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        剖析個(gè)案,感悟類比思維之魅力

        2017-05-20 12:52:26易大中宋紅霞
        湖南教育·C版 2017年1期
        關(guān)鍵詞:扇形半徑公式

        易大中+宋紅霞

        學(xué)生個(gè)案

        “老師,我通過了二中創(chuàng)新班的考試!”QQ上出現(xiàn)了一條報(bào)喜的信息,也就意味著一場(chǎng)面對(duì)市初三學(xué)生進(jìn)行的50名精英選拔考試,學(xué)生陳通過了!學(xué)生陳在我五年的數(shù)學(xué)教學(xué)中,是一個(gè)總能給我的課堂帶來精彩的學(xué)生。停下手中的活,師生之間開始了一番對(duì)話。

        【對(duì)話摘要】2016年6月,學(xué)生陳臨近初中畢業(yè)。

        生:老師,我通過了二中創(chuàng)新班的考試!數(shù)學(xué)好難,但是考得不錯(cuò)!

        師:哇,你好棒!恭喜你!

        生:您還記得嗎?曾經(jīng)我提出一猜想:扇形面積就是弧長(zhǎng)乘半徑除以2!其實(shí)那個(gè)圓環(huán)面積也可以是(內(nèi)圓周長(zhǎng)+外圓周長(zhǎng))×(外圓半徑-內(nèi)圓半徑)÷2。說扇形可以理解為曲邊三角形,圓環(huán)就可以理解為曲邊梯形。這些都是一條藤上的。(傳過來兩張圖,如圖所示)式子展開后與標(biāo)準(zhǔn)算式一致。

        ……

        看著他傳過來的兩張圖和兩句話“這些都是一條藤上的”“式子展開后與標(biāo)準(zhǔn)算式一致”,震撼之余,作為教師的我也陷入了沉思,三年前精彩的一幕又再現(xiàn)眼前。

        【精彩回放】2013年6月,學(xué)生陳臨近小學(xué)畢業(yè)。

        正在進(jìn)行平面圖形面積整理與復(fù)習(xí)教學(xué),學(xué)生陳一臉疑惑地舉著手。往往此時(shí),我都會(huì)給他機(jī)會(huì),因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)愛提問題的孩子,他的問題總能帶給我們一次精彩的辯論或有意義的探究活動(dòng)。果不其然———

        生:我猜想扇形面積就是弧長(zhǎng)乘半徑除以2,對(duì)不?

        師:說說你猜想的理由。

        生:在圓面積公式推導(dǎo)過程中,我們可以設(shè)想將圓剪成很多個(gè)等分的三角形再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,兩個(gè)一樣的扇形同樣可以拼成長(zhǎng)方形,面積不就是弧長(zhǎng)乘半徑除以2?

        正當(dāng)我想回應(yīng)時(shí),他接著說:“如果是對(duì)的,那么圓的面積也可以是圓周長(zhǎng)乘半徑除以2!”……從猜想的理由,到“如果……那么……”的推理,很明顯,他是對(duì)的。

        至于對(duì)話中提過“圓環(huán)面積就是內(nèi)外兩個(gè)圓的周長(zhǎng)乘半徑差除以2”一事,的確問過,只記得當(dāng)時(shí)有個(gè)學(xué)生說“這也太復(fù)雜了吧!”而我可能因?yàn)閺臎]去想過,或是認(rèn)同了后者說的復(fù)雜,“敷衍了他”?,F(xiàn)在想想實(shí)覺慚愧!

