鄭 越，泮斌峰,3，唐 碩,3

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072；3. 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072)

一種計(jì)算三體問(wèn)題周期軌道的新方法

鄭 越1,2，泮斌峰1,2,3，唐 碩1,2,3

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072；3. 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072)

針對(duì)三體問(wèn)題周期軌道計(jì)算方法存在計(jì)算量大、改變雅可比能量和局限于計(jì)算特定周期軌道等不足，本文提出了一種計(jì)算周期軌道的新方法。首先建立了一種初始點(diǎn)和投影點(diǎn)關(guān)系的改進(jìn)型龐加萊截面圖，能夠更直觀地反映隨著初始點(diǎn)改變周期軌道的演變和分叉；其次基于改進(jìn)的龐加萊截面圖，通過(guò)初始點(diǎn)與投影點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系篩選出可能存在周期軌道的候選區(qū)間；然后在該候選區(qū)間內(nèi)利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣給出距離周期軌道初始點(diǎn)真實(shí)解非常接近的初始猜想；最后采用打靶法求解能夠快速得到周期軌道的數(shù)值解。本文方法不需要改變?nèi)w系統(tǒng)的雅可比能量，迭代次數(shù)少，能夠快速計(jì)算得到大范圍、具有x軸對(duì)稱性的周期軌道。以地月圓形限制性三體問(wèn)題為例進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了該方法的快速性和有效性。

圓形限制性三體問(wèn)題,周期軌道,龐加萊映射,雅可比能量

0 引 言

周期軌道是深入認(rèn)識(shí)三體問(wèn)題的關(guān)鍵。隨著空間科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，周期軌道在天體觀測(cè)、低能軌道轉(zhuǎn)移、天體間循環(huán)軌道等方面得到了越來(lái)越多的發(fā)展，為星際探測(cè)、資源開(kāi)發(fā)、載人工程等方面提供了有效的解決方案，探索周期軌道也成為進(jìn)一步探索其他復(fù)雜類型軌道的基礎(chǔ)。因此研究周期軌道的計(jì)算方法在深空探測(cè)中具有重要的意義。

周期軌道通常是通過(guò)大范圍遍歷搜索方法計(jì)算得到，這種方法耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，為此很多學(xué)者開(kāi)展了大量的研究，以求得到更有效的周期軌道求解方法。美國(guó)學(xué)者Richardson[1]提出三階解析解來(lái)獲取平動(dòng)點(diǎn)周期軌道，但其精度無(wú)法滿足實(shí)際任務(wù)的要求；Breakwell等[2]通過(guò)打靶法對(duì)近似解反復(fù)迭代計(jì)算出較精確的平動(dòng)點(diǎn)周期軌道數(shù)值解，這種方法需要同時(shí)積分包含42個(gè)方程的微分方程組而得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,計(jì)算量較大；希臘學(xué)者Antoniadou等[3]通過(guò)周期軌道的分叉和連續(xù)找到給定周期軌道附近的一系列周期軌道，這種方法需要給定初始參考軌道，對(duì)于周期軌道的全局搜索具有局限性；Russell[4]將打靶法和方格搜索相結(jié)合得到全局范圍內(nèi)符合精度的周期軌道數(shù)值解;Anderson等[5]應(yīng)用Russell方法搜索了一系列不穩(wěn)定周期軌道，但是這種方法會(huì)改變?nèi)w系統(tǒng)的雅可比能量值；印度學(xué)者Dutt等[6]通過(guò)觀察龐加萊截面圖中軌道流形形成的KAM[7]環(huán)的圓心，通過(guò)圓心位置與雅可比(Jacobi)能量的對(duì)應(yīng)關(guān)系給出了一組周期軌道在不同雅可比能量下的發(fā)展趨勢(shì);巴西學(xué)者Winte等[8]用同樣的方法得到了繞月周期軌道隨著雅克比能量變化的趨勢(shì)圖。在傳統(tǒng)的龐加萊截面圖中，軌道流形需要通過(guò)多次投影才能形成KAM環(huán)；另外僅從龐加萊截面圖上觀察不能確定軌道與其投影點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且只能找到穩(wěn)定周期軌道，不穩(wěn)定周期軌道由于不存在島嶼的吸引，不能在龐加萊截面圖上找到。

