穩(wěn)定性，因此有必要研究非線性懸架系統(tǒng)在周期外力擾動(dòng)下的穩(wěn)定性。

1 力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

以研究垂直振動(dòng)為目的建立汽車的動(dòng)力學(xué)模型，本文采用1/4車體模型分析車輛特性。這里只考慮懸架彈簧的非線性剛度特性。變剛度彈簧的回復(fù)力-位移關(guān)系可表示為[1]：

式中：Fs為彈簧回復(fù)力，k為彈簧剛度，x為彈簧位移，ε為一表示彈簧非線性程度的小參數(shù)，ε=0時(shí)，該彈簧為線性。其力-位移關(guān)系曲線如圖1所示，虛線代表線性彈簧的回復(fù)力-位移曲線，實(shí)線代表非線性彈簧的回復(fù)力-位移曲線。

圖 2為懸架系統(tǒng)的力學(xué)模型。其中 m2為簧載質(zhì)量，m1為非簧載質(zhì)量，k1為輪胎剛度，c2為減振器粘性阻尼系數(shù)，z2為簧載質(zhì)心垂直位移，z1為非簧載質(zhì)心垂直位移，z0為路面不平激勵(lì)，F(xiàn)(z2- z1)為非線性彈性力。

圖1 變剛度彈簧力—位移曲線

圖2 兩自由度懸架振動(dòng)模型

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：——簧載質(zhì)心的速度和加速度；——非簧載質(zhì)心的速度和加速度。

選取下述狀態(tài)變量：

有下列方程：

選取車身加速度，車輪動(dòng)位移，懸架動(dòng)擾度三個(gè)性能指標(biāo)作為輸出變量。

，乘以 k1后為車輪動(dòng)載荷，x1= z2- z1為懸架動(dòng)擾度。

2 懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

所謂解的穩(wěn)定性[2]，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)下能夠自動(dòng)返回原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性能。根據(jù)線性穩(wěn)定性定理：如果非線性方程的線性化方程的定點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則參考點(diǎn)（態(tài)）xi0是非線性方程的漸進(jìn)穩(wěn)定解；如果線性化方程的定點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則參考態(tài)是非線性方程的不穩(wěn)定解。

當(dāng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)n>2時(shí)，系統(tǒng)在定態(tài)xi0鄰域的的線性化方程可寫成適量形式：

式中： 是n列（1×n）矢量，系數(shù)矩陣A取下面的形式：

方程（7）的基本解為：

代入方程（7），得：

齊次代數(shù)方程有非平凡解的條件是：

可寫為如下形式：

當(dāng)方程（11）的所有特征值λi的實(shí)部Reλi都取負(fù)值時(shí)，解的每一項(xiàng)才收斂，這時(shí)定態(tài)才是漸進(jìn)穩(wěn)定的；反之，只要有一個(gè)特征值λi的實(shí)部取正值，定態(tài)就是不穩(wěn)定的。

令，平衡點(diǎn)為(0,0,0,0)，(0,0,±3.162i,0)（舍去）。對(duì)于平衡點(diǎn)(0,0,0,0)

所以在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處的特征方程為：

根據(jù)羅斯—霍維茲判據(jù)[3]，△1＞0，△2=0，所以平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

在系統(tǒng)沒(méi)有受到外界激勵(lì)時(shí)，車身相軌線和車輪相軌線如圖（3），（4）所示，分別由初始狀態(tài)呈螺旋狀回到平衡態(tài)。

圖3 相平面上的軌線

圖4 相平面上的軌線

當(dāng)系統(tǒng)受到外界周期擾動(dòng)激勵(lì)時(shí)，令F=Asin(wt)，ε=0.1（硬特性彈簧），懸架的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：m2=1091.49kg，m1=162.51kg，c=3235Ns/m，k=94835N/m，k1=1164593N/m。固定 A=0.5m，初始條件為x1=0，x2=0，讓w在本文研究的時(shí)間頻率范圍內(nèi)（0.5-30Hz）變化。

當(dāng)w分別為9rad/s、30rad/s、85rad/s時(shí)，車身和車輪相軌跡分別如圖5—10所示。可以看到，車身和車輪的相軌跡都分別從初始狀態(tài)經(jīng)暫態(tài)后繞定點(diǎn)（原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)，成為一封閉的圓環(huán)。說(shuō)明車身和車輪都在做穩(wěn)定的周期震蕩。

圖5 相平面上的軌線

圖6 相平面上的軌線

圖7 相平面上的軌線

圖8 相平面上的軌線

圖9 相平面上的軌線

圖10 相平面上的軌線

3 結(jié)論

汽車懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性在分析汽車振動(dòng)特性中至關(guān)重要，它是關(guān)于懸架特性一切研究的基礎(chǔ)。本文結(jié)合實(shí)例分別對(duì)單自由度懸架系統(tǒng)和兩自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出分析，可以看到：在本文所研究的時(shí)間頻率范圍內(nèi)（0.5Hz—30Hz，它能夠覆蓋汽車系統(tǒng)的車身、座位和車輪的固有頻率范圍），具有弱非線性的懸架系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

參考文獻(xiàn)

[1] 張慧鵬.車輛非線性懸架系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性[J].拖拉機(jī)與農(nóng)用運(yùn)輸車,2007,(04)58-62.

[2] 劉秉正,彭建華. 非線性動(dòng)力學(xué).高等教育出版社,2004.1.

[3] 諸德超,邢譽(yù)峰主編.工程振動(dòng)基礎(chǔ).北京航空航天大學(xué)出版社, 2014.