        剖析與思考

        再思考與學(xué)生陳的對(duì)話和片段回想時(shí),一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)思維能力的核心詞“類比思維”突顯在腦中,再加以剖析,對(duì)于類比思維的認(rèn)識(shí)也隨之越來越明晰。

        學(xué)生陳根據(jù)類比,認(rèn)為扇形與圓形都可以等分成若干個(gè)小三角形再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,將圓面積公式推導(dǎo)方法遷移到扇形面積公式推導(dǎo)上,這就是合情推理中的類比推理。類比推理就是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間有著某些相同或相似的屬性,推出它們存在其他相同或相似屬性的思維方法。根據(jù)學(xué)生陳的思維呈現(xiàn),類比推理可以表示如下:

        這樣看來,一個(gè)類比原型應(yīng)該包括新問題和原問題兩個(gè)部分。原問題與新問題之間是平行的,在解決新問題之時(shí)聯(lián)想到與之相似的原問題,通過已經(jīng)掌握的、非常熟悉的原問題,類比解決新問題。

        波利亞曾形象地說:“類比是一個(gè)偉大的領(lǐng)路人?!蓖ㄟ^學(xué)生陳,我才真正明白這句話的意義所在:一是類比能促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng);二是像學(xué)生陳將所有平面圖形想象成一個(gè)梯形,根據(jù)這些平面圖形的相似性,類比推理得出最基本的面積公式“(上底+下底)×高÷2”的行為,能建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。這應(yīng)該就是類比的魅力所在,這魅力也讓我對(duì)類比思維的滲透與引導(dǎo)有了一些思考。

        1.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思維之時(shí),注重作類方法整理。

        數(shù)學(xué)課程的各個(gè)領(lǐng)域都提供了豐富的讓學(xué)生生成類比思維的素材。教學(xué)中,我們應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自己認(rèn)為與當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容相似的、已學(xué)會(huì)的知識(shí)與方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。如,小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算定律的學(xué)習(xí),可以引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)運(yùn)算定律的建構(gòu)過程再進(jìn)行自主探究,最后通過回顧與整理,有意識(shí)地讓學(xué)生形成“辨別—分化—類化—抽象—檢驗(yàn)—概括—符號(hào)化”的概念學(xué)習(xí)類方法。這種類方法才是剔除知識(shí)之外,最有價(jià)值的科學(xué)研究元素。

        2.學(xué)生自主建構(gòu)類比之時(shí),注意給予時(shí)空驗(yàn)證。

        3.運(yùn)用類比思維建構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),作橫縱引導(dǎo)。

        當(dāng)知識(shí)構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò),知道知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系時(shí),學(xué)生就能從更高的角度整體把握知識(shí),使知識(shí)得到橫向拓寬或縱向遞進(jìn)的深化。比如,學(xué)生陳運(yùn)用類比思維對(duì)平面圖形面積的整理與建構(gòu),我們可以思考立體圖形體積的整理與建構(gòu),其中就圓柱體積的探究,運(yùn)用類比,可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生回顧原問題長(zhǎng)方體、正方體體積公式探究過程,產(chǎn)生對(duì)新問題圓柱體積公式的猜想:圓柱體積也是底面積乘高。在給予充足的時(shí)空驗(yàn)證時(shí),又可以以此為新問題,讓學(xué)生聯(lián)想相似的原問題———圓面積公式的推導(dǎo),通過剪拼將圓柱體轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)方體,找尋聯(lián)系,得出結(jié)論。在作整體建構(gòu)時(shí),讓學(xué)生思考為什么都可以是“立體圖形的體積等于底面積乘以高”?如果是這樣,那么圓錐的體積還能是底面積乘高嗎?……這樣的探究過程,學(xué)生不僅學(xué)會(huì),更指向?qū)W生會(huì)學(xué)。

        這樣看來,在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比,可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更容易、更生動(dòng)有趣。同時(shí),長(zhǎng)期的引導(dǎo)與滲透,不僅有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)建構(gòu),更有利于學(xué)生自主探索與創(chuàng)新思維的培養(yǎng),不愧是“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)偉大的引路人”!

        【本文是湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“區(qū)域推進(jìn)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教與學(xué)銜接的實(shí)踐研究”(課題批準(zhǔn)號(hào):XJK013CZXX065)研究成果】

        (作者單位:株洲市荷塘區(qū)星光小學(xué))

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