國(guó)內(nèi)也有不少學(xué)者對(duì)三體問(wèn)題的周期解開(kāi)展了長(zhǎng)期而深入的研究。南京大學(xué)的劉林等[9]，侯錫云等[10]，北京航空航天大學(xué)的徐明等[11]，北京理工大學(xué)的崔平遠(yuǎn)[12]圍繞著平動(dòng)點(diǎn)周期軌道進(jìn)行了大量的研究；哈爾濱工業(yè)大學(xué)的張振江等[13]提出一種基于三階解析解的平動(dòng)點(diǎn)周期軌道確定算法；國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)的連一君[14]對(duì)平動(dòng)點(diǎn)附近周期軌道的迭代初值的獲取進(jìn)行了研究；羅宗富等[15]基于迭代算法求解Backflip型周期軌道；北京理工大學(xué)的張文博等[16]針對(duì)地月系統(tǒng)中循環(huán)往返于地球和月球之間的地月系統(tǒng)周期軌道進(jìn)行了建模和計(jì)算研究；Shang等[17]利用方格搜索方法進(jìn)行了周期軌道的全局搜索；西北工業(yè)大學(xué)的張漢清等[18]通過(guò)構(gòu)造一類流函數(shù)對(duì)初始值進(jìn)行逐步積分得到與x軸相交指定次數(shù)的周期軌道數(shù)值算法，這種方法只能得到某一指定與x軸相交次數(shù)的周期軌道，而且對(duì)初始狀態(tài)逐步數(shù)值積分的方法具有遍歷性，計(jì)算量過(guò)大。

目前現(xiàn)有的周期軌道計(jì)算方法大多針對(duì)特定類型的周期軌道而完成[1-3,9-16]；而全局周期軌道計(jì)算方法主要有流函數(shù)法[18]，打靶法和方格搜索結(jié)合的方法[4-5,17]，龐加萊截面法[6,8]。流函數(shù)法建立在大范圍遍歷搜索基礎(chǔ)上，存在計(jì)算量過(guò)大的缺點(diǎn)。將打靶法和方格搜索相結(jié)合能夠在一定程度上減少遍歷搜索計(jì)算量過(guò)大的問(wèn)題，但是這種方法需要改變?nèi)w系統(tǒng)的雅可比能量值。龐加萊截面法能夠在特定雅可比能量下，通過(guò)觀察龐加萊截面圖中軌道流形形成的KAM環(huán)的圓心來(lái)確定周期軌道，但是通過(guò)這種方法只能得到穩(wěn)定周期軌道。

針對(duì)現(xiàn)有周期軌道數(shù)值算法所存在的計(jì)算量大、需改變雅可比能量及局限于計(jì)算特定周期軌道等方面的不足，本文提出一種新的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)周期軌道的快速計(jì)算。首先建立能夠清晰描述初始點(diǎn)與投影點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的改進(jìn)龐加萊截面圖，提出周期軌道區(qū)間的篩選方法和初始點(diǎn)猜想生成策略；其次在此基礎(chǔ)上快速完成周期軌道初始點(diǎn)的數(shù)值求解；最后以地月系統(tǒng)圓型限制性三體問(wèn)題為例，對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并通過(guò)周期軌道在改進(jìn)龐加萊截面圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系從穩(wěn)定性角度對(duì)周期軌道進(jìn)行了分析和總結(jié)。

1 平面圓形限制性三體問(wèn)題

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

(1)

式中：Ω為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的等效勢(shì)能：

(2)

式中：μ為兩主天體的質(zhì)量比常數(shù)，設(shè)矢量r1,r2為探測(cè)器到兩個(gè)主天體的距離，有：

(3)

CRTBP系統(tǒng)中，存在雅可比積分如下：

(4)

可以發(fā)現(xiàn)，平面CRTBP系統(tǒng)具有沿x軸的對(duì)稱性，滿足如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(5)

