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        妙用整式乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算

        2017-05-19 12:36:20張生財(cái)
        課程教育研究 2017年12期

        張生財(cái)

        【摘要】巧妙的運(yùn)用整式的乘法公式(平方差公式,完全平方公式),可以使學(xué)生簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率,培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí),為后續(xù)所學(xué)內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

        【關(guān)鍵詞】妙用 乘法公式 簡(jiǎn)便運(yùn)算 提高

        【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2017)12-0246-02

        在《整式的運(yùn)算》一章的教學(xué)中,有部分學(xué)生常常對(duì)乘法公式(平方差公式,完全平方公式)理解不透,掌握不夠,運(yùn)用時(shí)很容易混淆。為了能很好地掌握兩個(gè)公式的區(qū)別,并能巧妙的利用乘法公式(平方差公式,完全平方公式)進(jìn)行簡(jiǎn)化某些整式的運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)。下面談一談筆者的一些看法:

        一、掌握乘法公式

        1. 完全平方公式

        表示:(a±b) 2=a 2±2ab+b 2

        對(duì)于這個(gè)公式概括為口訣為:兩項(xiàng)的和(差)的平方,等于首平方,尾平方,首尾2倍夾中央。

        (1)簡(jiǎn)便運(yùn)算

        例1.計(jì)算:(1)999 2(2)100.1 2

        解析:本題中的999接近1000,100.1接近100,所以把它們可以寫成兩個(gè)數(shù)的和或差的形式,然后運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。

        即:(1)999 2=(1000-1) 2 (2)100.1 2=(100+0.1) 2

        例2.計(jì)算:(x-2y+1)2

        解析:本題如果采用多項(xiàng)式的乘法,計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜,若利用完全平方公式展開,則計(jì)算比較簡(jiǎn)便。

        點(diǎn)撥:本題的關(guān)鍵在于理解完全平方公式中的a,b也可以是一個(gè)代數(shù)式,利用整體思想,這里把第一二兩項(xiàng)看作一個(gè)整體,可以寫成〔(x-2y)+1〕2利用完全平方公式展開;也可以把第一三兩項(xiàng)看作一個(gè)整體,寫成〔(x+1)-2y〕2的形式;或者把后兩項(xiàng)看作一個(gè)整體寫成〔x-(2y-1)〕2的形式。

        例3:已知a- =,求:(1)a2+ (2)a4+

        分析:對(duì)于這類題型學(xué)生很容易想到的方法是先求出a,然后代入計(jì)算。但以學(xué)生目前所學(xué)的知識(shí)是沒(méi)有辦法求出a的,所以可以利用完全平方公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

        (1) a2+ 可由式子a-=兩邊平方得到

        (2) a4+ 可由式子a2+=兩邊平方得到

        解:∵a-=

        ∴a2+ = (a-)2 +2=()2+2

        a4+= (a2+)2-2=()2-2=

        2. 平方差公式

        表示:(a+b)(a-b)=a 2–b 2

        對(duì)于這個(gè)公式概括為口訣為:兩項(xiàng)的和與差的乘積等于這兩項(xiàng)的平方差。

        (1) 直接運(yùn)用平方差公式

        例4.計(jì)算:

        ①103×97 ②118×122

        分析:本題中的103和97都與100相差3,118和122都與120相差2,故可以寫成兩個(gè)數(shù)的和與差的形式,然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算。

        即:①103×97=(100+3)(100-3)=1002-32

        ②118×122=(120-2)(120+2)=1202-22

        (2)逆用平方差計(jì)算:

        例5.計(jì)算;1002-992+982-972+…+42-32+22-12

        分析:本題中相鄰兩數(shù)是平方差的形式,因此把相鄰的兩項(xiàng)結(jié)合在一起便可逆用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。

        即:原式=(1002-992)+(982-972)+…+(42-32)+(22-12)

        =(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)

        =199+195+…+7+3

        (3)構(gòu)造平方差公式

        例6.計(jì)算:(2+1)(22 +1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)

        分析:若原式乘以(2-1),即乘以1,原式的值不變,可以利用平方差公式逐步計(jì)算。

        即:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216 +1)(232+1)

        =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)

        =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)

        =(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)

        =(216-1)(216+1)(232+1)

        =(232 -1)(232+1)

        =264-1

        二、靈活運(yùn)用公式

        1.混用運(yùn)用公式

        例7:計(jì)算

        (1)(x+y+z)(x+y-z) (2)(2x-y+3z)(y-3z+2x)

        分析:本題是三項(xiàng)式乘以三項(xiàng)式,特點(diǎn)是:有些項(xiàng)相同,有些項(xiàng)互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng)分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計(jì)算后,再運(yùn)用完全平方公式等計(jì)算。

        即:(1)(x+y+z)(x+y-z)

        =[(x+y)+z][(x+y)-z]

        = (x+y)2-z 2

        (2)(2x-y+3z)(y-3z+2x)

        = [2x-(y-3z)][ 2x+(y-3z)]

        =(2x)2+(y-3z) 2

        2.變形應(yīng)用公式

        熟練運(yùn)用完全平方公式的變形式,是相關(guān)整體代換求值的關(guān)鍵。

        例8:已知實(shí)數(shù)a,b滿足(a+b)2=10,ab=1求下列各式的值

        (1)a2+b2 (2)(a-b) 2

        分析:本題是典型整式求值問(wèn)題,若按常規(guī)思維把a(bǔ),b的值分別求出來(lái),非常困難,我們可以運(yùn)用完全平方公式的變形式就能解決這類問(wèn)題。

        即:(1)a2 + b2 =(a + b)2-2ab

        (2)(a-b) 2=(a + b)2-4ab

        總之,乘法公式的應(yīng)用比較廣泛,是后續(xù)所學(xué)內(nèi)容的必備基礎(chǔ),不僅對(duì)學(xué)生簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率有很大作用,更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ),因此要讓學(xué)生掌握乘法公式(平方差公式,完全平方公式)的巧妙運(yùn)用方法,提高運(yùn)算的能力。

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