張現(xiàn)強(qiáng)

摘 要：隨著非牛頓流問題在工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，基于擬應(yīng)力-速度形式的數(shù)值格式成為了計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。該文針對(duì)Stokes方程提出了一種基于擬應(yīng)力-速度形式的穩(wěn)定化有限元法。擬應(yīng)力和速度分別采用非協(xié)調(diào)矩形元和分片常數(shù)元來逼近。該方法通過在通常的混合 Galerkin 形式中添加基于擬應(yīng)力的梯度跳躍的穩(wěn)定項(xiàng)強(qiáng)化格式的穩(wěn)定性。我們證明該方法是穩(wěn)定的，并具有擬最優(yōu)階精度。

關(guān)鍵詞：Stokes方程 擬應(yīng)力-速度形式 混合有限元 穩(wěn)定化方法 非協(xié)調(diào)元

中圖分類號(hào)：O241.82 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）03（c）-0213-04

A stabilized Finite Element Method for Stokes Equations Based on Pseudostress-velocity Formulation

Zhang Xianqiang

（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan Ningxia， 750021， China）

Abstract： In this paper， we develop and analyze a stabilized nonconforming rectangular finite element method for the stationary Stokes equations based on the pseudostress-velocity formulation. The pseudostress is approximated by nonforming rectangular elements and the velocity by piecewise constants. It is shown that the method is stable and yields quasi-optimal accuracy. Finally， numerical results verifying the theoretical predictions are presented.

Key Words：Stokes equations； Pseudostress-velocity formulation； Mixed finite element； Stabilized methods； Noncomforming element

Stokes方程是流體力學(xué)中的一個(gè)重要方程，關(guān)于其混合有限元法的研究已有很多工作，其中絕大多數(shù)是基于其原始變量形式[1-3]。近年來，隨著非牛頓流問題在工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，基于應(yīng)力-速度-壓力形式的數(shù)值格式成為了計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。 然而，這類方法都有一個(gè)共同問題，即混合有限元空間要滿足所謂的LBB條件。應(yīng)力張量的對(duì)稱性約束使得其有限元空間的構(gòu)造過于復(fù)雜，不利于實(shí)際應(yīng)用[4-5]。

為了解決上述矛盾，一種有效的途徑是引入非對(duì)稱的擬應(yīng)力張量取代原始的應(yīng)力張量，文獻(xiàn)[6-9]相繼提出并分析了 Stokes 方程和Navier-Stokes方程擬應(yīng)力-速度和擬應(yīng)力-速度-壓力形式的混合有限元法。值得注意的是，為了保證這類有限元格式的穩(wěn)定性，我們必須控制擬應(yīng)力的-范數(shù)。 因此，構(gòu)造這類問題穩(wěn)定收斂的有限元方法并不是一件容易的事。文獻(xiàn)[10-11]針對(duì)奇異攝動(dòng)Darcy-Stokes問題和Darcy-Stokes-Brinkman模型構(gòu)造了一種新型的非協(xié)調(diào)矩形元，該有限元的法向分量和切向分量具有一定意義下的弱連續(xù)性。 該文針對(duì)擬應(yīng)力-速度形式的Stokes方程提出了一種穩(wěn)定化非協(xié)調(diào)有限元方法，對(duì)擬應(yīng)力和速度分別采用新型矩形元和分片常數(shù)元來逼近，并且通過引入一個(gè)基于擬應(yīng)力在單元邊界上跳躍的穩(wěn)定項(xiàng)來滿足格式的穩(wěn)定性。 通過具體考察非協(xié)調(diào)矩形元的特殊性質(zhì)，我們討論了該文所提格式的穩(wěn)定性和收斂性，給出了誤差估計(jì)。

1 模型及初步知識(shí)

2 有限元格式

設(shè)為區(qū)域的擬一致正則矩形剖分，對(duì)任意的剖分單元，記為單元的直徑，網(wǎng)格尺寸，用表示單元的邊，并記。對(duì)任意的分片連續(xù)函數(shù)，定義其在邊上的跳躍值為

3 誤差分析

4 結(jié)語

Stokes方程是描述流體介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本方程，在科學(xué)與工程等領(lǐng)域有廣泛而重要的應(yīng)用。盡管應(yīng)力張量具有重要的物理意義，對(duì)稱性約束使得其有限元空間的構(gòu)造過于復(fù)雜，不利于計(jì)算分析。該文在Stokes方程的擬應(yīng)力-速度形式的基礎(chǔ)上，采用穩(wěn)定化非協(xié)調(diào)混合有限元的方法對(duì)其求解，證明了有限元解的存在唯一性，以及有限元逼近在某種意義下是最優(yōu)的。

參考文獻(xiàn)

[1] Girault V，Raviart P.Finite element methods for Navier-Stokes equations：theory and algorithms[M].Berlin： Springer-Verlag，1986.

[2] Gunzburger M.Finite Element Methods for Viscous Incompressible Flows [M]. New York： Academic， 1989.

[3] Pironneau O. Finite Element Methods for Fluids [M]. New York： Wiley，1989.

[4] Arnold D， Winther R. Mixed finite element for elasticity [J]. Numer Math，2002（92）：401-419.

[5] Brezzi F， Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods [M]. New York： Springer-Verlag，1991.

[6] Cai Z， Tong C， Vassilevski P et al. Mixed finite element methods for incompressible flow： stationary Stokes equations[J].Numer Methods PDE，2010，26（4）： 957-978.

[7] Cai Z， Wang C，Zhang S.Mixed finite element methods for incompressible flow： Stationary Navier-Stokes equations[J].SIAM J Numer Anal，2010，48（1）：79-94.

[8] Cai Z， Zhang S.Mixed methods for stationary Navier-Stokes equations based on pseudostress-pressure-velocity formulation[J].Math Comp，2012，81（280）：1903-1927.

[9] Gatica G， Máquez A， Sáchez M.Analysis of a velocity-pressure-pseudostress formulation for the stationary Stokes equations[J].Comput Meth Appl Mech Engrg， 2010，199（17）：1064-1079.

[10] Zhang S， Xie X， Chen Y. Low order nonconforming rectangular finite element methods for Dary-Stokes problem[J].J Comput Math，2009，27：400-424.

[11] Qi R， Yang X.A nonconforming rectangular finite element pair for the Darcy-Stokes-Brinkman model[J]. Numer Methods PDE，2013，29（2）：510-530.

[12] Thomée V.Galerkin finite element methods for parabolic problems[M].Berlin：Springer-Verlag，1997.