1.2 龐加萊映射和周期軌道

龐加萊映射是在CRTBP的研究中經(jīng)常用到的一個(gè)基本工具[22]，其基本原理是將n維流形投影到n-1維的截面上，能以n-1維離散系統(tǒng)來(lái)代替n維連續(xù)系統(tǒng)的流，這個(gè)截面叫做龐加萊截面。在平面CRTBP中，一般以一維x坐標(biāo)軸，即y=0作為二維軌道的龐加萊截面，方向定義為y>0的方向。如果一個(gè)軌道的流形在龐加萊截面上的投影為有限點(diǎn)，則這個(gè)軌道為周期軌道，所投影的點(diǎn)是周期點(diǎn)，周期軌道在周期T內(nèi)滿足：

(6)

周期軌道如果在周期T內(nèi)上穿x軸N次，則為N-周期軌道。

通過(guò)龐加萊截面來(lái)搜索周期軌道時(shí)流形的初始狀態(tài)通常由式(7)得出：

(7)

由于平面CRTBP系統(tǒng)具有沿x軸的對(duì)稱性，則搜索出的周期軌道也沿x軸對(duì)稱，而t=0時(shí)周期軌道在龐加萊截面上的投影點(diǎn)為周期軌道初始點(diǎn)。

1.3 周期軌道穩(wěn)定性判據(jù)

穩(wěn)定周期軌道吸引或者束縛附近的軌道，對(duì)周圍的流形長(zhǎng)時(shí)間捕獲，周圍存在以其周期點(diǎn)為中心的連續(xù)的擬周期軌道，而不穩(wěn)定周期軌道對(duì)附近的流形沒(méi)有吸引作用，周圍不存在以其周期點(diǎn)為中心的連續(xù)的擬周期軌道。

周期軌道的穩(wěn)定性通常由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判斷，周期軌道附近的流形可以通過(guò)如下線性方程得到：

(8)

定義穩(wěn)定性判據(jù)：

(9)

2 基于改進(jìn)龐加萊截面圖的周期軌道數(shù)值算法

本文建立了一種改進(jìn)的龐加萊截面圖，利用改進(jìn)龐加萊截面圖能夠記錄初始點(diǎn)與其投影點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)篩選出周期軌道的候選區(qū)間，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的理論計(jì)算出距離周期軌道初始點(diǎn)非常接近的初始猜想值，根據(jù)周期軌道一個(gè)周期內(nèi)初始點(diǎn)和終點(diǎn)的誤差來(lái)調(diào)整猜想值，通過(guò)打靶法得出精度較高的周期軌道數(shù)值解。

2.1 改進(jìn)龐加萊截面圖

在平面CRTBP系統(tǒng)中，給定雅可比能量，在x軸上均勻選取一系列等間隔的點(diǎn)作為軌道流形的初始位置，以垂直于x軸的速度作為初始速度，則流形初始狀態(tài)由式(7)得出。如果相鄰初始點(diǎn)第N次在龐加萊截面圖上的投影的連線與狀態(tài)分界線x=x0相交，則在該區(qū)間內(nèi)可能存在N-周期軌道初始點(diǎn)。圖1為以地月系統(tǒng)(μ=0.01215,C=3.18)為例的改進(jìn)龐加萊截面圖，在區(qū)間[0，1]內(nèi)取間隔為0.01的初始點(diǎn)，首次上穿x軸時(shí)的投影用紅色圓點(diǎn)標(biāo)出，通過(guò)這些投影點(diǎn)的連線，可知區(qū)間(a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)中可能存在1-周期軌道初始點(diǎn)。

本文研究發(fā)現(xiàn)，初始點(diǎn)搜索間隔由所搜索的周期軌道的周期數(shù)N決定。當(dāng)N較小時(shí)，可以選擇相對(duì)較小的間隔點(diǎn)；而當(dāng)N較大時(shí)，由于軌道相流結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，在很小的間隔內(nèi)可能存在數(shù)個(gè)周期軌道，所以需要選擇較小的間隔才能保證盡可能得到所有的周期軌道初始點(diǎn)。

2.2 周期軌道數(shù)值解法

由于CRTBP對(duì)計(jì)算初值非常敏感,初始猜想值直接決定了打靶法的迭代次數(shù)。本文利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的理論在經(jīng)篩選的周期軌道區(qū)間內(nèi)，計(jì)算出周期軌道初始點(diǎn)的猜想值，由于猜想值與周期軌道初始點(diǎn)數(shù)值上非常接近，所以只需經(jīng)過(guò)很少的迭代次數(shù)，就能夠通過(guò)打靶法得出精度較高的周期軌道數(shù)值解。

(10)

(11)

寫(xiě)成如下形式的方程組：

(12)

(13)

進(jìn)而可得：

(14)

可得出m11，m14的值，再由式(15) 得到初始猜想x0的數(shù)值解：

(15)

當(dāng)x0不滿足精度時(shí)，設(shè)x為周期軌道在x軸上的初始位置，則周期軌道的最終位置仍舊是x,可以根據(jù)式(16)迭代逼近得出周期軌道初始點(diǎn)的解:

(16)

式中：xinitial,xN_initial,xfinal,xN_final分別為前兩步打靶得到的猜想周期軌道在一個(gè)周期內(nèi)的初始點(diǎn)和終點(diǎn)(首次迭代時(shí)選擇候選區(qū)間中點(diǎn)x2和初始猜想值x0為前兩步猜想周期軌道初始點(diǎn))，x為調(diào)整后的周期軌道初始點(diǎn)，在迭代過(guò)程中根據(jù)式(11)不斷縮小周期軌道區(qū)間，直到得到符合精度的數(shù)值解為止。迭代過(guò)程中當(dāng)猜想值不在可能區(qū)間內(nèi)時(shí)，方法失效，這種情況下可以認(rèn)為是所選定區(qū)間內(nèi)不存在周期軌道初始點(diǎn)。圖1中的篩選出的五個(gè)候選區(qū)間有四個(gè)區(qū)間內(nèi)存在周期軌道，圖2 (a) , 圖2 (b), 圖2 (c), 圖2(d)分別為初始點(diǎn)在圖1中區(qū)間(a,b),(c,d),(e,f), (i,j)內(nèi)的1-周期軌道，其中圖2(b)為李亞普諾夫(Lyapunov)軌道，而區(qū)間(g,h)內(nèi)不存在周期軌道初始點(diǎn)。

3 數(shù)值驗(yàn)證

3.1 周期軌道計(jì)算

圖3為軌道上穿x軸20次的所有投影點(diǎn)所組成的改進(jìn)龐加萊截面圖，其中穩(wěn)定周期軌道的投影點(diǎn)用紅色圓圈表示，不穩(wěn)定周期軌道的投影點(diǎn)用綠色‘*’表示。圖4為圖3中穩(wěn)定周期軌道的流形圖，圖4(a), 4(b), 4(c), 4(d), 4(e), 4(f), 4(g), 4(h) , 4(i), 4(j), 4(k), 4(l), 4(m), 4(n), 4(o) , 4(p), 4(q), 4(r), 4(s)分別與圖3中的穩(wěn)定周期軌道a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s相對(duì)應(yīng)。穩(wěn)定周期軌道的初始位置和上穿x軸的次數(shù)在表1中列出，其中N表示上穿次數(shù)，x0表示初始位置。通過(guò)圖3和圖4可以看出穩(wěn)定周期軌道隨著初始點(diǎn)改變軌道流形演變的趨勢(shì)和的分叉情況，如穩(wěn)定周期軌道c,g,n可以被認(rèn)為是產(chǎn)生分叉的參考軌道，其周圍存在一些形狀相似，周期數(shù)更多的周期軌道族；而不穩(wěn)定周期軌道不存在這種規(guī)律。在固定雅可比能量下，隨著x軸上初始值的增大，周期軌道流形的形狀從遠(yuǎn)離地球再回到地球附近的一個(gè)過(guò)程中，軌跡流形從存在交叉點(diǎn)到弧形逐漸變得平滑。

由于周期軌道沿x軸對(duì)稱，在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)軌道垂直上穿x軸時(shí)，在改進(jìn)龐加萊截面圖上投影一次，而當(dāng)軌道非垂直上穿x軸時(shí)，在改進(jìn)龐加萊截面圖的同一個(gè)投影點(diǎn)上完成兩次投影。周期軌道的周期數(shù)N與其在改進(jìn)龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)具有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

N=2NNO+NO

(17)

式中：NO代表周期軌道垂直上穿x軸的次數(shù)，可以為一次或兩次，NNO為周期軌道非垂直上穿x軸的次數(shù)，可以為任意次數(shù)。

表1 圖4中對(duì)應(yīng)的N-周期軌道初始位置Table 1 Initial position of periodic orbits in Fig.4

本文研究發(fā)現(xiàn),周期軌道搜索的有效性與搜索時(shí)的采樣區(qū)間有直接關(guān)系。穩(wěn)定周期軌道由于其對(duì)周圍軌道的吸引，容易被搜索到；不穩(wěn)定周期軌道對(duì)其周圍軌道沒(méi)有吸引，具有不確定性。不穩(wěn)定周期軌道的搜索與間隔點(diǎn)的選擇有直接關(guān)系，而當(dāng)周期軌道上穿x軸次數(shù)越多時(shí)其軌道流形可能具有越復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，所需選擇的間隔點(diǎn)距離越小，也可以認(rèn)為除了遍歷搜索外任何方法不能保證得到全部周期軌道。

3.2 改進(jìn)龐加萊截面圖及周期軌道分析

如圖3所示，不同初始點(diǎn)在系統(tǒng)中表現(xiàn)了不同的狀態(tài)，在改進(jìn)龐加萊截面圖上投影有限點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的初始點(diǎn)為周期軌道點(diǎn)，周圍的規(guī)則區(qū)域?yàn)閿M周期軌道區(qū)域，投影點(diǎn)散亂的區(qū)域?yàn)榛煦鐓^(qū)域。穩(wěn)定周期軌道由于對(duì)周圍流形的吸引，周圍存在擬周期軌道。

周期數(shù)較少的周期軌道周圍的擬周期軌道中可能存在新的周期數(shù)較多的周期軌道。在改進(jìn)龐加萊界面圖中，一些穩(wěn)定周期軌道和不穩(wěn)定周期軌道同處于某一擬周期軌道區(qū)域內(nèi)，具有相似的流形結(jié)構(gòu)，位置相近，不易被區(qū)分。圖3中的不穩(wěn)定周期軌道t和穩(wěn)定周期軌道o均位于穩(wěn)定周期軌道n的擬周期軌道區(qū)域內(nèi)，而通過(guò)穩(wěn)定性判據(jù)可以判斷其穩(wěn)定性，將龐加萊截面圖放大，也可以看出不同。圖5(c)對(duì)應(yīng)圖3中的穩(wěn)定周期軌道o，圖5 (b)為擬周期軌道w，圖5(a)對(duì)應(yīng)圖3中的不穩(wěn)定周期軌道t, 圖5(d)為它們?cè)邶嫾尤R截面圖上相應(yīng)的投影點(diǎn)。圖5 (a)、(b)、(c)均存在于龐加萊截面圖的KAM環(huán)形島嶼中，即都存在于某周期軌道的擬周期范圍內(nèi)。在龐加萊截面圖5(d)上，以點(diǎn)t、o為初始點(diǎn)的軌道在龐加萊截面圖上投影為有限點(diǎn)，以點(diǎn)w為初始點(diǎn)的軌道在龐加萊截面圖上投影為無(wú)限個(gè)點(diǎn)，所以以點(diǎn)t、o為初始點(diǎn)的軌道為周期軌道，以點(diǎn)w為初始點(diǎn)的軌道為擬周期軌道。其中，點(diǎn)o周圍有自己的KAM環(huán)結(jié)構(gòu)，o位于中心，所以o是穩(wěn)定周期軌道，而t為擬周期軌道中存在的不穩(wěn)定周期軌道。通過(guò)特征值和穩(wěn)定性判據(jù)也可以對(duì)周期軌道的穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)證。

在投影點(diǎn)散亂的混沌區(qū)域內(nèi)，探測(cè)器通過(guò)初始點(diǎn)是否能夠在沒(méi)有能量消耗的情況下滑行到月球附近可以通過(guò)改進(jìn)龐加萊截面圖反映出。圖3中，當(dāng)初始點(diǎn)靠近地球，而投影點(diǎn)出現(xiàn)在月球附近時(shí)，代表探測(cè)器從靠近地球的一邊出發(fā)，在上穿x軸20次內(nèi)可以進(jìn)入月球區(qū)域。而滿足條件的不穩(wěn)定周期軌道在繞月球旋轉(zhuǎn)幾周后返回地球區(qū)域完成天體間轉(zhuǎn)移[25]，在地月低能轉(zhuǎn)移軌道的應(yīng)用中具有重要的參考價(jià)值。圖6為本文算法搜索到的初始點(diǎn)靠近地球的地月轉(zhuǎn)移周期軌道，其中，左邊紅色圓點(diǎn)代表地球，右邊紅色圓點(diǎn)代表月球，黑色圓環(huán)代表每個(gè)周期軌道的初始位置x0。

4 結(jié) 論

本文建立了一種基于改進(jìn)龐加萊截面圖計(jì)算CRTBP問(wèn)題周期軌道的快速數(shù)值求解方法。該方法在不改變雅可比能量的基礎(chǔ)上，不需要過(guò)多的投影次數(shù)，大范圍搜索出與上穿x軸給定次數(shù)內(nèi)的周期軌道，算法迭代次數(shù)少，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。由于CRTBP的對(duì)稱性，本文方法所選軌道初值只適用于對(duì)稱周期軌道的搜索，得到的周期軌道與采樣間隔有直接關(guān)系，而不穩(wěn)定周期軌道及其周圍的流形具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，尤其當(dāng)軌道上穿x軸次數(shù)越多時(shí)，兩周期軌道之間的間隔可能越小，所以采樣間隔的選取是周期軌道的搜索過(guò)程中需要考慮的重要問(wèn)題。由于本文提出計(jì)算周期軌道的方法是基于周期軌道的定義而建立的，并不局限于限制性三體問(wèn)題下，對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有普遍的適用性。

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(編輯：張宇平)

A Novel Method of Periodic Orbit Computation for Three-Body Problem

ZHENG Yue1,2, PAN Bin-feng1,2,3, TANG Shuo1,2,3

(1. College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. Shanxi Aerospace Flight Vehicle Design Key Laboratory, Xi’an 710072, China;3. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi’an 710072, China)

Current methods of the periodic orbit computation have the disadvantages of requiring large amount of computation, varying the Jacobi energy, and the limitation to calculate the specific periodic orbits, a novel method of the periodic orbit computation is proposed in this paper. Firstly, a modified Poincaré section map is created, on which the projection points from every initial point are plotted and the evolution and fork of the periodic orbits by the initial point could be intuitively reflected. Secondly, based on the modified Poincaré section map, the candidate interval of the periodic orbits are selected by the relationship between the initial points and the projection points. Thirdly, the initial guesses are generated which are quite close to the true solution in the candidate interval computation using the state transition matrix. Finally, the periodic orbits can be rapidly computed numerically by a single shooting method. The proposed method does not need to change the Jacobi energy, requires less iterations for a given value of the Jacobi energy, and enables a large set of periodic orbits withx-axis symmetry. Examples are presented in the Earth-Moon Circular Restricted Three-Body Problem to verify the efficiency and rapidity of this method.

Circular restricted three-body problem; Periodic orbit; Poincaré section; Jacobi energy

2016-11-05;

2017-02-24

國(guó)家自然科學(xué)基金(11672234)

V

A

1000-1328(2017)04-0384-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.04.008

鄭 越(1983-)，女，博士生，主要從事深空探測(cè)、軌道設(shè)計(jì)等研究。